矢量分析与数理方程总复习题.doc

矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题矢量和矢性函数1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） 2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） ， 3、设，求4、如果 ， 求 和 5、如果 求 ， 证明 .6、如果 证明 7、求不定积分 ， 。8、计算不定积分 .9、求矢量 的单位矢量 。方向导数和梯度1、求 的方向余弦2、写出矢径 的单位矢径，用方向余弦表示3、求矢性函数 的方向余弦4、求函数在处沿的方向导数5、求数量场 在点 处沿 方向的方向导数6、求下列数量场的梯度 ， ， ， ， .7、设是常矢量，证明 。通量及散度1、利用通量的定义求矢量 通过球面 的通量.2、利用奥氏定理求矢量 通过球面 的通量.3、计算下列矢量场的散度 ， ，其中， ， ， ， ，其中 .4、计算 5、设是常矢量，证明 环量及旋度 1、求矢量场 沿 的正方向的环量 ，其中 的参数方程是 ， ， .2、计算下列矢量场的旋度 ， ， .3、 设，是常矢量，求 4、设是常矢量，证明 有势场、管形场和调和场1、 证明下列矢量场是有势场 2、证明下列矢量场是管形场 ，3、证明矢量场是调和场 4、证明 （， ）满足拉普拉斯方程.5、证明 是无旋场.6、 求下列势函数所对应的矢量场 ， ， ， ， .7、设是常矢量，证明 。数学物理方程，边界条件和初始条件，分离变量1、验证 满足一维波动方程 2、验证 满足一维波动方程 3、 是一维弦振动的定界问题，指出哪一个条件是边界条件？哪一个是初始条件？什么叫定解条件？什么叫定解问题？3、 写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。4、 写出上述定解问题的解，并写出系数的计算公式。4、真空中的电磁场满足麦克斯韦方程组， 利用公式 推导电磁场的波动方程5、静电场中有 其中 写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？6、静电场中有 其中 写出静电势的表达式，推导静电势满足的方程，这是什么方程？7、利用分离变量将下列偏微分方程分成两个常微分方程 ， 8、设弦的两端固定于及，弦的初始位移如图所示，初始速度为零，没有外力作用，假设弦振动时的位移是，写出满足的的定解问题。8、， 是定解问题 的一个解，写出这个解的节点的位置，它的振动频率9、证明 是一维波动方程的解。9、证明 是一维波动方程的解。10、将函数展开成如下形式的级数 11、利用分离变量 ，将三维波动方程 分解成关于时间的微分方程和空间的偏微分方程。贝塞尔函数，勒让德多项式1、勒让德多项式是什么方程的的解？2、贝塞尔函数 是什么方程的解3、利用贝塞尔函数的递推公式 计算积分 。4、如果 ， 将 按 展开。5、利用贝塞尔函数的递推公式 计算积分 。6、方程 的解是什么？7、方程的解是什么达朗贝尔公式、格林函数、镜像法1、利用达朗贝尔公式解定解问题2、在的半空间中的有一个点电荷，置放在 ，假设的平面的电势为零，写出这个点电荷的像的位置。3、写出由上题的两个点电荷所产生的格林函数。4、达朗贝尔公式 是一维无界波动方程的解，如果初始速度为零，达朗贝尔公式应该是什么？5、在上式中第一项的物理意义是什么？第二项的