高中数学 第1讲 坐标系 第2节 极坐标系 第4课时 圆的极坐标方程课件 北师大版选修44.ppt

第四课时圆的极坐标方程 1 熟练掌握圆的极坐标方程的求法 并能够利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式进行互化 2 通过比较 体会极坐标在解决个别问题中的优越性 提高分析问题 解决问题的灵活性 学习目标 1 圆的极坐标方程的应用 重点 2 圆的极坐标方程的根据是正余弦定理 学法指要 预习学案 圆x2 y2 r2还有他的表示形式吗 1 曲线与方程的关系在平面直角坐标系中 平面曲线c可以用方程f x y 0表示 曲线与方程满足如下关系 1 曲线c上 都是方程f x y 0的解 2 以方程f x y 0的解为 都在曲线c上 点的坐标 坐标的点 2 曲线的极坐标方程一般地 在极坐标系中 如果平面曲线c上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 并且坐标适合方程 的点都在曲线c上 那么方程 叫做曲线c的极坐标方程 f 0 f 0 f 0 r 2rsin 答案 b 2 如下图所示 极坐标方程 asin a 0 所表示的曲线的图形是 答案 d 3 以极坐标中的点 1 1 为圆心 1为半径的圆的极坐标方程是 在直角坐标系下的方程是 解析 依题意 圆心的直角坐标为 cos1 sin1 半径为1 故圆的直角坐标方程为 x cos1 2 y sin1 2 1 即x2 y2 2 xcos1 ysin1 0 化为极坐标方程为 2 2 cos cos1 sin sin1 0即为 2cos 1 答案 2cos 1 x2 y2 2xcos1 2ysin1 0 4 写出圆心在点 1 1 处 且过原点的圆的极坐标方程 课堂讲义 圆的极坐标方程 规律方法 求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况一样 就是找出动点m的坐标 与 之间的关系 然后列出方程f 0 再化简并检验特殊点 极坐标方程涉及的是长度与角度 因此列方程的实质是解直角或斜三角形 变式训练 1 在极坐标系中 求 1 圆心在极点 半径为2的圆的极坐标方程 2 圆心为c 2 半径为2的圆的极坐标方程 解析 1 设所求圆上任意一点m 结合图形 得 om 2 2 0 2 将极坐标化为直角坐标 判断形状 解题过程 根据点的极坐标化为直角坐标的公式 2 x2 y2 cos x sin y 1 cos 2 x 2 是过点 2 0 垂直于x轴的直线 2 2cos 2 2 cos x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 故曲线是圆心在 1 0 半径为1的圆 规律方法 将 2 x2 y2 cos x sin y代入曲线的极坐标方程 整理为直角坐标方程 解决此类问题常常通过方程变形 构造出形如 cos sin 2的式子整体代换 方程的两边同乘以 或同除以 或方程两边平方是常用方法 圆的极坐标方程应用 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0相切 求实数a的值 思路点拨 1 极坐标方程化为直角坐标方程 2 由点到直线的距离公式求解 3 注意解的个数 极坐标方程 1 0 0 表示的图形是 a 两个圆b 两条直线c 一个圆和一条射线d 一条直线和一条射线解析 1 0 0 1或 0 1表示圆心在原点 半径为1的圆 0 表示x轴的负半轴 是一条射线 故选c 答案 c 从极点o作圆c 8cos 的弦on 求弦on的中点m的轨迹方程 思路点拨 设m坐标 m 找m与n关系 代入原方程得m轨迹方程 用代入法求圆的极坐标方程 求轨迹方程 解题过程 方法一 代入法 设点m n 1 1 点n在圆 8cos 上 1 8cos 1 点m是on的中点 1 2 1 2 8cos 4cos 点m的轨迹方程是 4cos 点 2 除外 方法二 定义法 圆c的圆心c 4 0 半径r oc 4 m为弦on的中点 cm on故m在以oc为直径的圆上 所以动点m的轨迹方程是 4cos 点 2 除外 规律方法 方法一是代入法 如果所求动点的变化是另一个点引起的 而另一个点的轨迹方程已知 或易求 可以用代入法 其方法是先建立两个动点坐标之间的关系 然后代入其中一个动点满足的轨迹方程 整理即可 方法二为定义法 先根据圆的概念确定轨迹为圆 然后再求圆心和半径 变式训练 5 已知半径为r的定圆o 外有一定点o oo a a r p为定圆o 上的动点 以op为边作正三角形opq 求q点的轨迹的极坐标方程 1 曲线的极坐标方程 1 在极坐标系中 曲线可以用含有 这两个变数的方程f 0来表示 这种方程叫做曲线的极坐标方程 这时 以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线上的点 由于在极坐标平面中 曲线上每一个点的坐标都有无穷多个 它们可能不全满足方程 但其中应至少有一个坐标能够满足这个方程 这一点是曲线的极坐标方程和直角坐标方程的不同之处 2 求极坐标方程的步骤求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤 建立适当的极坐标系 在曲线上任取一点m 根据曲线上的点所满足的条件写出等式 用极坐标 表示上述等式 并化简得曲线的极坐标方程 证明所得的方程是曲线的极坐标方程 通常第 步不必写出 只要对特殊点的坐标加以检验即可 3 利用极坐标求轨迹方程求曲线的极坐标方程