§7 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值.doc

10 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值10.1 用Mathematica作三维函数图在多元函数微积分中，作图可以使得问题更为直观，易于理解。这里首先给大家介绍“用Mathematica作三维函数图”。1 常用的三维绘图函数Plot3Dfx,y,x,a,b,y,c,d,可选项: 作的图形。ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,a,bv,c,d: 作三维参数方程的图形。Showf1,f2,f3,: 将多个图形组合重新显示。2 常用的可选项Plot3D函数有许多可选项可以用来修饰三维图形的外观。可以借助于可选项改变图形的外观，以便于观察。表10-1 常用的可选项可选项默认值说明AxesTrue是否绘制坐标轴AxeslableNone坐标轴的名称。zlabel为z轴的label,即z轴的标注，labelxlabel,ylabel,zlabel分别为轴，轴,轴的标注AspectRatio1作图高、宽比例，可以说明为任意值BoxedTrue绘制外框。定义False则不绘制外框Displayfunction$Displayfunction显示图形模式，定义Identity不显示图形PlotRangeAutomatic方向的绘图范围ShadingTrue表面不上色或留白ViewPoint1.3,-2.4,2观测点(眼睛观测的位置)选择合适的观测点在也有助于观察图形，下面是典型的ViewPoint值：表10-2 典型的ViewPoint值ViewPoint值观测点的位置1.3,-2.4,2默认观测点0,-2,0从前方看0,0,2从上往下看0,-2,2从前方上面往下看0,-2,-2从前方下面往上看-2,-2,0从左前方看2,-2,0从右前方看例10.1 画出函数图形，并使图形表面不上色。解 In1:= Plot3DSinSqrtx2+y2,x,0,2Pi,y,0,2PiOut1= -SurfaceGraphics-In2:= Show%,Shading-FalseOut2= -SurfaceGraphics-例10.2 画出函数图形，并使调整图形观测点观察图形是否对称。解 In1:= Plot3DSinx*y,x,0,2Pi,y,0,2Pi,AxesLabel-“x”, “y”, “z”Out1= -SurfaceGraphics-In2:= Show%,ViewPoint-1,-1,2Out2= -SurfaceGraphics-例10.3 画一单位双曲面。解 首先，写出单位双曲面的参数方程x=Coshu*Cosvy=Coshu*Sinvz=uIn1:=ParametricPlot3DCoshu*Cosv,Coshu*Sinv,u,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel-“x”, “y”, “z”Out1= -Graphics3D-例10.4 画出函数图形。解 In1:=ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,3Sinu*Sinv,4Cosu,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel-x, y, zOut1= -Graphics3D-In2=: Show%,ViewVertical-1,0,0Out2=-Graphics3D-例10.5 画出由与所围的立体图形。解 In1:= a1=Plot3Dx+2y,x,0,2,y,0,2,DisplayFunction-Identity; a2=ParametricPlot3D1+Cosu,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,3.5,DisplayFunction-Identity;a3=Plot3D0,x,-1,2,y,-1,2,DisplayFunction-Identity;Showa1,a2,a3,AxesLabel-x, y,AspectRatio-Automatic,PlotRange-0,4,DisplayFunction-$DisplayFunctionOut1= -Graphics3D-9.2 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值函数实际上给出了偏导数，在这个表达式中，假设n个不是x的函数，在Mathematica中，它有一个函数，它代表的是全微分，在这个函数中，所以的变量都有联系。在Mathematica的说明中，代表了，而则代表了。可以认为表示了“全微分”。例如：1. 下面给出了一个全微分，其中n是x的函数，则代表了。 2. 下面是一个全微分。其中代表了。 注：在Mathematica中，还是有些微分函数用于直接计算的，如下表所示： 表10-3 部分的微分函数 函数及其表达式函数功能说明关于的偏微分或关于等的混合偏微分或关于的阶偏微分函数的全微分关于变量的全微分例10.6 求下列函数对x的偏导数1. ； 2. ；3. ； 4. u=。第 955 页 共 13 页解In1:= DLogx+Sqrtx2+y2 ,x; Simplify% (*通常Mathematica不自动化简微分结果，要借助于Simplify函数*)Out1= In2: = DArcTanh(x+y)/(1-x*y),x;Simplify%Out2= In3: = DESiny/x,x; Simplify%Out3= In4: = D(x/y)z,x; Simplify%Out4= 例10.7 设，求， ，。解 In1:= Clearz,x,y; zx,y:=x3*Siny+y3Sinx; /*定义二元函数.*/ Dzx,y,yOut1= In2:= Dzx,y,y/.x-1,y-1 /*给函数的变量赋值.*/Out2= In3:= Dzx,y,x,2Out3= In4:= Dzx,y,x,3,y,3Out4= 例10.8 设，求，。解 In1:= xu_,v_:=u/v; yu_,v_:=3u-2v; zx_,y_:=xu,v2*Logyu,v; Dzx,y,u; Simplify%Out1= In2:= Dzx,y,v;Simplify%Out2= In3:= Dzx,y,v,2;Simplify% Out3= 例10.9 设，其中函数二阶可导，具有二阶连续的偏导数，求，。解 In1:= Df2x-y+gx,x*y,xOut1= In2:= Df2x-y+gx,x*y,x,2Out2=In3:= Df2x-y+gx,x*y,x,yOut3= 其中，。例10.10 已知函数，证明。解 In1:= z=x*y+x*Fy/x; Dz,x*x+y*Dz,y-z-x*y; Simplify%Out1= 0例10.11 求由下列方程所确定的隐函数和导数或偏导数：1， 求。2，求，。解 In1:= eq1=LogSqrtx2+yx2= = ArcTanhyx/x; Deq1,x; Solve%,y x; Simplify%Out1= In2:= Dx=ux*Cosvx/ux,y=ux*Sinvx/ux,x; SimplifySolve%,u x,vxOut2= In3:= Dx=uy*Cosvy/uy,y=uy*Sinvy/uy,y; SimplifySolve%,u y,vyOut3= 例10.12 求下列极值问题：1函数.2求函数，在上的最大最小值.解 1 In1:= Clearx,y,z,a,b,c,d,t;fx_,y_:=x3+3*x*y2-15x-12y;a=Dfx,y,x,2;b=Dfx,y,x,y;c=Dfx,y,y,2;d=a*c-b2;t=SloveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,y;l=LengthtlFori=1,i0&a10&a10,Print“fmin=”,z,d1= =0,Print“No Sure”,z,d1= =0,PrintNo Out1= x-2,y-1 fmax=28 x-1,y-2 Nox-1,y-2Nox-2,y-1fmin=-282 先求在圆域内的最大最小值:In2:= fx_,y_:=x2+y2-12x+16y;t=SolveDfx,y= =0,x,Dfx,y= =0,y,x,y Out2= x-6,y-8 (*驻点*)In3:= x2+y2-25/.t1Out3=75该驻点在圆外，圆内无驻点，故不取极值。下面考虑圆上的最值。这是在约束条下的条件极值,用Lagrange乘数法求解。In4:= Clearx,y,F,t;Fx_,y_,t_:=fx,y+t(x2+y2-25);s=SolveDfx,y,t=0,Dfx,y,t=0,y,DFx,y,t= =0,t,x,y,tOut4=t-3,x-3,y-4,t-1,x-3,y-4In5:= Fx,y/.s1Ou