带有一类Slip型边界条件的旋度型Navier-Stokes方程.doc

带有一类Slip型边界条件的旋度型Navier-Stokes方程张 辉 （广东外语外贸大学南国商学院，广州 510545）摘要：本文利用Hodge分解理论和Galerkin方法，对带有一类Slip型边界条件的旋度型Navier-Stokes方程进行研究，获得了弱解的局部存在性，唯一性。关键词：Navier-Stokes方程；弱解 中国分类号：O175.29 On the Navier-Stokes equation of vorticity type with a slip boundary condition Zhang Hui ( Nanguo Business College,GuangDong University of Foreign Studies，GuangZhou 510545)Abstract:In this paper,we study the Navier-Stokes equation of vorticity type in a bounded domain of with a slip boundary condition by Galerkin method an Hodge Edcomposition theory.We obtain the local existence ,uniqueness for arbitrary intial data.Keywords:Navier-Stokes equation;weak solution1.介绍及概念 假设是单连通的有界区域，边界足够光滑，满足同调群，考虑如下方程 （1.1）满足Slip型边界条件： ， on （1.2）在本文中，我们主要研究了方程弱解的存在性和唯一性。获得了如下的结果：定理1.设，存在使得方程（1.31.4）存在唯一的弱解且满足如下的条件 定理2.若，则存在，方程（1.11.2）存在唯一的强解，且满足如下条件： 我们定义 ， 由Hodge分解理论（参见【6】）知又因为，所以为空集，故是以下四个相互正交的子空间的直和. ；其中 ； ； ；其中表示的第个分量.Hilbert空间中的两个闭子空间. 其中和分别代表速度场在边界的相应法向量和切向量，他们在迹意义下是有意义的. 引理1.1.设，则我们有 成立.(参见文献【1】)引理1.2.若，则有证明：我们通过计算来证明这个结论： 由边界条件知 即 故结论成立.引理1.3.若，则对任意的有如下式子成立： ，其中表示中的内积. 注：本文中的粘性系数为了方便我们用表示中的范数，表示中的范数.2.Galkerkin逼近定理2.1.算子：是双射有界，且它的逆算子在中是正定对称的紧算子.(参见文献【1】)由Hilbert-Schmidt定理知道，存在一组特征值： 相应的特征向量函数，并且组成的一组正交基.下面我们将利用Galkerkin方法对旋度型Navier-Stokes方程做一些先验估计.我们假设我们考虑如下的常微分方程组： 其中特征值与特征向量是上面所提到的，显然是Lipshitz的，上面的方程组有解，它等价于下面的偏微分方程 （2.1） （2.2）其中，表示到的投影算子，我们令，下面我们对做一些先验估计.对方程（2.1）两边同时对做内积，则可以获得如下的积分方程： 通过计算有 由引理（1.3），我们有如下的不等式成立： 利用下面两个结果 （2.3） （2.4） 我可以得到： 结合引理1.1，进一步计算可以得到 （2.5）获得了如下的估计式： 由Grownall不等式可以得到如下的关系式： （2.6）下面我们证明存在，使得，其中，我们令 ，若，则上面的论断显然成立.现假设，由上面的表述有： ， 在上面的式子（2.6）中取，则我们可以得到 于是我们有下面的估计 （2.7）对方程（2.5）两边从上积分，我们有： 进一步得到 （2.8）3.定理的证明我们对方程（1.11.2）的弱解定义如下：若，其中称为方程的弱解，如果它满足：（1） （3.1）2.对任意的，有如下的关系式成立： ， ， （3.2） 注：我们假设表示它的对偶空间.定理的证明如下：证明：，取，由前面我们得到的估计式（2.7），（2.8）知 在中有界 在中有界由Hilbert空间中有界集的弱致密性知存在，使得中有子列不妨仍记为满足 下面我们来说明满足（3.2）.对于，我们有 上面的式子表明 而 表明 由知 对，我们有 ，令，则有， ，由在中的稠密性可知， ，下面我们来讨论弱解的唯一性：若是方程的弱解，我们令，则满足如下的关系： ，我们令，则得到如下的积分方程 通过计算可得 （3.3） （3.4）把（3.4）代入（3.3），可以得到 由（2.3）（2.4）及引理（1.1）有 由Holder不等式知： 而 综上，我们有如下结果：存在，使得有 由Gronwall不等式和，我们可以推导，即.进一步的讨论，我们可以得到定理2.参考文献【1】 Yuelong Xiao and Zhouping Xin, On the Vanishing viscosity limit for the 3D Navier-Stokes equations with a slip boundary condition,Comm.Pure Apple.Volume 60(2007).【2】 James P.kelliher ,Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions for a boundary domian in the plane,Slam.J.Math.Anal Vol.38.No.1(2006),210-232【3】 Beavers,G,S,and Joseph,D,Boundary conditions at a naturally permeable wall,J.Fluid Mech.30(1967),197-207【4】 J.P.and Brezis ,H,Remarks on the Euler equations,J.Funtional Analysis15(1974),341-363【5】 R.Temam and X.Wang,On the behavior of the Navier-Stokes equaiton at vanishing viscosity,Ann.Scuola.Pisa Cl.Sci25(1997),807-828【6】 C.Auchmuty,Orthogonal decompostions and bases for three-dimensional vector fields,Num.Funct Anal.Option.15(1994)45