64特征根与特征向量.doc

6.4特征根与特征向量授课题目：6.4特征根与特征向量授课时数：4学时教学目标：掌握特征根与特征向量的定义、性质与求法教学重点：特征根与特征向量的定义与性质教学难点：特征根与特征向量的求法教学过程：一. 特征根与特征向量的定义与例子1. 一个问题对n维线性空间V的线性变换，能否在它所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵对角矩阵来表示换句话说，能否在V中找到一个基1，2，n，使在这个基下的矩阵是对角形即有（1），（2），（n）(1，2，n) 具体写出来，就是（i）=i , i=1,2, ,n.由上面的分析可知，要寻找这样的基（如果有的话），首先要寻找满足条件（）=的数和非零向量2. 特征根与特征向量的定义定义1设是数域F上线性空间V的一个线性变换如果对应F中的一个数，存在V中的非零向量，使得（）= （1）那么就叫做的一个特征根（值），而叫做的属于特征根的一个特征向量其中（1）式的几何意义是：特征向量与它在下的象（）保持在同一直线L（）上，0时方向相同，0时方向相反，0时，（）=03. 几个基本事实设是的特征根，存在如下基本事实：1）若1，2，是的属于特征根的特征向量，则当1+20时，1+2也是的属于特征根的特征向量因为（1+2）（1）+（2）（1+2）2）若是的属于特征根的特征向量，则对任意kF，k0，k也是的属于特征根的特征向量，这是因为k0，且（k）k（）k（）（k）3）一个特征向量只能属于一个特征值事实上，设0是的属于特征值与的特征向量，就有（），（-）0，而0，只有-0，从而从上面的性质可知，把的属于特征根的全部特征向量再添上零向量组成V的一个子集，它对V的加法和数量乘法作成V的一个子空间，记为VV=V|（）=, 称为的属于特征根的特征子空间当是的特征根时，V0，因此，V含有无限多个向量但我们只要求出V的一个基，V就被确定了4. 几个例子例1在V3中，是关于过原点的平面H的反射，它是一个线性变换那么H中的每个非零向量都是的属于特征根1的特征向量，V就是平面H与H垂直的非零向量都是的属于特征根 -1的特征向量，即V-1就是直线L（见图6.5）.图6.5例2在V2中，是绕原点反时针旋转角的线性变换，由几何直观可看出 ，当k时（k为整数），没有特征根例3设V表示定义杂实数域上的可微分任意次的实函数的全体构成的线性空间令（f(x)）= f(x), 是V的线性变换对于每个实数，有（ex）=ex.所以，是的特征根，而ex是的属于的特征向量二. 特征根与特征向量的求法1. 问题的转化直接由定义来求线性变换的特征值与特征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题设V是数域F上的n维线性空间，取定它的基1，2，n，令线性变换在这个基下的矩阵是A（aij）.如果k11+ k22+ knn是线性变换的属于特征根的一个特征向量，那么，（）关于基1，2，n的坐标是而的坐标是这样，就有或这说明特征向量的坐标（k1，k2，kn）是齐次线性方程组 （2）的非零解从而（2）的系数行列式为 （3）反过来，如果F，满足等式（3），齐次线性方程组（2）有非零解（k1，k2，kn），k11+ k22+ knn满足等式（1），是的一个特征根，就是的属于特征根的特征向量由上面分析，可以得到以下的结论1）F是的特征根的充分必要条件是它满足方程（3）；2）对于特征根，子空间V中一切向量在基1，2，n下的坐标正好构成齐次线性方程组（I-A）X=0的在F上的解空间实际上有V与（I-A）X=0的解空间同构. V的一个基1，2，n可由齐次线性方程组（I-A）X=0的一个基础解系1，2，n给出.（其中i=(1，2，n) i, i=1,2, ,r）.2. 矩阵的特征多项式与特征根定义3设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵，行列式叫做矩阵A的特征多项式fA(x)在C内的根叫做矩阵A的特征根设0C是矩阵A的特征根，而k0Cn是一个非零的列向量，使Ax0=0x0,就是说，x0是齐次线性方程组（0I-A）X=0的一个非零解我们称x0是矩阵A的属于特征根0的特征向量3. 线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系这里我们要注意：（1）如果关于某个基的矩阵是A,那么的特征根一定是A的特征根，但A的特征根却不一定是的特征根，A的n个特征根中属于数域F的数才是的特征根；（2）的特征向量是V中满足（1）式的非零向量，而A的特征向量是Cn中的满足Ax0x0的非零列向量x0；（3）若F是A的特征根，则A的Fn中属于的特征向量就是的属于的特征向量关于给定基的坐标4. 线性变换的特征根与特征向量的求法现在把求线性变换的特征根和特征向量的步骤归纳如下：1）在线性空间V中取一个基1，2，n，求出在这个基下的矩阵A；2）计算特征多项式fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数域F的根1，2， s;3)对每个i(i=1,2, ,s)求齐次线性方程组（iI-A）X=0的基础解系；4）以上面求出的基础解系为坐标，写出V中对应的向量组，它就是特征子空间Vi的一个基，从而可确定的特征向量例4设R上的三维线性空间V的线性变换在基1，2，3下的矩阵是求的特征根和对应的特征向量解的矩阵A已给出，先求特征多项式和特征根fA(x)的根为11（二重根），2-2都是的特征根对特征根11，解齐次线性方程组（1I-A）X=0，即得基础解系1（-2，1，0），2（0，0，1）对应的特征向量组是-21+2，3，它是特征子空间V1的一个基，所以V1L（-21+2，3）而的属于特征根1的一切特征向量为k1（-21+2）+k23，k1，k2R，不全为0对特征根2-2，解齐次线性方程组得基础解系3（-1，1，1），对应的的特征向量是-1+2+3，它可构成V-2的一个基，所以V-2L（-1+2+3）因此的属于特征根-2的一切特征向量为k（-1+2+3），kR，k0例5在线性空间Fnx中，线性变换D: D(f(x)= f(x)在基 1,x ,下的矩阵是A的特征多项式是它的根仅有一个（n+1重根）10F，即D仅有特征根0（n+1重根）对于这个特征根10，解相应的方程组得基础解系1（1，0，0，0）它对应的D的特征向量是11+0x+0=1.于是，V1 =V0=L(1).即D的属于特征根0的特征向量为任一非零常数，这与数学分析中的结论是一致的例6分别在实数域R和复数域C内求矩阵的特征根和相应的特征向量解在R内，A只有特征根1，A的属于特征根1的特征向量为k（2，-1，-1），kR，k0在C内，A有特征根11，2i, 3-i.A的属于特征根1的特征向量为k（2，-1，-1），kC，k0；A的属于特征根i的特征向量为k1（-1+2i,1-i,2）, k1C, k10A的属于特征根-i的特征向量为k2(-1-2i,1+I,2), k2C, k20注意：求A的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F（或C），且不全为零三特征多项式的基本性质最后，我们讨论特征多项式的基本性质定理6.4.1相似的矩阵有相同的特征多项式证设AB,即存在可逆矩阵T使得B=T-1AT.于是FB(x)=|xI-B|=| x I - T-1AT |=| T-1(x I-A)T |=|T-1|x I-A |T|=| x I-A |= fA(x).一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，根据定理，它们有相同的特征多项式因而，我们可以把在任一个基下的矩阵的特征多项式叫做的特征多项式，记为f (x)如果把n阶矩阵A的特征多项式展开，得到Fx中的一个多项式它的最高次数项xn，出现在主对角线上元素的乘积(x-a11) (x-a22) (x-ann) (5)中行列式fA(x)的展开式里，其余项至多含有n-2个主对角线线上的元素因此，fA(x)是乘积（5）和一个至多是x的一个n-2次多项式的和，fA(x)中次数大于n-2的项只出现在乘积（5）中fA(x)x n -( a11+ a22+ a nn)x n-1+.上式右端没有写出的项的次数最多是n-2由此可知：（1）fA(x)是x的首项系数为1的n次多项式（2）fA(x)的n-1次项的系数乘以-1就是A的主对角线上元素的和，叫做矩阵A的迹，记为tr(A)tr(A)= a11+ a22+ ann.（3）fA(x)的常数项是fA(0)它由在（4）式中令x=0得.即fA(0)-A=(-1) n|A|.(4)若1，2，n是fA(x)在复数域C内的n个根（可能有重根），根据根与系数的关系应有tr(A)1+2+n，A12n就是说，矩阵A的迹等于A的全部特征根的和，而A的行列式等于它的全部特征根的乘积特征多项式还有下面重要性质定理6.4.2设A是数域F上的一个n阶矩阵，而fA(x)x I-Ax n+a1 x n-1+a n-1x+a n是A的特征多项式，则fA(x)An+ a1 An-1+a n-1A+a nI=0.证设B(x)=( x I-A)*是x I-A的伴随矩阵，由伴随矩阵的性质有B(x) ( x I-A)=| x I-A |I=fA(x)I因为B(x)中的元素都是x I-A中各元素的代数余子式，它们的次数都是不超过n-1的x多项式，由矩阵的运算性质，B(x)可写成B(x)= xn-1B0+ xn-2B1+xBn-2+Bn-1 ,其中B0, B1, , Bn-1都是n阶数字矩阵于是有B(x) ( x I-A)= (xn-1B0+ xn-2B1+xBn-2+Bn-1 ) ( x I-A)=xn B0+ xn-1(B1- B0 A)+ xn-2(B2- B1A)+ +x(Bn-1- Bn-2A)- Bn-1A . （1）fA(x)I= xnI+ a1 xn-1I+ an-1 xI+anI . （2）比较（1）和（2）得B0=I, B1- B0A= a1I, B2- B1A= a2I , ,Bn-1 -Bn-2A= an-1 I ,-Bn-1A= anI .用An, An-1, ,A,I分别依次从右边乘上面各个等式再相加可得0=An+a1 An-1+ an-1A+ anI= fA(A) ,即fA(A)=0.习题6.41.在V3中，H是过原点的平面，是把任意向量变成它在H上的正投影的线性变换，指出的特征根与特征向量2.设是线性空间V的线性变换，（a）0, f(x)= a0xm+1 xm-1+ am-1x+ am .证明：f()( )= f(0)().3.设，是数域F上线性空间V的两个线性变换，且证明，若（a）0 , 0, 0F，则() (=V|()= 0).4.设数域F上的三维线性空间V的一个线性变换在基1，2，3下的矩阵是求的特征根和相应的特征向量5.设R上的三维线性空间V的一个线性变换在基1，2，3下的矩阵是求的特征根与相应的特征向量6求下列矩