第二章 承载能力分析.doc

第二章 承载能力分析在外力作用下，如何保证构件正常地工作而不致在使用寿命期限内失效，是构件承载能力分析所要研究的内容。 第一节 承载能力分析的基本知识一、承载能力分析研究的任务构件承载能力主要包括：（1）强度 构件抵抗破坏的能力（2）刚度 构件抵抗变形的能力（3）构件 保持原有平衡状态的能力二、变形体及其基本假设变形体：受力后发生形变的物体基本假设：（1）连续性假设 组成物体的物质毫无间隙地充满物体的几何容积（2）均匀性假设 物体各处的力学性能是完全相同的（3）各向同性假设 物体沿各方向的力学性能是相同的三、杆件变形的基本形式杆件是构件承载能力的主要研究对象。杆件是指某一方向的尺寸远大于其余两个方向尺寸的构件。杆件的几何特征：横截面、轴线杆件变形的基本形式：（1）轴向拉伸和压缩（2）剪切和挤压（3）扭转（4）弯曲四、内力、截面法、应力1、内力 构件在外力作用下，内部质点之间的相互作用力2、截面法 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；取其中任一部分并在截面上画出相应内力；由平衡条件确定内力大小。3、应力 单位面积上的内力大小 单位：Pa 1Pa=1N/m2 1MPa= 106 Pa 1GPa= 109Pa正应力：垂至于截面 切应力：相切于截面 第二节 轴向拉伸与压缩一、轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩：当杆件所受外力的作用线与杆件轴线重合时，杆件将沿轴线伸长或缩短，称为轴向拉伸与压缩。二、拉压杆的内力计算、轴力图1、内力的计算例：左图左半部分：Fx=0 FNF=0 FN= F右半部分：Fx=0 FFN, =0 FN, = F因外力F沿杆轴线方向，所以内力也沿杆轴线方向，称为轴力。轴力的正负号规定：轴力指向截面外为正，杆件受拉；指向截面里为负，杆件受压。一般未知指向的轴力可假设为正，由计算结果判断其正负。课堂小结：重点：截面法计算内力作业布置：预习板书设计：第二章 承载能力分析第一节 承载能力分析的基本知识一、承载能力分析研究的任务构件承载能力主要包括：（1）强度 构件抵抗破坏的能力（2）刚度 构件抵抗变形的能力（3）构件 保持原有平衡状态的能力二、变形体及其基本假设基本假设：（1）连续性假设 （2）均匀性假设（3）各向同性假设三、杆件变形的基本形式（1）轴向拉伸和压缩（2）剪切和挤压（3）扭转（4）弯曲四、内力、截面法、应力1、内力2、截面法 3、应力 正应力：垂至于截面 切应力：相切于截面 课后小结：概念较抽象，不好理解。复习提问：1、杆件变形的基本形式有那些？2、什么是轴向拉伸与压缩？导入：由轴力的正负规定导入轴力图。讲授内容：二、轴力图轴力图-形象表示轴力随截面位置变化的情况。横坐标表示截面位置，纵坐标表示轴力，正轴力画在横坐标上方，负轴力画在横坐标下方。意义：反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。例： F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。解：1)求AC段轴力沿截面1-1处截开，取左段如图所示Fx=0 FN1-F1=0得：F N1=F1=2.5kN2)求BC段轴力从2-2截面处截开，取右段如图所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2= - F3=-1.5kN（负号表示所画FN2方向与实际相反，BC段轴力为负）轴力图规律：从左向右画，外力作用点为轴力图突变点，外力向左，轴力图向上突变；外力向右，轴力图向下突变，突变幅度为外力数值大小，两相邻外力作用点之间的轴力图为平行于x轴的直线。利用轴力图规律练习几道题例1：例2： 已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件指定截面11、22、33的轴力,并画出轴力图。解:1)外力FR，F1，F2， F3将杆件分为AB、BC和CD段，取每段左边为研究对象. 2)截面法求得各段轴力为：FN1=F2=8KNFN2=F2-F1=-12KNFN3=F2+F3-F1 =-2KN3) 轴力图如图:课堂小结：重点：规律法画轴力图难点：截面法计算轴力作业布置：3-28板书设计：二、轴力图例： F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。解：1)求AC段轴力沿截面1-1处截开，取左段如图所示Fx=0 FN1-F1=0得：F N1=F1=2.5kN2)求BC段轴力从2-2截面处截开，取右段如图所示Fx=0 FN2-F3=0得：FN2= - F3=-1.5kN（负号表示所画FN2方向与实际相反，BC段轴力为负）课后小结：学生能熟练运用规律画轴力图，课堂练习效果较好。复习提问：1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 强度：内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。导入：应力的定义：由外力引起的内力集度。讲授内容：三、拉压杆横截面上的应力平面假设：杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。1、横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截面上只有正应力。2、两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式FN轴力A-横截面面积的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负例1：圆直杆的载荷 P1=20kN ， P2=50KN，直径d1=20mm，d230mm。试计算截面11和22的正应力。例2：汽车上铆接件接头，已知=7，=1.5，b1=4,b2=5,b3=6,计算板内最大拉应力。 解：取其中一个铆接件为研究对象，由受力图可知：以各铆钉孔中心为分界点，各段的内力有所不同，分别取截面1-1、2-2、3-3，各段内力为：FN1=F/3、 FN2=2F/3、 N3=铆钉孔中心所在截面是最大应力出现的截面分别计算如下：1-1截面应力：2-2截面应力：3-3截面应力:最大应力：课堂小结：重点：拉压杆横截面上的应力计算作业布置：预习板书设计：三、拉压杆横截面上的应力例1：圆直杆的载荷 P1=20kN ， P2=50KN，直径d1=20mm，d230mm。试计算截面11和22的正应力。例2：汽车上铆接件接头，已知=7，=1.5，b1=4,b2=5,b3=6,计算板内最大拉应力。 课后小结：课堂练习效果好。复习提问：拉压杆横截面上的应力计算公式导入：由轴向拉伸与压缩变形现象导入变形与应变讲授内容：四、拉压杆的变形1、变形与应变杆件受轴向拉伸时产生变形，纵向尺寸增大，横向尺寸缩小。反之受轴向压缩时，纵向尺寸缩小，横向尺寸增大。因此，拉压杆的变形包括沿轴线的纵向变形和垂直于轴线的横向变形。l=l1-l0 b=b1-b0 纵向线应变横向线应变 = b /b02、泊松比实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， 为负 ；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大， 为正；可见， 轴向线应变和横向线应变恒为异号实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变与轴向线应变之比为一负常数： 比例系数称为泊松比，是一无量纲的量3、胡克定律五、材料在拉伸和压缩时的力学性能在外力作用下，构件内引起的应力，称工作应力。工作应力越大，构件破坏的可能性越大。但是，构件究竟是否破坏，还与构件材料的力学性能有关。 材料的力学性能是指材料在外力作用下其强度和变形方面所表现出的性能。材料的力学性能由试验测定。（一）材料在拉伸时的力学性能国家标准试件的形状如图所示。l称为标距，它与直径d可以有两种比例：l=10d和l=5d。1、低碳钢拉伸时的力学性能（1）弹性阶段Oa段为直线段 与成正比，E，胡克定律成立a点对应的应力值称为比例极限p， 是与成正比的最大应力。胡克定律只适用于应力不超过比例极限的范围。Oa段材料的变形为弹性变形，b点对应的应力值称为弹性极限e，是材料只产生弹性变形的最大应力。tan/EE材料的弹性模量弹性极限与比例极限虽含义不同，但数值接近，工程上对二者并不严格区分。可认为e =p， a和b可认为是同一点。 低碳钢的比例极限p200MPa（2）屈服阶段当应力e, 出现一段接近水平线的小锯齿形曲线。应力基本不变，而应变迅速增加，表明此时材料几乎失去抵抗变形的能力（材料的屈服）c点对应的应力值称为屈服点s。低碳钢s 240MPa在屈服阶段，如果试件表面光滑，可以看到试件表面有与轴线大约成45的条纹，称为滑移线。材料在屈服阶段将产生较大的塑性变形，这对某些机械零件的正常工作是不允许的，所以屈服点是衡量材料强度的一个重要指标。（3）强化阶段过了屈服阶段后，曲线继续上升。说明要使试件继续变形必须加大拉力,即材料又恢复了抵抗变形的能力材料的强化。试件明显变细变长塑性变形显著增加。 曲线最高点e对应的应力值称为抗拉强度b，是材料所能承受的最大应力，是衡量材料强度的另一个重要指标。低碳钢b400MPa（4）缩颈断裂阶段当应力 b，试件变形明显集中于某一局部区域，截面尺寸显著减小缩颈，最后在缩颈处被拉断。综上所述，低碳钢拉伸是经历了弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段。试件拉断后，弹性变形消失，会残留较大的塑性变形或称为残余变形。 衡量材料塑性大小的两个指标：伸长率 塑性材料： 5% 脆性材料：5%低碳钢20%30% 是典型的塑性材料断面收缩率课堂小结：重点：低碳钢的拉伸性能难点：胡克定律作业布置：复习板书设计：四、拉压杆的变形1、变形与应变l=l1-l0 b=b1-b0 纵向线应变横向线应变 = b /b02、泊松比3、胡克定律五、材料在拉伸和压缩时的力学性能（一）材料在拉伸时的力学性能（1）弹性阶段（2）屈服阶段（3）强化阶段（4）缩颈断裂阶段课后小结：复习提问：低碳钢拉伸过程 导入：由低碳钢拉伸过程导入脆性材料灰铸铁拉伸时的力学性能。讲授内容：2、灰铸铁拉伸时的力学性能铸铁等脆性材料在拉伸时，变形很小，应力应变曲线图没有明显的直线部分，通常近似认为符合胡克定律。其抗拉强度b是衡量自身强度的唯一指标。（二）材料在压缩时的力学性能1、低碳钢的压缩力学性能屈服阶段以前，两曲线重合，各力学指标相同。屈服阶段以后，曲线一直上升，说明低碳钢塑性好，可以发生很大的塑性变形，使试件越压越扁而不断裂，因此不存在强度极限b。2、铸铁的压缩力学性能灰铸铁的抗压缩强度比抗拉伸强度高35倍，铸铁是很好的耐压、减震件的材料。补充内容：游标卡尺的使用课堂小结：重点：材料拉伸与压缩力学性能难点：游标卡尺的使用作业布置：预习实验一板书设计：2、灰铸铁拉伸时的力学性能（二）材料在压缩时的力学性能1、低碳钢的压缩力学性能2、铸铁的压缩力学性能课后小结：游标卡尺的使用还不熟练，课下要多练习。实验一、拉伸和压缩破坏实验一、实验目的1、观察低碳钢、铸铁拉伸过程中的各种现象并绘制拉伸图。2、测定低碳钢、铸铁拉伸时的机械性质。3、观察铸铁的压缩变形和铸铁的压缩破坏现象。4、测定铸铁压缩时的机械性质。二、实验设备1、万能材料试验机。2、游标卡尺。三、试件拉伸破坏试件通常采用圆形截面试件，其直径d=10mm，标距l=100mm。压缩破坏试件通常采用短圆柱形试件，其直径d=10mm，高度为h，且四、实验原理拉伸与破坏实验可以用来确定材料的机械性质。进行拉伸实验时，试件在开始受力到破坏为止的整个过程中，其变形l与拉力P之间的关系，可由拉伸图反映出来。对于低碳钢试件，在载荷P不大的情形下，变形l随其所受的拉力P成正比增加，这时的拉伸图为一斜直线。当载荷P增加到一定程度时，可以看到试验机测力指针停止前进甚至往回偏转，继而缓慢地往复摆动，相应的拉伸图为一锯齿形曲线，这就是屈服现象。此时测力指针在回转过程中所指示的最小载荷即为屈服载荷PS（又称屈服点）。过了屈服阶段以后，试件某一局部迅速增长，同时横截面尺寸急剧减小，称为颈缩现象。颈缩出现后，试件很快就被拉断，此时可记录下试件所承受的最大载荷Pb（测力盘上从动指针所指示的载荷值）。随即测出标距和颈缩处直径，便可得到材料的塑性指标：延伸率和断面收缩率。铸铁试件拉伸时没有屈服和颈缩现象，一旦达到最大载荷Pb时，试件就突然断裂，而且塑性变形也很小。铸铁试件压缩时，在较小变形的情况下，载荷就达到最大值Pb而使试件突然断裂。试件断裂后，其断面与轴线大致成4555倾角。复习提问：低碳钢与铸铁的力学性能导入：对于同样的工作应力，为什么有的构件破坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。讲授内容：六、轴向拉伸和压缩时的强度计算（一）许用应力1、材料的极限应力材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。塑性材料为屈服极限 脆性材料为强度极限2、工作应力工作应力杆件轴向拉压时截面的应力即构件的工作时的实际应力：工作应力仅取决于外力大小和构件的几何尺寸。只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的构件的工作应力也是相同的。对于同样的工作应力，为什么有的构件破坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。 工程实际中是否允许：答案是：不允许！工作应力不能等于极限应力的原因：1、实际材料与理想不相符（材质的不完全均匀、 连续和各向同性）2、生产过程、工艺不可能完全符合要求3、对外部条件估计不足、某些不可预测的因素4、数学模型经过简化使构件工作应力计算有近似性5、考虑构件磨损和各个构件的重要程度差异等因素6、构件必须适应工作条件的变化安全工作因此，构件必须要有一定的强度储备。3、许用应力对于塑性材料：对于脆性材料：上式中n是一个大于1的系数，称为安全系数一般说：因为断裂破坏比屈服破坏更危险。一般s=1.41.8，b=2.03.5。（二）强度条件及其应用max为拉压杆横截面上的最大工作应力为材料的许用应力应用拉压杆的强度条件可解决以下三类问题1、强度校核2、截面设计3、确定承载能力例1：某铣床工作台的进给液压缸如图示，缸内工作压力p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，已知活塞杆材料的许用应力=50MPa，试校核活塞杆的强度。解：求活塞杆的轴力：横截面上的应力为：活塞杆强度足够例2、已知：h=2b，F=40kN，=100MPa；试设计拉杆截面尺寸h、b。解：求出拉杆的轴力FN;FN=F=40kN拉杆的工作应力 FN/A根据强度准则，有 , 即 AFN/；而A=hb=2b2 所以：2b2 40103/100=400mm2求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm考虑安全，可以取 b=15mm，h=30mm例3、如右图，已知：木杆面积A1=104mm2， 1=7MPa，钢杆面积A2=600mm2， 2=160MPa,确定许用载荷G。解：（1）求各杆的轴力如图b)列平衡方程，得Fx=0 FN1FN2cos300=0Fy=0 F N2sin300G=0求解上式，得：FN1= 1.73G, FN2=2G2、用木杆确定G由强度准则： 1 =FN1/A1 1 得：G 1 A1 /1.73=40.4kN3、校核钢杆强度即： 2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8103/600 =134.67MPa2 强度足够，故许可载荷G=40.4kN七、压杆稳定的概念失稳：不能维持原有平衡状态而丧失稳定性的现象。提高压杆稳定性：（1）合理选用压杆材料弹性模量值高的材料可提高压杆稳定性。（2）合理选择截面形状在截面面积一定的情况下，尽可能将材料分布在远离形心处（空心截面、型钢），可提高压杆稳定性。（3）减小压杆的长度（4）改善约束条件压杆两端支承越稳定，其稳定性越好。课堂小结：重点：利用强度条件解决工程问题作业布置：课后习题板书设计：六、轴向拉伸和压缩时的强度计算（一）许用应力1、材料的极限应力2、工作应力3、许用应力（二）强度条件及其应用应用拉压杆的强度条件可解决以下三类问题1、强度校核2、截面设计3、确定承载能力七、压杆稳定的概念（1）合理选用压杆材料（2）合理选择截面形状（3）减小压杆的长度（4）改善约束条件课后小结：复习提问：轴向拉伸和压缩时的强度条件导入：由剪切概念导入讲授内容：第三节 剪切和挤压一、剪切和挤压的概念钢板被剪裁时，剪床的上下两个刀刃以大小相等、方向相反、作用线相距很近的两个力P作用于钢板上，迫使钢板在n-n截面的左右两部分沿此截面发生相对错动，构件的这种变形形式称为剪切变形。产生相对错动的截面称为剪切面。剪切面平行于外力的作用线，且在两个反向外力的作用线之间。只有一个剪切面，称为单剪；具有两个剪切面，称为双剪。螺栓、铆钉和键等联接件，在承受剪切作用的同时，还在联接件和被联接件的接触面上相互压紧，这种局部受压的现象称为挤压。二、剪切和挤压的实用计算法（一）剪切实用计算法构件受剪切作用时，其剪切面上将产生内力。应用截面法假想沿剪切面将铆钉分成两段，任取一段为研究对象。由平衡条件可知，剪切面mm上必须有一个与该截面平行的内力存在，这个平行于截面的内力称为剪力，常用符号表示。“实用计算法”假设切应力均匀地分布在剪切面上。设剪切面的面积为A，剪力为，则切应力的计算公式为为了保证构件工作时不发生剪切破坏，要求构件工作时产生的切应力不得超过材料的许用切应力，因此剪切的强度条件为：式中， 为材料的许用切应力。剪切强度条件同样可以解决三类强度问题，计算中注意确定存在几个剪切面、剪切面的位置和大小，以及每个剪切面上的剪力和切应力。（二）挤压实用计算法1、 挤压应力 式中，Fjy为挤面上的挤压力，Ajy为有效挤压面面积。在挤压的实用计算中，有效挤压面面积如下确定：若接触面为平面，则有效挤压面面积为实际接触面面积；若接触面为曲面，则有效挤压面密集为曲面在挤压方向上的正投影面面积。 2、抗挤压强度条件为保证联接件具有足够的挤压强度而不破坏，挤压强度条件为： 例 汽车与拖车挂钩用销钉联接，挂钩厚度=8,销钉的许用切应力=60Pa，许用挤压应力jy=200MPa，牵引力=15KN，试选定销钉的直径（挂钩与销钉材料相同）。解：以销钉为研究对象画受力图，根据平衡条件用截面法求剪切力Q大小：Q=F/2根据剪切强度条件设计销钉直径：根据挤压强度条件校核挤压强度：jy=72Pajy=200Pa，因此，销钉直径取d=13可同时满足剪切、挤压强度要求。课堂小结：重点：剪切及挤压强度计算作业布置：课后板书设计：第三节 剪切和挤压一、剪切和挤压的概念二、剪切和挤压的实用计算法（一）剪切实用计算法剪切的强度条件为：（二）挤压实用计算法1、挤压应力 式中，Fjy为挤面上的挤压力，Ajy为有效挤压面面积。2、抗挤压强度条件为保证联接件具有足够的挤压强度而不破坏，挤压强度条件为： 课后小结：复习提问：力偶的概念及特点导入：力偶的概念及特点导入扭矩讲授内容：3、两块钢板用四只铆钉联接，钢板和铆钉的材料相同，其许用拉应力175MPa，许用切应力140MPa，许用挤压应力jy320MPa，铆钉的直径d=16mm，钢板的厚度t=10mm ,宽度b=85mm。当拉力F=110kN时，校核铆接各部分的强度（假设各铆钉受力相等）。解：（1）分别选铆钉和钢板为研究对象，受力分析如图b),c) （2）校核铆钉的剪切强度 故铆钉的剪切强度足够。（3）校核铆钉的挤压强度 故铆钉的挤压强度足够。（4）校核钢板的拉伸强度 22截面33截面故钢板的拉伸强度足够。第四节 扭转一、扭转的概念扭转杆件的受力特点是：杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。其变形特点是：杆的各横截面都绕轴线发生相对转动。这种变形称为扭转变形。以扭转变形为主的构件称为轴。二、外力偶矩、扭矩和扭矩图1、外力偶矩功率、转速和力偶矩之间的关系为： T=9550P/n 式中：T外力偶矩，单位为牛米（Nm），P轴传递的功率，单位为千瓦（Kw）n轴的转速，单位为转分（rmin） 可以看出，轴所承受的外力偶矩与所传递的功率成正比。因此，在传递同样大的功率时，低速轴所受的外力偶矩比高速轴大，所以在传动系统中，低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些。2、扭矩圆轴在外力偶矩作用下，横截面上将产生内力，用截面法来研究。图示圆轴，在两端受一对大小相等，转向相反的外力偶矩M作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。用一假想截面沿mm处将轴假想切成两段，取其中任一段（如左段）为研究对象。因为原来的轴是处于平衡状态的，所以切开后的任意一段也应处于平衡状态。所以在截面mm上必然存在一个内力偶矩。这个内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。取截面左段与取截面右段为研究对象所求得的扭矩数值相等而转向相反（作用与反作用）。为了使从左、右两段求得同一截面上的扭矩正负号相同，通常对扭矩的正负号作如下规定：按右手螺旋法则，以右手四指表示扭矩的转向，则大拇指的指向离开截面时的扭矩为正，大拇指指向截面时的扭矩为负。3、扭矩图以横坐标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩例：绘制图示圆轴的扭矩图。课堂小结：重点：扭矩图绘制作业布置：复习板书设计：3、两块钢板用四只铆钉联接，钢板和铆钉的材料相同，其许用拉应力175MPa，许用切应力140MPa，许用挤压应力jy320MPa，铆钉的直径d=16mm，钢板的厚度t=10mm ,宽度b=85mm。当拉力F=110kN时，校核铆接各部分的强度（假设各铆钉受力相等）。第四节 扭转一、扭转的概念二、外力偶矩、扭矩和扭矩图1、外力偶矩T=9550P/n 2、扭矩为了使从左、右两段求得同一截面上的扭矩正负号相同，通常对扭矩的正负号作如下规定：按右手螺旋法则，以右手四指表示扭矩的转向，则大拇指的指向离开截面时的扭矩为正，大拇指指向截面时的扭矩为负。课后小结：扭矩图规律：从左向右画，外力偶矩作用点为扭矩图突变点，外力偶矩向上，扭矩图向上突变；外力偶矩向下，扭矩图向下突变，突变幅度为外力偶矩数值大小，两相邻外力偶矩之间的扭矩图为平行于x轴的直线。三、圆轴扭转时横截面上的应力（一）圆轴扭转时横截面上的应力1、扭转试验为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画出许多间距很小的纵向线和垂直于杆轴线的圆轴线，如图所示。 在两端外力偶矩作用下，使轴产生扭转变形。可以观察到下列现象：（1）各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。（2）所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度 ，使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。 根据上述现象，可得出关于圆轴扭转的基本假设：圆轴扭转变形后，轴的横截面仍保持为平面，形状和大小均不变，半径也保持为直线。这就是圆轴扭转时的平面假设。按照这一假设，在扭转变形中，圆轴的横截面就象刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。由此可见，横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。横截面上存在剪应力，各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。纵向线倾斜的角度表达了轴变形的剧烈程度，即为轴的切应变。2、切应力分布规律应力分布规律如图：横截面上任意一点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线。3、最大切应力的计算Ip横截面对圆心的极惯性矩令WpIp/R ， Wp抗扭截面系数则 （二）截面的极惯性矩和抗扭截面系数的计算1、实心圆截面2、空心圆截面 设内外径之比d/D（三）圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形是用两个横截面间绕轴线的相对扭转角来度量的。这就是扭转角的计算公式，扭转角单位为弧度（rad）。 由此可见扭转角与扭矩Mn和轴的长度L成正比，与GIp成反比。GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值Mn有变化，或轴的直径或材料不同，那么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加。工程中常常采用单位长度的扭转角来衡量轴扭转变形的程度，即扭转角表达式中消除长度L的影响：单位长度的扭转角的单位rad/m,工程中常用单位/m 则四、圆轴扭转时强度和刚度计算1、强度条件2、刚度条件例1：已知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,FAB=80mm,FBC=50mm,G=80GPa1、求此轴的最大切应力2、C截面相对于A截面的扭转角jCA；3、相对扭转角qAB、 qBC；解：1、求最大切应力扭矩图如左：TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m根据切应力计算公式2、求C截面相对A截面的扭转角C截面相对A截面的扭转角为：3、相对扭转角为：第五节 平面弯曲一、平面弯曲的概念工程实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁（图）。所谓的弯曲变形是指杆的轴线由直线变成曲线，以弯曲变形为主的杆件称为梁。梁的受力特点是在轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的外力的作用。如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内完成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。 平面弯曲是最常见及最简单的弯曲变形。梁上的荷载和支承情况一般比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。二、梁弯曲时的内力1、工程上梁的类型（1）简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。 （2）外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。 （3）悬臂梁 一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。2、梁上载荷的简化（1）集中荷载 当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力 P ，其单位为牛（ N ）或千牛（ kN ）。（2）集中力偶 当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。对称面内受到矩为 M 的集中力偶的作用。它的单位为牛米（ N m ）或千牛米（ kN m ）。 （3）分布载荷 梁的全长或部分长度上连续分布的载荷。如梁的自重，水坝受水的侧向压力等，均可视为分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，其单位为牛米（ N m ）或千牛米（ k N m ）。沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷，其均布集度 q 为常数。3、剪力和弯矩弯曲梁指定截面的内力采用截面法求解。由平衡条件可得使梁产生剪切变形的剪力和产生弯曲变形的弯矩即梁的内力包括两部分。 为了使由左段或右段求得的同一截面上的剪力和弯矩不但在数值上相等，而且在符号上也相同，将剪力和弯矩的正负符号规定如下：对于所切梁的横截面的微变形，若使之发生左侧截面向上、右侧截面向下的相对错动，则剪力为正，反之为负； “左上右下”剪力为正若使弯曲变形呈上凹下凸，则弯矩为正，反之为负“左顺右逆”弯矩为正 【例】简支梁如图，已知a、q、M=qa2；求梁上指定截面的内力三、剪力方程和弯矩方程一般情形下，梁横截面上的剪力和弯矩随横截面位置的变化而变化。设横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示，则各个截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数: FQ=FQ(x) 剪力方程;M=M(x) 弯矩方程四、剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图的目的是形象地表示出剪力和弯矩沿梁长的变化情况，从而可确定梁上最大剪力和最大弯矩的数值及其作用的横截面位置。一般以梁的左端为原点，以横坐标，表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩的数值，一般将正的剪力或弯矩画在x轴上方，负的剪力或弯矩画在x轴下方。这样得出的曲线图分别称为剪力图和弯矩图。利用剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图的基本思路为： 求约束力建立剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图1、梁受集中载荷作用例1：已知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1求A,B支座反力( a+b=l )2求x截面内力a) 0xab) axa)（或CB,ab）段FQmax=Gb/l最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l结论：在集中力作用截面处，剪力图发生突变，突变的大小等于集中力的大小。 2、梁受集中力偶作用例2、解：1、求支座反力FAY,FBY得：FAY=- FBY =M/l 2、AC段X截面处剪力FQ=FAY,3、同理可求得BC段剪力与AC段相同，剪力图如左4、AC段弯矩方程M1M1=FAYx=Mx/L 5、BC段弯矩方程M2M2=FAYx-M=M(x-L)/L结论：在集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图将发生突变，突变的大小等于集中力偶矩的大小；突变的方向，“顺上逆下”。 3、梁受分布载荷作用例3：绘制图示梁的内力图悬臂梁作用均布载荷q,由于悬臂梁的特殊性可避