高考数学一轮复习 第二章 函数 2.5 幂函数、函数与方程课件.pptVIP

高考数学 江苏省专用 2 5幂函数 函数与方程 1 2017江苏 14 5分 设f x 是定义在r上且周期为1的函数 在区间 0 1 上 f x 其中集合d 则方程f x lgx 0的解的个数是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案8 解析解法一 由于f x 0 1 则只需考虑1 x 10的情况 在此范围内 x q且x z时 设x p q n p 2且p q互质 若lgx q 则由lgx 0 1 可设lgx m n n m 2且m n互质 因此1 则10n 此时等号左边为整数 等号右边为非整数 矛盾 因此lgx q 因此lgx不可能与每个周期内x d对应的部分相等 只需考虑lgx与每个周期内x d对应的部分的交点 画出函数草图 图中交点除 1 0 外 其他交点的横坐标均为无理数 且x 1处 lgx 1 则在x 1附近仅有一个交点 因此方程解的个数为8 解法二 先证明结论 1 k 其中p q n 且p q互质 k n n 假设1 k 则10q 左边是整数 而右边不是整数 矛盾 则1 k 则原方程即f x lg x k 0 其中k n x 0 1 该方程即k 10f x x 当x d时 该方程有唯一解x 0 此时k 1 由于函数y 10 x x在 0 1 上单调递增 因此 当x d时 k 2 3 4 5 6 7 8均满足该方程有唯一解 综上所述 方程的解的个数为8 2 2013江苏 13 5分 在平面直角坐标系xoy中 设定点a a a p是函数y x 0 图象上一动点 若点p a之间的最短距离为2 则满足条件的实数a的所有值为 答案 1 解析设p 则 pa 2 x a 2 2a 2a2 2 令t x 2 x 0 当且仅当x 1时取 则 pa 2 t2 2at 2a2 2 1 当a 2时 pa 2 min 22 2a 2 2a2 2 2a2 4a 2 由题意知 2a2 4a 2 8 解得a 1或a 3 舍 2 当a 2时 pa 2 min a2 2a a 2a2 2 a2 2 由题意知 a2 2 8 解得a 或a 舍 综上 a 1或 3 2014江苏 13 5分 0 48 已知f x 是定义在r上且周期为3的函数 当x 0 3 时 f x 若函数y f x a在区间 3 4 上有10个零点 互不相同 则实数a的取值范围是 答案 解析当x 0 3 时 f x 由f x 是周期为3的函数 作出f x 在 3 4 上的图象 如图 由题意知方程a f x 在 3 4 上有10个不同的根 由图可知a 4 2015江苏 13 5分 0 27 已知函数f x lnx g x 则方程 f x g x 1实根的个数为 答案4 解析由 f x g x 1可得f x g x 1 即g x f x 1 则原问题等价于函数y g x 与y f x 1或y g x 与y f x 1的图象的交点个数问题 在同一坐标系中作出y g x y f x 1及y f x 1的图象 如图 由图可知 函数y g x 的图象与函数y f x 1的图象有2个交点 与函数y f x 1的图象有2个交点 则方程 f x g x 1实根的个数为4 考点一二次函数与幂函数1 2017北京文 11 5分 已知x 0 y 0 且x y 1 则x2 y2的取值范围是 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析由题意知 y 1 x y 0 x 0 0 x 1 则x2 y2 x2 1 x 2 2x2 2x 1 2 当x 时 x2 y2取最小值 当x 0或x 1时 x2 y2取最大值1 x2 y2 2 2016课标全国 理改编 6 5分 已知a b c 2 则以下关系正确的是 b a c a b c b c a c a b 答案 解析因为a c 2 函数y 在 0 上单调递增 所以 即a c 又因为函数y 4x在r上单调递增 所以 即b a 所以b a c 3 2015四川改编 9 5分 如果函数f x m 2 x2 n 8 x 1 m 0 n 0 在区间上单调递减 那么mn的最大值为 答案18 解析当m 2时 f x n 8 x 1在区间上单调递减 则n 82时 f x 的图象开口向上且过点 0 1 要使f x 在区间上单调递减 需 2 即2m n 12 而2m n 2 所以mn 18 当且仅当即时 取 此时满足m 2 故 mn max 18 综上可得 mn max 18 评析本题考查了二次函数的图象与性质 基本不等式 考查学生分析问题与解决问题的能力 考查转化与化归的数学思想 4 2014辽宁 16 5分 对于c 0 当非零实数a b满足4a2 2ab 4b2 c 0且使 2a b 最大时 的最小值为 答案 2 解析设2a b t 则2a t b 由已知得关于b的方程 t b 2 b t b 4b2 c 0有解 即6b2 3tb t2 c 0有解 故 9t2 24 t2 c 0 所以t2 c 所以 t max 此时c t2 b t 2a t b 所以a 故 8 8 2 2 5 2016浙江理 18 15分 已知a 3 函数f x min 2 x 1 x2 2ax 4a 2 其中min p q 1 求使得等式f x x2 2ax 4a 2成立的x的取值范围 2 i 求f x 的最小值m a ii 求f x 在区间 0 6 上的最大值m a 解析 1 由于a 3 故当x 1时 x2 2ax 4a 2 2 x 1 x2 2 a 1 2 x 0 当x 1时 x2 2ax 4a 2 2 x 1 x 2 x 2a 所以 使得等式f x x2 2ax 4a 2成立的x的取值范围为 2 2a 2 i 设函数f x 2 x 1 g x x2 2ax 4a 2 则f x min f 1 0 g x min g a a2 4a 2 所以 由f x 的定义知m a min f 1 g a 即m a ii 当0 x 2时 f x f x max f 0 f 2 2 f 2 当2 x 6时 f x g x max g 2 g 6 max 2 34 8a max f 2 f 6 所以 m a 思路分析 1 先分类讨论去掉绝对值符号 再利用作差法求解 2 分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值 较大 小 的值就是这个函数的最大 小 值 评析本题主要考查函数的单调性与最值 分段函数 不等式性质等基础知识 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 考点二函数的零点与方程的根1 2017山东理改编 10 5分 已知当x 0 1 时 函数y mx 1 2的图象与y m的图象有且只有一个交点 则正实数m的取值范围是 答案 0 1 3 解析 当0 m 1时 在同一平面直角坐标系中作出函数y mx 1 2与y m的图象 如图 易知此时两函数图象在x 0 1 上有且只有一个交点 当m 1时 在同一平面直角坐标系中作出函数y mx 1 2与y m的图象 如图 要满足题意 则 m 1 2 1 m 解得m 3或m 0 舍去 m 3 综上 正实数m的取值范围为 0 1 3 方法总结已知函数有零点 方程有根或图象有交点 求参数的值或取值范围常用的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式 再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数最值问题加以解决 数形结合法 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 然后数形结合求解 2 2017课标全国 理改编 11 5分 已知函数f x x2 2x a ex 1 e x 1 有唯一零点 则a 答案 解析由函数f x 有零点得x2 2x a ex 1 e x 1 0有解 即 x 1 2 1 a ex 1 e x 1 0有解 令t x 1 则上式可化为t2 1 a et e t 0 即a 令h t 易得h t 为偶函数 又由f x 有唯一零点得函数h t 的图象与直线y a有唯一交点 则此交点的横坐标为0 所以a 3 2016山东 15 5分 已知函数f x 其中m 0 若存在实数b 使得关于x的方程f x b有三个不同的根 则m的取值范围是 答案 3 解析f x 的图象如图所示 若存在实数b 使得关于x的方程f x b有三个不同的根 只需4m m23或m0 所以m 3 4 2016天津 14 5分 已知函数f x a 0 且a 1 在r上单调递减 且关于x的方程 f x 2 恰有两个不相等的实数解 则a的取值范围是 答案 解析 函数f x 在r上单调递减 解得 a 在同一直角坐标系下作出函数y f x 与y 2 的图象 如图所示 方程 f x 2 恰有两个不相等的实数解等价于y f x 的图象与y 2 的图象恰有两个交点 则 需满足3a 2 得a 综上可知 a 5 2015北京 14 5分 设函数f x 若a 1 则f x 的最小值为 若f x 恰有2个零点 则实数a的取值范围是 答案 1 2 解析 当a 1时 f x 其大致图象如图所示 由图可知f x 的最小值为 1 当a 0时 显然函数f x 无零点 当01 由二次函数的性质可知 当x 1时 f x 有2个零点 则要使f x 恰有2个零点 则需要f x 在 1 上无零点 则2 a 0 即a 2 综上可知 满足条件的a的取值范围是 2 6 2015天津改编 8 5分 已知函数f x 函数g x b f 2 x 其中b r 若函数y f x g x 恰有4个零点 则b的取值范围是 答案 解析由已知条件可得g x 函数y f x y g x 的图象如图所示 要使y f x g x 恰有4个零点 只需y f x 与y g x 的图象恰有4个不同的交点 需满足在x 0时有两个不同的解 即x2 x 2 b 0有两个不同的负根 则解得 b 2 同时要满足在x 2时有两个不同的解 即x2 5x 8 b 0有两个大于2的不同实根 令h x x2 5x 8 b 需即解得 b 2 综上所述 满足条件的b的取值范围是 b 2 1 2014浙江改编 7 5分 在同一直角坐标系中 函数f x xa x 0 g x logax的图象可能是 填序号 c组教师专用题组 答案 解析 因为a 0 所以f x xa在 0 上为增函数 故 错 在 中 由f x 的图象知a 1 由g x 的图象知01 矛盾 故 错 在 中 由f x 的图象知0 a 1 由g x 的图象知0 a 1 相符 评析本题考查幂函数和对数函数的图象与单调性 考查分类讨论思想和逻辑推理能力 2 2013辽宁理改编 11 5分 已知函数f x x2 2 a 2 x a2 g x x2 2 a 2 x a2 8 设h1 x max f x g x h2 x min f x g x max p q 表示p q中的较大值 min p q 表示p q中的较小值 记h1 x 的最小值为a h2 x 的最大值为b 则a b 答案 16 解析令f x g x x2 2 a 2 x a2 x2 2 a 2 x a2 8 即x2 2ax a2 4 0 解得x a 2或x a 2 f x 与g x 的图象如图 由题意知h1 x 的最小值是f a 2 h2 x 的最大值为g a 2 故a b f a 2 g a 2 a 2 2 2 a 2 2 a2 a 2 2 2 a 2 a 2 a2 8 16 评析本题考查了二次函数图象 最大及最小值 考查了数形结合思想 利用图象解题直观 简捷 3 2014天津 14 5分 已知函数f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围为 答案 0 1 9 解析记g x a x 1 则g x 的图象过定点 1 0 原方程恰有四个互异的实数根 则f x 与g x 的图象恰有四个不同交点 故a 0 分以下三种情况 i 四个交点的横坐标均小于1 由得x2 3 a x a 0 由 1 3 a 2 4a 0得a9舍去 故01 也相切 解得a 1且a 9 此种情形不存在 iii 两个交点的横坐标小于1 另两个交点的横坐标大于1 由得x2 3 a x a 0 由 2 3 a 2 4a 0得a 9 a9时恰有四个交点 综上 a 0 1 9 4 2015湖南 15 5分 已知函数f x 若存在实数b 使函数g x f x b有两个零点 则a的取值范围是 答案 0 1 5 2016课标全国 改编 12 5分 已知函数f x x r 满足f x f 2 x 若函数y x2 2x 3 与y f x 图象的交点为 x1 y1 x2 y2 xm ym 则 答案m 解析由题意可知f x 的图象关于直线x 1对称 而y x2 2x 3 x 1 2 4 的图象也关于直线x 1对称 所以两个图象的交点关于直线x 1对称 且每对关于直线x 1对称的交点的横坐标之和为2 所以xi m 6 2015浙江 18 15分 已知函数f x x2 ax b a b r 记m a b 是 f x 在区间 1 1 上的最大值 1 证明 当 a 2时 m a b 2 2 当a b满足m a b 2时 求 a b 的最大值 解析 1 证明 由f x b 得对称轴为直线x 由 a 2 得 1 故f x 在 1 1 上单调 所以m a b max f 1 f 1 当a 2时 由f 1 f 1 2a 4 得max f 1 f 1 2 评析本题主要考查函数的单调性与最值 分段函数 不等式性质等基础知识 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏南通 徐州联考 已知幂函数f x kx 的图象经过点 4 2 则k 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 20分钟分值 20分 答案 解析由题意得k 1 4 2 k 2 2016江苏淮阴中学期中 下列幂函数 y y x 2 y y 其中既是偶函数 又在区间 0 上单调递增的函数是 填相应函数的序号 答案 解析函数y 的定义域为 0 所以该函数不是偶函数 故函数 不符合题意 函数y x 2是偶函数 但在区间 0 上单调递减 故函数 不符合题意 函数y 是偶函数 且在区间 0 上单调递增 故函数 符合题意 函数y 是奇函数 故函数 不符合题意 综上知 符合题意的幂函数为 3 2016江苏泰州中学质检 10 关于x的一元二次方程x2 2 m 3 x 2m 14 0有两个不同的实根 且一根大于3 一根小于1 则m的取值范围是 答案 解析设f x x2 2 m 3 x 2m 14 由题设可得所以m 故答案为 4 2015南京 盐城二模 已知函数f x 当x 0 100 时 关于x的方程f x x 的所有解的和为 答案10000 解析当x 0 1 时 x 1 1 0 f x f x 1 1 x 1 2 2 x 1 1 x2 此时f x x 有两解且和为1 当x 1 2 时 x 1 0 1 f x f x 1 1 x 1 2 1 此时f x x 有两解且和为3 当x 99 100 时 x 1 98 99 f x f x 1 1 x 99 2 99 此时f x x 有两解且和为199 所以所有解的和为1 3 199 100 10000 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏南通 徐州第一次学情调研 14 已知函数f x x3 mx g x lnx min a b 表示a b中的最小值 若函数h x min f x g x x 0 恰有三个零点 则实数m的取值范围是 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 20分钟分值 20分 答案 解析 f x x3 mx f x 3x2 m 若m 0 则f x 0恒成立 函数f x x3 mx 至多有一个零点 此时h x 不可能有3个零点 故m 0 令f x 0 得x 易求得g 1 0 若h x 有3个零点 则即解得 m 即实数m的取值范围为 方法点拨涉及函数的零点问题 方程根的个数问题 函数图象交点个数问题 一般先通过导数研究函数的单调性 最值 变化趋势等 再借助函数的大致图象判断零点 方程的根 交点的情况 2 2016江苏淮阴中学期中 10 已知关于x的一元二次方程x2 2ax a 2 0的两个实数根是 且有1 2 3 则实数a的取值范围是 答案 解析设f x x2 2ax a 2 结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得即解得2 a 所以实数a的取值范围为 3 2016江苏南通第二次测试 11 已知f x 是定义在r上的偶函数 且对于任意的x 0 满足f x 2 f x 若当x 0 2 时 f x x2 x 1 则函数y f x 1在区间 2 4 上的零点个数为 答案7 解析由f x 2 f x 得函数的周期为2 结合f x 为偶函数及当x 0 2 时 f x x2 x 1 作出图象 图略 观察可得函数y f x 1在区间 2 4 上的零点个数为7 4 2015江苏扬州月考 设f x 是定义在r上的偶函数 对任意x r 都有f x 2 f x 2 且当x 2 0 时 f x 1 若函数g x f x loga x 2 a 1 在区间 2 6 上恰有3个不同的零点 则a的取值范围是 答案 2 解析函数g x f x loga x 2 a 1 在区间 2 6 上恰有3个不同的零点等价于曲线y f x 与曲线y loga x 2 在区间 2 6 上恰有3个不同的交点 因为对任意x r 都有f x 2 f x