第4讲 第3章 数学的奇异性 3.1 奇异性 3.2 数学中的有限性(上).doc

数学美欣赏第4讲第3章 数学的奇异性 数学的奇异性包括两个方面的内容：一是奇妙，二是变异数学中的不少结论巧妙无比，令人赞叹，正是因为这一点, 数学才有无穷的魅力变异是指, 数学理论拓广后或统一性遭到破坏后，产生了新方法、新思想、新概念、新理论的起点变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇凡是新的不平常的东西, 都能在想象中引起一种乐趣. 因为这种东西会使人的心灵感到一种愉快的新奇，满足它(心灵)的好奇心，将会使之得到原来不曾有过的一种观念数学中许多新的分支的诞生，都是人们对于数学奇异性探讨的结果在数学发展史上，往往正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索，弄它个水落石出!3 . 1 奇异性数学中有许多变异现象，它们往往与人们预期的结果相反(有些则是人们没有认清而作出的错误判断，有些则是有悖于通常认识的结论)，令人失望之余，也给了人们探索它的动力(这是人类与生俱来的冲动所致)奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着道理与规律 俗话说：“黄山归来不看岳”. 看来黄山之美，可谓名山之冠了黄山的美在哪里? 在于其奇峰怪石、悬崖峭壁、深谷幽壑、古松苍柏、清泉碧潭. 更令人赞叹、感慨的是：登山路径的险峻，危阶千级，形同壁立，可谓“半山悬古刹，云端挂天梯”数学之美, 有如黄山!它既有奇例妙题，又有深境幽域探索它的一片艰辛，胜利后的一丝幸悦，犹如攀登黄山的情趣让我们来看看数学中的这些奇异，领略一下其中的奥妙看上去它们似乎是“叛经离道”，有悖于人们期待的规律 我们曾指出过：与整数仅差，就是说，(它不是一个整数，而是个超越数)一直算到小数点后第位仍然都是(第位便不再是). 又如，当，一直到时，才是整数(值为) 这还不算稀罕，再看, 当，一直到时，才是整数(即才是完全平方数) 这些奇异的数字现象，无疑会引起人们的兴趣与关注. 这些事实当然有其深刻的数学背景：对于前者，我们可从解析数论及代数数论中找到答案；对于后者，实际上与Pell方程中展成连分数时的周期有关. 若它的周期很长，则上述方程的第一组整数解将很大. 比如时，使为整数的最小有位，而当时，则使为整数的最小为位数. 前苏联数学家切巴塔廖夫依据下面的事实：曾断言：将分解成不能再分解的且具有整系数的因式以后，各系数的绝对值都不超过但依万诺夫却发现：有下面的因式：其中和的系数均为，其绝对值大于，这就是说当从到时，前面的断言都正确，而到了却出现了反例 下面的两个事实也耐人琢磨、耐人寻味：方程有无数组有理解，但却没有有理解；方程有无数组有理解，但却没有有理解它们看上去(形式上)相差无几(或者说只差一点点)，但结果是“差之毫厘，谬之千里”！ 前面我们曾介绍过所谓埃及分数(单位分数)，这种分数的性质同样为人们关注人们甚至将它抽象、升华成为不定方程的形式去研究1950年爱尔特希和斯特卢斯猜测：方程对任何自然数均有整数解后来，斯特卢斯又加强了此猜想：时，方程 有整数解，且互不相等他也对的情形进行了验证(结论无误)1963年，我国四川大学的柯召教授证明上面两个猜想是等价的，同时对的数进行了验证(现已验证至的情形) 由于对数学中这些奇异现象的探求，人们不断发现新的结论 1969年，数学家布累策在一本名为数学游览的书中写道： 无法将表为项数少于三项的单位分数之和，同时, 但开始时人们不知道上式中的最大分母是否为可能的最小值? 1983年，华东交通大学的刘润根发现：. 同时，中国四川峨嵋疗养院的一位医务工作者王晓明给出了另外三组等式：, , . 以上这些表达式中，最大的分母都比要小 它们是否是最小? 不得而知分数的这些奇特性质中蕴含的奥妙，远比“看上去”的要多得多，否则, 古埃及人研究的东西, 今人为何对它仍有兴趣?在平面几何的尺规作图中，等分圆周成，份均可做到，而等份圆周却无法实现关于等分圆周问题，我们有下列重要结果：若(是或自然数)，且是质数时(即是费马质数)，则利用尺规可将圆周 (包括它的倍)等份(高斯定理). 例如, 当时，是质数，故利用尺规可将圆等分成、份 勾股定理(毕达哥拉斯定理)是一个重要的定理，这个定理用代数式可简单地表示为. 人们又把满足上式的正整数、称为勾股数组(以它们为边的三角形称为毕达哥拉斯三角形)，比如，便是其中的一组勾股数组有无穷多，它们的一般表达式为：， (、为正整数)然而，有无正整数满足(这一点人们自然容易想到)? 或者更一般地，有无正整数、，满足()(费马猜想)? 1640年前后，费马在他阅读古希腊数学家丢番图的著作整数论中关于毕达哥拉斯三角形一节的空白处写道：“时，方程没有非零的整数解(费马大定理)我找到了这个定理的奇妙的证明，可惜这里太窄，无法把它写下” 这段迷人的话语吸引了无数著名的数学家涉足它直到三百多年后，人们才找到了它的证明，虽然此前数学大师欧拉于1730年对, 的情形，给出了猜想的证明；狄利克雷给出了时的证明；德国数学家库默尔1848年在某些更高次幂的情形下，对猜想进行了证明同时利用库默尔的方法，借助于大型高速计算机，证得当时(包括它们的倍数)结论成立法国科学院曾于1816年和1850年两度以3000法朗悬赏猜想证明者，德国也于1908年设了十万马克的奖金，这笔基金是沃夫斯凯尔博士当年遗赠的 这个貌似不很困难的问题曾令不少人跃跃欲试，因而论证该问题的文章像雪片一样从四面八方飞来据说，当年的数论专家兰道，为了应付“解答者”，曾印了不少明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士，你对费马猜想的证明已收到，现予退回，第一个错误出现在第 页第 行” 人们也曾怀疑当年的费马是否真的找到了问题的证明 1993年夏，英国数学家怀尔斯潜心七年研究, 终于在剑桥大学的学术报告会上，宣布他已证得费马猜想，可人们在研究他的报告中同样发现了漏洞沉寂了一年后，1994年10月25日，怀尔斯和他的学生泰勒修补了上述文章的缺陷，且将他们的论文圆曲线与费马大定理和某些Hecke代数的环论性质预印本以电子邮件的形式向世界各地散发. 次年5月, 美国数学年刊全文刊出上面两篇文章，至此宣告：困绕人们三个世纪之久的“费马大定理”被攻克 谈到数学的奇异性，我们当然会想到代数方程的求根问题其实关于代数方程根的定理，即代数基本定理是这样的：复数域上的次方程在复数范围内至少有一个根关于它，早在1629年, 法国学者日拉尔便有猜想; 1746年法国的达朗贝尔给出定理的一个不太严格的证明; 直到1799年，德国数学家高斯给出了这个定理的严格证明，后来他又给出了三种其它证法由上述定理, 我们看到，代数方程的根的存在性已无庸置疑，但是要具体找出它们却远非易事 对于一元二次方程，九世纪时, 中亚细亚的学者穆罕默德阿里花拉子米给出了它的求根公式，即方程()的解为. 一元三次方程的解法较复杂. 公元四世纪，希腊人已知道某些特殊的三次方程的解法；公元十一世纪, 阿拉伯学者卡牙姆也系统地研究过三次方程的解法，但一般三次方程的求根公式则是1545年意大利的卡尔达诺在他的大法一书中给出的尔后，卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式 人们希望能循着二次、三次、四次方程的成果去寻找次方程的求根公式然而事与愿违，经过许多数学家近三百余年的努力，结果仍然渺茫年轻的挪威数学家阿贝尔总结了前人的教训，开始从反面考虑这个问题他在拉格朗日、鲁菲尼等人的成果的基础上, 证明了：一般五次和五次以上的代数方程的解不能用公式给出(由此开辟了研究近世代数包括群论等内容的崭新学科). 这里所讲的“不能用公式解”是指一般的代数方程的情形，对于某些特殊的方程, 如, 它的解当然可用公式给出 法国青年数学家伽罗瓦彻底解决了这个问题，他给出了次方程可用公式解的充要条件(且由此创立了伽罗瓦理论这个数学分支)调和级数发散是数学史上最令人意想不到的事情. 如果注意到质数在自然数中分布越来越稀疏的事实， 则级数(取遍全部质数)发散，更令人觉得奇妙! 然而,“怪事”还不止于此，比如：从调和级数中除去所有含有数字的项而得到的级数收敛(且它的和小于)从调和级数中剔除含有其它数字(，)的项后，所得到的级数也同样收敛 用带有数字的骨牌，按照某种规定砌满整个平面的问题与图论有关比如, 我们要求用有限种形如上图的骨牌(图中、为该边上的某种赋值)去布满平面，使两张骨牌在邻接处有相同的赋值(不许转动或反射每张骨牌面上的四个数字)用下面六种骨牌可按上面要求砌满整个平面： 事实上，砌满整个平面是通过上面的矩形(注意它的对边上的数字分别相等)一再重复来实现的然而，人们不难发现，用下面三种规格的骨牌，按照上面的要求是铺不满整个平面的 著名的希尔伯特第三问题，也是这种数学奇异性的精彩例证若两个几何图形的面积相等，则称它们大小相等；若能将其中之一经有限次分割后组成另一个图形，则称它们组成相等长方形和组成相等 1832年，匈牙利数学家鲍耶、1833年德国人盖尔文证明了：两个大小相等的多边形一定组成相等 他们的证明依据了下面的五条引理(这里“”表示组成相等)(1)图形，又，则； (2)任何三角形某矩形； (3)等底等积的两平行四边形组成相等； (4)等积的两矩形组成相等；(5)多边形矩形然而, 若把这里的结论推广到空间, 情况如何? 也就是说，两个体积相等的多面体，是否也组成相等(希尔伯特第三问题)? 1900年，希尔伯特的学生戴恩证明了：存在这样的两个四面体，它们的体积相等，但不是组成相等这使得希尔伯特第三问题得到了否定的解决从平面向空间的推广遇到了麻烦，这与人们的猜想相悖 平面中的点、线、面积又是什么? 在欧几里得几何中，“点”被定义(严格地讲是被描述成)没有长、没有宽、没有厚的几何图形；“线”被定义成“有长无宽”的几何图形下面的例子说明了上述定义的欠缺取面积为的正方形(单位正方形，见下图(1)，从中挖去一个十字(图(2)，其宽度是使挖去部分的面积为在剩下的四个小正方形中，仿照上面的办法重复上面的步骤，且使每次挖去的十字形面积为上一次挖去面积的一半(图(3)，(4). 其“极限图形”，虽然像散开的一个个点(因为留下的正方形越来越小)，却仍然有正的面积. 实际上, 每次挖去的十字形面积依次为, , , , 在极限情形留下的图形面积为.我们再来看看皮亚诺曲线，它是一个可以充满正方形的曲线，这种曲线是意大利数学家皮亚诺在1890年给出的我们把正方形分成，个相同的小正方形，然后从每个小正方形中去掉一些边，然后形成极为曲折的“密纹迷宫”，这些迷宫的中位曲线(图中的虚线)越来越密中位曲线的极限情形，是一个可以充满整个正方形的曲线皮亚诺曲线波兰数学家谢尔品斯基也给出了一个可以充满平面的曲线. 如下图(1)，方格中所给的曲线称为第级曲线；仿照图(1)，将每个小正方形加细，再将每个田字格子曲线沟通成第级曲线. 重复上面的过程, 可以得到、级曲线如此下去，在极限情形下得到的曲线即可填满整个正方形 数学中的奇异现象还有另一种含义：当人们没有认清它而做出错误的判断、结论或给出不尽完美的方法时，将会出现一些“反例”(这是数学自身严格性的必然)要证明一个结论，须考虑全部情形和所有情况；而要推翻一个结论，只须举出一个反例即可 反例的出现，既体现了制造者的匠心，也从另一方面说明了数学的严谨与和谐(容不得半点虚假) 我们有理由这样说：数学中那些最美妙、最令人意想不到的反例，从另一角度来说，是数学的一种奇异美我们来看一些例子 欧拉关于多面体顶点数、棱数和面数间的著名公式： (欧拉公式)可谓脍炙人口，然而, 由于对公式的适用范围未加限制，竟引来一批令人失望的反例当然这也从正面告诫人们：欧拉公式的适用范围有限 反例指出了使用者没有注意公式或定理中的前提，或者说明命题或公式中存在某些缺陷下表中给出的反例, 正说明欧拉公式并非对任何多面体都成立. 关于这点，庞加莱于1893年曾将公式修改为：对任何凸多面体而言，其顶点数、棱数、面数满足 (其中称为欧拉示性数). 下面的例子也许应该称为“正例”，因为结论是这种东西不存在，但举出一个例子后，人们接二连三地又找出了其它例子，说明这种东西存在. 这样的事, 数学史上是不乏其例的. 可下面的例子从结论到否定前后延续了二百年! 1769年, 欧拉在证明了无非平凡整数解(费马猜想的一个特例)后, 曾提出如下猜想：丢番图方程(即不定方程)()无整数解. 两百年过去了，人们对此并无异议然而, 1966年, 拉德尔和帕肯却意外地发现了下面的反例：1988年末, 埃里凯斯利用椭圆函数曲线理论证明：方程()有无数多组(非平凡整数)解他同时给出了下面的例子：在这之前，人们对于时, 方程有无正整数解未有定论由于该解的出现，埃里凯斯便能利用椭圆函数曲线的理论, 从这个解递推出任意多个其它解此后，富瑞找到了时欧拉方程()的最小解：然而借助椭圆函数曲线的理论解题的思想，其意义远不止于此. 美国Princeton大学的怀尔斯利用上述思想，于1994年成功地证明了费马猜想(当时无非平凡整数解) 人无完人大师们的失误是可以让人理解的下面的事实也与欧拉有关，但它似乎更生动、更有魅力有红、黄、蓝三色棋子各三枚，每色棋子上分别标以、等数字，你能否把这些棋子摆在一个的九宫格中，使得每行、每列既要有红、黄、蓝三色棋子，又要出现标有、的棋子? 这个问题动动脑筋并不难解决(右上图)它其实是一个双拉丁方(严格地讲应称为正交拉丁方)问题用、分别表示红、黄、蓝， 用、分别表示、，则右上图即是问题的答案. 提起拉丁方，人们自然会想到数学家欧拉，正是他开始了这个问题的研究据说, 普鲁士国王腓特烈大帝在阅兵时曾向欧拉提出一个问题：有六个兵种、每个兵种有六种官衔的军官共名，打算排成一个方阵，使每行、每列中既要有六个不同兵种的军官，也要有六种不同官衔的军官，怎样排?为了研究方便，欧拉用大写拉丁字母、代表六个兵种，用小写拉丁字母、代表六种官衔，则这些军官可用代表，于是问题变为：如何把这些双写字母放到方格中，使得每行、每列既要出现、，又要出现、 (这正是拉丁方名称的来历)这种方阵称为正交拉丁方，也称为欧拉方阵，而把方阵的行数或列数称为阶 欧拉苦苦思索，仍然毫无结果当他研究了阶拉丁方不存在(这个容易验证)之后，便猜想：阶(是或自然数)的正交拉丁方不存在! 一百多年过去了 1901年，法国数学家塔瑞采用穷举法, 证明了二维6阶(即中的时)正交拉丁方确实不存在这个结果似乎增加了人们对于欧拉猜想的信念又过了半个世纪，当拉丁方开始找到应用的时候(在试验设计等方面)，它又重新唤起人们的兴趣但意外的事发生了!1959年，数学家玻色和史里克汉德首先给出了一个阶(中的)正交拉丁方，接着，帕克又证明了阶正交拉丁方(中的)存在，且构造了它，欧拉猜想被推翻了！这之后，玻色和史里克汉德又证明：除了和之外，其它阶正交拉丁方都存在！1982年，阿尔肯、施密斯和斯通三人给出了三维阶正交拉丁方该概念的含义如下：三维阶拉丁方是一个的立体(它有行、列、竖)，在其中写有数，使得每个数在每行、每列、每竖中恰好出现一次三个三维阶拉丁方叠合在一起时，若每一有序数组，均出现，则称此为一个三维阶正交拉丁方在此之前，有人曾猜测，三维的阶正交拉丁方不存在前述三人给出的这个三维阶正交拉丁方的六个层面的数字分别是： 反例其实也是对数学缺陷的一种指正和对结论的修补，这其中势必有个修正命题、以求完美的过程当然，有时反例是靠严格数学推理而来，既便你一时找不到它的具体存在在质数中，除之外皆为奇数，因而它可分成或型(奇数总可以表示为. 若, 则; 若, 则)人们起初发现, 若给定，则对于所有不大于的来讲，型质数的个数不少于型质数的个数，比如：时, 型的质数,时, 型的质数, 你耐心算下去一般不会发现意外，但如果你能算到时(这显然不可能)，情况则发生逆转(请注意上述这个数是一个大得让人无法想象的天文数字，若将它写成的形式，假如宇宙中所有物质都变成纸，且在其每个电子上记上一个，仍然无法写完上述数中的极小一部分)！克服了或解释了数学中的奇异性以寻求和谐，这常会使数学概念得以拓广，从而数学本身也得以发展3 . 2 数学中的有限性（上） 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出平面上有无数个点，而确定一个平面仅需要三个点(当然它们不共线)就可以一副扑克牌洗多少次才算最匀净? 答案是次(并非越多越好，要知道一副扑克可能的排列方式有种，它大约为)美国哈佛大学的数学家戴柯尼斯和哥伦比亚大学的数学家贝尔发现了这一奥秘他们把张牌编上号，先按的递增顺序排列洗牌时分成两叠，一叠是，另一叠是洗一次后会出现这样的数列：，它是两组递增数列：，和，的混合此后再继续洗牌，若递增数列的组数多于时，这副牌已完全看不出原来的样子(顺序)计算表明，当洗牌次数为时，可实现上述效果(多于此数，过犹不及)再如广告，商家也许以为所做次数越多，效果越好，其实不然广告费用的投入与效果，遵循经济活动中著名的曲线(下图)，从图上可以看出：投入费用在某一段区间内时，广告最为有效. 另一方面，广告播出次数以次左右为最佳美国著名广告学家克鲁曼认为：消费者是在漫不经心地接触广告：第一次只了解信息的大概，第二次开始关心广告的内容与自己是否有关，第三次便会对产品加深印象与了解广告以次为最佳，否则会无效或产生厌倦情绪和逆反心理三角形数的个数是无限的，但其中仅有六个是由同一数字组成的：()，()，()，()，()，() 又如棱锥数(金字塔数)：中， 仅有()和()是完全平方数， 这是1875年吕卡斯猜测的，直至1918年才由沃森给出证明 著名的斐波那契数列，中的完全平方数仅有，和这三项(由四川大学的柯召等人于1964年解决) 由前文我们知道，方程仅有一组非平凡的整数解，；方程, 即有且仅有，和三组正整数解 1842年，卡塔兰曾猜想：和是唯一一对都是正整数幂的相继自然数(对于方幂中有一平方数的情形，被柯召于1962年解决；1976年Tiideman证明：若两相继自然数均为正整数幂，则每个正整数的幂均应小于常数，已证得). 是唯一一个夹在两个方幂52和33之间的整数，即方程仅有一组整数解而有两组整数解和；仅有一组整数解 欧拉早就指出：仅有一组整数解(此与卡塔兰猜想等价)；有三组整数解，和；但无整数解(形如的方程称为Modell方程，而称为Pell方程). 多面体千姿百态、种类繁多，欧拉却从中找出了它们的共性：对于(单连通面组成的)简单多面体(表面连续变形，可变为球面的多面体), 他在其顶点数、棱数和面数之间建立了一个等式：(欧拉公式)在众多的场合下，它是适用的(上面括号内的文字已给出公式的适用范围)人们正是依据这一点证明了：正多面体(各个面都是全等的正多边形的几何体)仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 此外，与它们共轭的多面体(若两多面体的棱数相同，且其中一个的顶点数和面数, 恰好是另一多面体的面数和顶点数, 则这两个多面体互称共轭)也只有种, 它们每面的边数和交于一点的棱数，以及，的关系如下： 正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体) 正八面体及其共轭图形 正十二面体及其共轭图形 正二十面体及其共轭图形(正六面体) (正二十面体) (正十二面体)我们也知道：平面上与单位圆(半径为的圆)相切的单位圆最多只能有个(它的证明不难)有人将问题推广到空间情形 起初(1694年), 英国天文学家格雷戈里猜测：一个单位球(半径为1的球)可与个单位球相切, 而牛顿则认为这个数目应是大约260年后(1953年)，许特和范德瓦尔登给出“至多可与个单位球相切”的论证1956年, 利奇又给了一个简化证明 顺便讲一句, 上述结论与自然界的某些现象与构造是协调的十九世纪，法国结晶学家布拉维利用群论的研究成果，确定了晶体仅有种可能的结构(这一点已被现代科学所证实), 这种有限种类的结构已被无限的自然界所认可完美矩形(用规格完全不同的正方块拼成的矩形)有无穷多种，但是阶数(即组成它的小正方形个数)最小的完美矩形(阶)仅有两个(见下图，图中的数字表示该正方形边长) 考虑周长一定的毕达哥拉斯三角形的个数问题. 当个数为时，有周长是的情形存在: 三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形；当个数为时，在周长小于的情形中仅有例，其中最小者周长为，三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形 这类问题首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！ 数学中的有限性的另一层意思是：“项”与“个数”最少问题比如，我们前面提到的完美矩形的阶数最小是，完美正方形的最小阶数是等此外，还有许多此类问题，比如： 正方形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(1)；钝角三角形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(2). 数学中的唯一性问题，是特殊的有限比如，两相交直线有唯一一个交点; 螺旋式三阶反幻方(各行、各列、各对角线上诸数和皆不相等)，不计其平移、旋转、反射等变换，其解是唯一的用同一种数字构造数、用同一种图构造图形，里面也含有单一问题这类问题在数学中有很多比如，平面的镶嵌问题，即问：用什么样的单一图形可以铺满(无缝隙、无重叠)平面(完美正方形也是一种镶嵌)?圆显