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项目一 分析工程构件的承载能力 项目一 分析工程构件的承载能力静力学是研究物体平衡问题的科学。所谓平衡，是指物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，它是物体机械运动的一种特殊形式。静力学的基本内容可归结为以下几个问题：1. 物体的受力分析。即分析物体受到哪些力的作用，各力的大小、方向、作用点（线）如何。2. 力系的简化。力系是指作用于物体上的一组力。将一个复杂的力系用简单的力系来等效代替，称为力系的简化。3. 力系的平衡条件。欲使物体处于平衡状态，作用在物体上的力系必须满足一定的条件，这种条件称为力系的平衡条件。物体平衡时所受的力系，即为平衡力系。应用力系的平衡条件，可以解决一些工程实际问题。静力学是工程力学中最基础的部分，也是本课程中其它内容的基础，在工程上具有重要的实用意义。一、力的概念人们在长期的生活和生产实践中，通过观察和分析，逐渐形成了力的概念：力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化，或者使物体发生变形。显然，力不能脱离开物体而存在。物体若受到力的作用，则必有施力物体。明确这一点，对以后的受力分析是很重要的。力对物体的作用效果有两种：一是使物体的运动状态发生变化，这一效应称为力的运动效应，也叫外效应；二是使物体发生变形，这一效应称为变形效应，也叫内效应。在静力学中只研究力的外效应，力的内效应将在材料力学中研究。力对物体的作用效果，取决于力的三要素大小、方向和作用点。三要素中的任何一个发生变化，都将改变对物体的作用效果。力是矢量，在图中用有向线段表示，如图2-1所示。线段的起点或终点表示力的作用点；线段的方位和箭头的指向表示力的方向，线段的长度（按一定比例尺画出）表示力的大小。对力进行标注时，力矢量一般用粗体大写英文字母F表示，而力的大小则用细斜体F表示。 在国际单位制中，力的单位为牛顿（N），常用单位为千牛顿（kN）。二、刚体的概念任何物体受力后，都将产生或大或小的变形。但在许多情况下，变形都是很小的，忽略变形不会对所研究的问题有实质性的影响，但却可以使问题大大简化。例如，图2-2所示桥式起重机的桥架，由于起吊重物及其自身的重量，将发生弯曲变形，但在计算两端的支承反力时，忽略这一变形，对计算结果影响甚微。因此完全可把起重机桥架看成是不变形的物体。这种受力后几何形状及尺寸均不发生任何变化的物体，称为刚体。刚体是一种抽象的力学模型，实际上并不存在。一个物体能否作为刚体，与所研究的问题的性质有关。例如，在静力学中，研究的是物体的运动效应（外效应），所以完全可以将物体看成刚体，而在以后学习材料力学时，由于要研究物体的变形效应（内效应），所以就不能将物体看作刚体。三、静力学公理静力学公理是人们在长期的生活和生产实践中总结出来的规律，它是整个静力学的基础。公理一 二力平衡公理 作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分和必要条件是：这两个力大小相等、方向相反，作用在同一直线上。 图2-3 图2-4这一公理实际上是作用在刚体上的最简单的力系的平衡条件。它是就刚体而言的，对于变形体，这一条件不是充分条件。例如，图2-3中的软绳，在一对等值反向的拉力作用下可以平衡（图2-3a），但若受一对等值反向的压力作用，则不能平衡（图2-3b）。在两个力作用下处于平衡状态的构件，称为二力构件（或二力杆），在工程上很常见。 它的受力特点是：两个力的作用线必沿两力作用点的连线。例如，图2-4所示支架中的BC杆，若忽略其自重，即为二力构件。掌握二力构件的概念，对物体的受力分析具有重要意义。公理二 加减平衡力系公理 在作用于刚体上的任一力系中，加上或减去一个平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效果。这一公理是力系等效代换的重要依据，常用来对已知力系进行简化。推论 力的可传性原理 作用于刚体上的力，可沿其作用线移至刚体上任一点而不改变对刚体的作用效果。这一推论可证明如下：设刚体上A点作用一力F，如图2-5（a）所示，现在其作用线上任取一点B，在B点加一平衡力系（F1、F2），使F1= -F2 = F，如图2-5（b）。根据公理三，这样做并不改变对刚体的作用效果。此时，F2与F组成一平衡力系，根据公理三，将其从力系中减去，推论即得证。根据这一推论，作用于刚体上的力的三要素可表述为：力的大小、方向、作用线。应特别注意，力的可传性原理只适用于刚体而不适用于变形体。例如，对图2-6所示可变形的直杆，在受到等值、反向、共线的拉力作用时，将产生伸长变形；若按力的可传性原理，将两力分别移至杆的另一端，则杆将产生压缩变形。 （a） （b） （c）图2-5 图2-6公理三 力的平行四边形法则 作用于刚体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点，大小和方向由以此二力为邻边所作平行四边形的对角线来确定（图2-7）。 这一公理实质上是矢量合成的法则，可用数学表达式表示为 FR= F1+ F2其实，若先由A点作矢量=F1，再由B点作矢量= F2，则矢量即为F1与F2的合力FR。这种求合力的方法称为力三角形法则。但应注意，这一方法只能用来求合力的大小和方向，力三角形中各力矢量的起点（或终点）并不表示力的作用点。两个共点的力可以合成为一个合力，反过来，一个力也可以按公理三分解为两个分力。但如果不附加任何条件的话，将有无穷多组解。在工程上，常将力沿指定方向分解为两个互相垂直的分力。公理四 作用与反作用公理 两个物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在两个物体上。这一公理表明，力总是成对出现的，有作用力就有反作用力，二者互为依存。它对物体系统的受力分析具有重要的指导意义。 （a） （b）图2-8值得强调的是，虽然作用力与反作用力等值、反向、共线，但由于二者分别作用在两个物体上，所以不存在是否平衡的问题。例如，悬挂在天花板上的电灯，受重力及拉线的拉力FT作用（图2-8）。此二力都作用在重物上，符合二力的平衡条件，为一平衡力系。根据公理四，这两个力当然都有其反作用力。它们各是哪个力呢？这就需首先弄清受力物体和施力物体。重力G为地球对电灯的引力，故它的反作用力是电灯对地球的引力，作用在地球上。拉力FT是拉线对电灯的拉力，其反作用力是电灯对拉线的拉力FT。任务1.1 物体的受力分析学习目标l 能够判别工程约束类型，正确绘出约束力。l 能够正确判别二力杆件。l 能够正确绘制构件的受力图。工作任务 对人字梯结构分析机构的受力，画出梯子AB、AC及整个系统的受力图。任务分析在掌握静力学基本概念及静力学公理的基础上，着重学习物体受力分析的方法。通过受力分析，画出物体的受力图，是求解物体平衡问题的关键步骤。这部分内容必须熟练掌握。画受力图时一定要先取分离体，也就是说将所要研究的物体从周围物体中分离出来，将周围物体对其作用以力来表示；接下来通常是先画主动力，因为主动力一般均为已知力，只须照搬即可；最后画约束反力，要特别注意不要凭主观想象去画，而必须根据各种约束类型的反力特点去画，若遇到自己不熟悉的约束，必须根据约束所能限制的运动方向来确定约束反力。基础知识一、约束的概念在日常生活或工程实际中所遇到的物体，大多与其它物体以一定的方式相互联系在一起，从而使其在某些方向的运动受到限制。例如，铅直悬挂着的电灯（图2-8），受到拉线的限制，使其不能向下运动；沿钢轨行驶的机车，受到轨道对它的限制，而不能沿车轮与轨道接触点公法线趋向钢轨运动。对物体某些方向的运动起限制作用的周围物体，称为约束。如以上例子中的拉线、轨道等。约束对物体的作用力称为约束反力，常简称为反力。图2-8中的力FT，就是拉线对电灯的约束反力。与约束反力相对应，使物体产生运动或运动趋势的力，称为主动力。如图2-8中的重力G即为主动力。约束反力是由于主动力作用而引起的，所以也称“被动力”，它随主动力的变化而变化。在静力学中，主动力通常是已知的，而约束反力则是未知的，需由平衡条件确定。由于约束反力是限制物体运动的，所以其方向总是与约束所能限制的物体运动方向相反，这是确定约束反力方向的准则。二、常见的约束类型及其约束反力的特点1. 柔性约束图2-10这类约束由柔软的绳索、链条或皮带等构成，也称为柔索约束。由于它只能限制物体沿柔索伸长方向的运动，所以，其约束反力的特点是：沿柔索中心线背离物体。图2-9所示为起吊重物时钢丝绳对物体的约束及约束反力；图2-10所示为皮带传动中皮带对轮子的约束反力。2. 光滑接触面约束当两个物体接触面上的摩擦力与其它力相比很小时，可忽略摩擦力，将接触面看成是完全光滑的。这种约束称为光滑接触面约束。图2-11所示支承面对物体的约束、图2-12所示齿轮的齿面间的约束均属于这类约束。对光滑接触面约束，无论其接触面为平面还是曲面，都不能限制物体沿接触面切线方向的运动，而只能限制物体沿接触面公法线方向压入约束物体方向的运动。所以，光滑接触面约束的约束反力的特点是：沿接触面在接触点处的公法线指向物体。 图2-11 图2-12光滑圆柱形铰链约束（a） （b） （c）图2-13将两个（或多个）构件通过圆柱形销钉联接起来，使各构件间只能绕销钉轴线相对转动，这样就构成了光滑圆柱形铰链约束，如图2-13a所示。这种约束中，销钉与构件圆孔间可看作光滑接触面，所以其约束反力应沿接触面公法线方向，即通过铰链中心O，但由于接触点位置需由主动力情况确定，使得约束反力的方法不能预先确定。因此，通常用通过铰链中心的两个正交分力来表示，如图2-13b所示。铰链约束的简化表示如图2-13c所示。若圆柱形铰链中有一构件与机架或基础固定在一起时，则称之为固定铰链支座，如图2-14所示。它是光滑圆柱铰链约束的一种特殊情形，在工程上很常见。3. 辊轴约束将构件的铰链支座用几个辊轴支承在光滑平面上，就成为辊轴支座，也称活动铰链支座，如图2-15所示。由于这种约束不能限制构件沿支承面方向的运动和绕销钉轴线的转动，而只能限制构件沿支承面法线方向的运动，所以，其约束反力垂直与支承面且通过销钉中心，指向待定。三、受力分析 受力图研究物体的平衡问题，必须先进行受力分析。由于作用于物体上的全部外力可分为主动力和约束反力，而主动力一般情况下均为已知力，所以关键是分析约束反力。为此，必须先将所研究的物体从周围物体（约束）中分离出来，画出其轮廓（即分离体），并将作用在其上的主动力和约束反力全部画在该物体轮廓上，这样即得到物体的受力图。画约束反力时，一定要弄清各处的约束类型，根据该约束类型的反力特点来画，决不可主观猜测。若遇到不熟悉的约束类型，需根据其约束性质确定其约束反力。下面举例说明。（a） （b）图2-16例2-1 重G的圆柱形滚子放置在斜面上，用平行与斜面的绳索拉住，使其静止在斜面上，如图2-16a所示。试画出滚子的受力图。解：（1）取分离体。以滚子为研究对象，画出其轮廓。（2）画主动力。主动力仅物体的重力G，作用在滚子中心O，方向铅垂向下。（3）画约束反力。A处为柔性约束，其反力FT沿绳索中心线离开物体；B处为光滑接触面约束，反力FN沿接触面公法线指向物体，即沿半径方向指向 项目一 分析工程构件的承载能力圆心。得到滚子受力图如图2-16b所示。图2-17例2-2 起重支架如图2-17所示，在AB杆的B处作用一力P，若各杆重量不计，试分别画出杆CD及杆AB的受力图。解：本题中的支架为一个物体系统，作受力分析时，应从受力简单的物体着手。杆CD仅在C、D两处各受一力作用，为二力构件。根据二力平衡条件，FC、FD两力作用线应沿C、D连线。这样，就确定了C、D两处的约束反力方向，而无须再用正交分力表示。画杆AB的受力图时，先画出主动力P，然后再画A、C两处的约束反力。C处的约束反力FC为FC的反作用力；A处为固定铰链支座，约束反力用一对正交分力表示。任务实施工业案例 人字梯由AB和AC两部分在A处铰接而成，又在D、E两点用水平绳连接，如图2-18所示。梯子放在光滑的水平地面上，若其自重不计，但在AB的中点H处作用一铅直载荷G。试分别画出梯子AB、AC及整个系统的受力图。解：本题也是物体系统的受力分析问题。先画梯子AB的受力图。D处为柔性约束，反力FT沿柔索中心线离开梯子；B处为光滑接触面约束，反力FNB与地面垂直，指向梯子；A处为铰链约束，用两个正交分力FAx、FAy表示。画梯子AC的受力图时，应先画出主动力G。反力情况与梯子AB相似。A处的反力FAx、FAy分别是FAx、FAy的反作用力。将人字梯作为整体考虑时，梯子AB、BC间在A处的相互作用力成为系统的内力，它对系统不产生外效应，所以不必画出。绳子与梯子AB、BC间的相互作用力也属于这种情况。这样，只需画出作用在系统上的外力即可，包括主动力G、地面在B、C两处的反力FNB、FNC。应当注意，内力与外力的区分不是绝对的。随着研究对象的不同，内力与外力可以互相转化。例如，当我们取梯子AB为研究对象时，FAx、FAy及FT均为外力；而取人字梯整体为研究对象时，它们则转化为内力。正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时，应注意以下几点：（1）必须明确研究对象。对于物体系统，根据求解的需要，可以取整体为研究对象，也可以取物体系统中的某一个或某几个物体为研究对象。（2）避免多画力或漏画力。对于受力图中所画出的每一个力，都要能指出其施力物体，否则这个力就是多画的力；为了避免漏画力，在画出已知的主动力后，对研究对象与周围物体的每一接触处，都要仔细分析是否有约束反力。（3）严格按约束的性质画约束反力，不可主观推测。（4）注意作用力和反作用力间的关系。一旦假定了作用力的方向，反作用力的方向则与其相反。作用力和反作用力通常用相同的字母标注，通过角标“”区分。（5）对于物体系统，应注意随研究对象的不同，内力与外力可互相转化。填写工作单三角架机构受力分析 报告参考格式班级_ 姓名_序号步骤机构受力分析机构分析归类特点1三角架机构案例 2绘制两杆AB、BC的受力图 3绘制销钉B的受力图 4绘制三角架整体受力图 习题2-1 二力平衡公理和作用与反作用公理中，都提到了等值、反向、共线的两个力，它们的区别在哪里？2-2 能否在图2-19所示曲杆的A、B两处各加一力，使其处于平衡状态？试说明理由。 图2-19 图2-202-3 图2-20所示刚体上A点作用着三个均不为零的力F1、F2、F3，其中F1与F2共线，问此三力能否平衡？为什么？2-4 等式F=F1+F2与F=F1+F2所表示的意义有何不同？ （a） （b） （c） （d）图2-212-5 作出图2-21所示各物体的受力图。设接触面均为光滑面，未标出重力的物体均不计自重。2-6组合梁如图2-23所示，试分别画出AC、CD及整体的受力图。2-7 试分别画出图2-24所示结构中AB、BC及整体的受力图。2-8 画出图2-25所示结构中杆AC、BC、DH及整体的受力图。不计摩擦，各构件的自重亦不计。 图2-24 图2-25任务1.2 物体的平衡问题学习目标l 能够求解平面汇交力系的平衡问题。l 能够求解平面力偶系的平衡问题。l 能够求解平面任意力系的平衡问题。工作任务 分析塔式起重机受力，欲使起重机满载和空载时均不致翻倒，平衡铁重量的范围？任务分析 （a） （b）图3-1若力系中各力作用线均作用在同一平面内，则称为平面力系，否则为空间力系。平面力系是工程实际中最常见的力系，如图3-1（a）所示悬臂吊车、图3-1（b）所示活塞连杆机构等。而且，有些空间力系问题可简化为其对称面内的平面力系，如汽车的受力等。因此，学习平面力系在工程上具有重要意义。基础知识No1.平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在直角坐标轴上的投影图3-2设力F作用在Oxy平面内（图3-2），过力F的两端点A、B分别作x轴的垂线，则两垂足a、b间的线段ab称为力F在x轴上的投影。 同理，过力F的两端点A、B分别作y轴的垂线，则可得到力F在y轴上的投影a1b1。力在坐标轴上的投影为代数量。其正负规定为：若力的起点的投影a（或a1）到终点投影b（或b1）的指向与坐标轴正向一致为正，反之为负。在图3-2中，设力F与x轴所夹锐角为a，则有 （3-1）反过来，若已知力F在x、y轴上的投影分别为Fx、Fy，则力F的大小和方向分别为： （3-2）式中，a力F与x轴所夹的锐角。力的指向由Fx、Fy的符号确定。二、平面汇交力系合成的解析法若平面力系中各力作用线均汇交于一点，称为平面汇交力系，这是力系中最简单的一种。下面讨论其合成问题。(a) (b)图3-3设刚体上作用一平面汇交力系，各力作用线汇交于点O，如图3-3a所示。根据力的平行四边形公理，将各力依次合成，其合力的作用线显然也通过点O。在求合力的大小和方向时，连续应用力三角形法则更加方便，如图3-3b所示。合成结果表明：平面汇交力系合成的结果为一合力，它等于力系中各力的矢量和，且作用线通过力系中各力的汇交点。用矢量式表示为 FR=F1+F2+F3+Fn=SFi （3-3）将式（3-3）两边分别向x、y轴投影，得 （3-4）上式表明：合力在某一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。这一结论称为合力投影定理。对于平面汇交力系，可由合力投影定理求得合力FR在x、y轴上的投影，进而由式（3-2）求得合力的大小和方向 （3-5）式中，a为合力FR与x轴所夹的锐角。合力FR的指向由Fx、Fy的符号确定。例3-1 已知F1=200N，F2=300N，F3=100N，F4=250N，求图3-4所示平面汇交力系的合力。解：先计算合力在x、y轴上的投影 图3-4 再计算合力的大小和方向即a=40.97，如图3-4所示。三、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系合成的结果为一合力，也就是说，它可以被其合力等效代替。显然，若欲使平面汇交力系平衡，则其合力必须为零；反之，若合力为零，则力系也必然平衡。因此，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力为零。即欲使上式成立，则必须同时满足 （3-6）式（3-6）称为平面汇交力系的平衡方程，它说明：平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在x、y轴上投影的代数和均为零。平面汇力力系的平衡方程由两个独立的方程式组成，所以在一个分离体上可求解两个未知量。下面举例说明。例3-2 图3-5a所示为一起重装置，物重G=20kN，用钢丝绳跨过滑轮B再缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙联接。设两杆及滑轮自重不计，并略去摩擦及滑轮尺寸，求平衡时杆AB和BC所受的力。解：（1）确定研究对象。杆AB和BC均为二力杆，要求得其受力，应取滑轮（含销钉）为研究对象，由滑轮的平衡条件求出两杆对滑轮的约束反力即可。（2）画受力图。滑轮受力包括钢丝绳拉力FT1和FT2、杆AB及BC的约束反力FAB和FBC作用。如图2-5（c）所示。由于滑轮的尺寸不计，所以作用于滑轮上的力系为平面汇交力系。（3）建立坐标系并列出平衡方程。建立坐标系时，应尽量使坐标轴方向与某一未知力的作用线垂直，以减少方程中的未知量，避免解联立方程组。本题中两未知力作用线互相垂直，故取坐标轴分别与此二力作用线重合。（a） （b） （c）图3-5 代入已知量求解，得kN， kN。FAB为负值，表明该力的实际方向与受力图中所假设的方向相反，即杆AB受压。No2. 平面力偶系一、力矩的概念力作用在物体上，不仅会产生移动效应，还会产生转动效应。例如，门在力的作用下开启 或关闭、用扳手拧紧或松开螺母等。下面就来讨论力对物体的转动效应。图3-6图3-6所示为用扳手拧紧螺母的情形。稍有经验的人，在操作时都会在端部A处施力，且使力的方向与扳手垂直。这是因为，力对物体所产生的转动效应，不仅与力的大小、方向有关，还与转轴O到力作用线的距离有关。在力学中，将物体的转动中心称为矩心，矩心到力作用线的距离称为力臂。以力和力臂的乘积来度量力对物体的转动效应，称为力对点之矩，简称力矩。即 Mo(F)=Fd （3-7）图3-7在平面问题中，力对点之矩为代数量。其正、负规定为：力使物体产生逆时针方向的转动为正，反之为负。在国际单位制中，力矩的单位为牛米（Nm），常用单位为千牛米（kNm）。由式（3-7）可知，力矩为零的条件是：力的作用线通过矩心。应当指出，矩心并非一定是固定的转动中心，它可以是力的作用面内任一点。如图3-7所示。二、合力矩定理平面汇交力系可以合成为一个合力，也就是说，平面汇力力系可以用其合力等效代替。因此，合力对一点的力矩等于力系中各对同一点之矩的代数和。即 Mo(F)=S Mo(Fi) （3-8）式（3-8）称为合力矩定理。在计算力矩时，若力臂不易求得，可将力沿适当方向分解，然后根据合力矩定理计算。例3-3 刚架受力、尺寸如图3-8所示，试分别计算力F对点A、B的力矩。图3-8解：（1）计算力F对点A之矩。可直接按定义计算 Mo(F)=Fd=Fbcosa（2）计算力F对点B之矩。若直接计算，力臂的计算较繁，此时应用合力矩定理计算较为方便 Mo(F)= Mo(Fx)+ Mo(Fy) =-Fcosab+Fsinaa=F(asina-bcosa)三、力偶的概念 在日常生活及工程实践中，常常会见到两个大小相等、方 （a） （b） （c）图3-9向相反的平行力作用在物体上，如双手转动汽车方向盘、用丝锥加工螺纹、用手指拧开水龙头等，如图3-9所示。这样的两个力组成了一个特殊的力系，我们称之为力偶，用（F、F）表示，如图3-10所示。两力作用线所确定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的距离称为力偶臂。图3-10由于力偶不能合成为一个合力，所以不能用一个力等效代替，也不能用一个力与之平衡。力偶只能与力偶相平衡。因此，力偶也是静力学中一个独立的要素。四、力偶的度量组成力偶的两个力，虽然其矢量和为零，但由于它们不共线，所以不能平衡，它会对物体产生转动效应（图3-11）。力偶使物体绕某点O转动的效应，可由组成力偶的两个力图3-11对该点力矩的代数和来度量。即 Mo(F)+ Mo(F )=-Fx+F(x+d) =-Fx+Fx+ Fd = Fd上述计算表明：力偶对其作用面内一点的力矩，只与力和力偶臂有关，而与矩心位置无关。因此，将组成力偶的力的大小与力偶臂的乘积作为力偶转动效应的度量，称为力偶矩，用M(F，F )或M表示。即 M(F，F )= Fd或 M= Fd （3-9）力偶矩是一个代数量，其正、负号表示力偶的转向，通常规定：逆时针转向的取正，反之取负。力偶矩的单位与力矩的单位相同。力偶矩的大小、转向和力偶的作用面，称为力偶的三要素，它们决定了力偶对刚体的作用效果。五、同平面力偶的等效定理由于力偶只产生单纯的转动效应，且其转动效应又完全取决于力偶矩，所以，同一平面内的力偶，如果力偶矩相等，则互相等效。这一结论称为同平面力偶的等效定理。由同平面力偶的等效定理，可得到以下两个推论：（1）力偶可在其作用面内任意搬移而不改变对刚体的作用效果。（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可相应改变力偶中力的大小和力偶臂的大小，而不改变对刚体的作用效果。 图3-12由此可见，力偶矩是对平面力偶作用效果的唯一度量。因此，图3-12表示力偶的几种方式是完全等效的。六、平面力偶系的合成与平衡1. 平面力偶系的合成作用于刚体上同一平面内的若干个力偶，称为平面力偶系。下面以两个力偶组成的平面力偶系为例，讨论平面力偶系的合成。（a） （b） （c）图3-13设在同一平面内有两个力偶（F1、F1）和（F2、F2），它们的力偶臂分别为d1和d2，力偶矩分别为M1和M2，如图3-13（a）所示。为便于合成，在保持力偶矩不变的前提下，调整两力偶的力偶臂，使其均为d；并将其在作用面内搬移，使两力偶的力作用线重合。这样得到两个分别与（F1、F1）和（F2、F2）等效的新力偶（F3、F3）和（F4、F4），如图3-13（b）所示。根据同平面力偶的等效条件，有M1=F1d1= F3d，M2=F2d2= F4d分别将作用在A、B两点的力合成，得F=F3-F4，F=F3-F4，由于F与F为一对大小相等、方向相反的平行力，所以形成一力偶。也就是说该平面力偶系合成的结果为一合力偶。合力偶矩为 M=Fd=( F3-F4)d= F3d-F4d=M1+M2显然，无论平面力偶系由多少个力偶组成，其合成结果均为合力偶。即：平面力偶系合成的结果为合力偶，合力偶矩等于各力偶矩的代数和，其数学表达式为 M=M1+M2+Mn=SMi （3-10） 2. 平面力偶系的平衡由以上合成结果可知，若平面力偶系的合力偶矩为零，则力偶系必然平衡；反之，若欲使平面力偶系平衡，合力偶也必须为零。因此，平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶矩的代数和等于零。即 SMi =0 （3-11）式（3-11）称为平面力偶系的平衡方程。例3-4 梁AB受一力偶作用，其力偶矩M=100kNm，两支座间距离l=5m，辊轴支座B处支承面与水平方向成45夹角，如图3-14所示。试求支座A、B的约束反力。解：（1）取梁AB为研究对象，画受力图。B处为辊轴支座，其反力方向垂直于支承面；A处虽为固定铰链支座，但根据力偶的性质，力偶只能与力偶相平衡，所以，A处的反力FA必与B处的反力FB 图3-14组成一力偶，与力偶矩为M的力偶平衡。（2）列平衡方程求解。由SMi =0，有解之，得 （N）七、力的平移定理力的平移定理是力系简化的重要依据，其内容为：作用在刚体上某点的力，可以平行移动至任一指定点，但需附加一个力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。（a） （b） （c）图3-15该定理可证明如下：设刚体上A点作用一力F，如图3-15a所示。在刚体上任取一点B，并在点B加上一对平衡力F和F，使F=F =-F（图3-15b）。根据加减平衡力系公理，这样并不改变对刚体的作用效果。此时，F和F组成一个力偶（F，F），即原来作用在A点的力F被作用在B点的力F和附加力偶（F，F）等效代替，且附加力偶的矩为 项目一 分析工程构件的承载能力 M=Fd=MB（F）定理得证。从以上证明过程可知，图3-15a、c所示两种情形完全等效，既然如此，力的平移定理的逆定理也是成立的。也就是说，同一平面内的力和力偶可以合成为一个合力，合力的大小的方向与原力相同，合力的作用线与原力的作用线的距离由确定。 No3. 平面任意力系一、平面任意力系的简化若平面力系中各力作用线不能汇交于同一点，也不都互相平行，则称为平面任意力系，它是平面力系的一般形式。设刚体上的n个力F1、F2、Fn组成一平面任意力系，如图3-16a所示。为将此力系简化，在其作用面内任取一点O，称为简化中心，并将力系中各力按力的平移定理平移至点O。平移后的各力F1、F2、Fn成为汇交于点O的一个平面汇交力系，各附加力偶则组成一个平面力偶系。这也就是说，平面任意力（a） （b） （c）图3-16系向一点简化后成为两个简单力系平面汇交力系和平面力偶系。平面汇交力系合成的结果为作用线通过点O的一个力FR，称为原力系的主矢，即 FR=F1+F2+Fn= SFi （3-12）由解析法可求得其大小和方向 （3-13）附加平面力偶系合成结果为合力偶，合力偶矩称为原力系的主矩，即 MO=M1+M2+Mn=MO（F1）+ MO（F2）+ MO（Fi）= SMO（Fi） （3-14）综上所述，平面任意力系向任一点O简化，可得到一个主矢和一个主矩。主矢等于该力系中各力的矢量和，作用线通过简化中心O；主矩等于该力系中各力对简化中心力矩的代数和。由于主矢等于原力系中各力的矢量和，所以与简化中心位置无关，而主矩则一般与简化中心位置有关。因为矩心位置不同，力系中各力对简化中心的力矩也不同。二、平面任意力系简化结果分析平面任意力系向其作用面内任一点简化所得的主矢和主矩一般并不是力系简化的最终结果。其最终结果有以下几种情形：1. 简化为一个合力。（1）当FR0，MO=0时，主矢FR即为原力系的合力。（2）当FR0，MO0时，根据力的平移定理的逆定理，主矢FR和主矩MO将合成为一个合力，合力的大小和方向与主矢相同，作用线与主矢作用线相距为。上述两种情况下，力系简化的最后结果均为合力。2. 简化为一个力偶。当FR=0，MO0时，力系简化的最后结果为合力偶，合力偶矩等于主矩。此时，主矩与简化中心的位置无关。3. 力系平衡。当FR=0，MO=0时，原力系平衡。三、平面任意力系的平衡方程及其应用由以上讨论可知，当主矢和主矩均为零时，平面任意力系平衡。即MO= SMO（Fi）=0由此得平面任意力系的平衡方程 （3-15）式（3-15）表明，平面任意力系平衡的解析条件为：力系中各力在任选的两个坐标轴上投影的代数和均为零，各力对任意一点的矩的代数和也等于零。它是平面任意力系平衡方程的一般形式，共有三个未知量，所以在一个分离体上可求解三个未知量。应用上述平衡方程解平面任意力系平衡问题时，应在受力分析的基础上确定研究对象，画出受力图，然后选择适当的坐标轴及矩心，列方程求解。四、固定端约束（a） （b） （c）图3-17在工程上经常会遇到这样一种约束，即物体的一端被完全固定在另一物体上，例如，楼房阳台的挑梁（图3-17a）、固定在刀架上的车刀（图3-17b）等。这种约束称为固定端约束， 可简化表示为图3-17c。固定端约束对物体的作用力，实际上是分布在接触面上的一个平面任意力系。将其向作用面内的点A简化，可以得到一个力和一个力偶。由于力的大小及方向均未知，所以通常用一对正交分力来表示。这样，固定端约束的约束反力可用FAx、FAy和MA共同表示，如图3-18所示。图3-19图3-18例3-5 简易起重机如图3-19所示，其中A、B、C处均为铰链约束，梁AB自重G1=4kN，起吊重量G=10kN，杆BC自重不计，有关尺寸如图所示。试求杆BC所受的力和铰链A外的约束反力。解：（1）分析受力，确定研究对象。梁AB的受力图中体现出了所有待求的未知力，且未知力个数与独立的平衡方程个数相等，所以。可取梁AB为研究对象。（2）建立坐标系，列方程求解。本题中由于大多数力都是铅垂或水平的，所以坐标轴也按此方向选取。为减少方程中的未知量，先列力矩方程，并将矩心取在两个未知力FAx与FAy的汇交点上，于是有 解之，得 （kN） 解之，得 （kN） 解之，得 （kN）四、平面任意力系平衡方程的其它形式在例3-5中，若以B点为矩心列出力矩方程，则有 解之，得 （kN）这说明，若以方程取代方程，也可求得全部未知量。此时，平衡方程的形式为 （3-16）式（3-16）称为平面任意力系平衡方程的二矩式。值得指出的是，在满足A、B两点连线不垂直于x轴这一条件时，它才是力系平衡的充要条件。在例3-5中，也可用方程代替方程，求出FAx。这样，解题时所用三个方程式全部为力矩方程，即 （3-17）式（3-16）称为平面任意力系平衡方程的三矩式。它只有在满足A、B、C三点不共线这一前提时，才是力系平衡的充要条件。在求解平面任意力系的平衡问题时，可灵活选择方程的形式，以便于解题。（a） （b）图3-20例3-6 悬臂梁如图3-20a所示，梁上作用有载荷集度为q的均布载荷，在B端作用有集中力F和力偶矩为M的力偶。已知Fql，M=ql2，梁的尺寸如图所示。求固定端的约束反力。解： 本题中，出现了连续分布在物体上的载荷，称为分布载荷。载荷集度q表示作用于单位长度上的载荷，其单位为N/m或kN/m（若载荷分布在某一面积或体积，则单位分别为N/m2、N/m3）。均布力是分布载荷中最简单的一种。与分布载荷相对应，仅作用于物体上某点的力称为集中载荷。（1）取梁AB为研究对象，画出受力图（图3-20b）。 （2）建立坐标系，选择适当的矩心，列平衡方程求解。计算时可将均布力简化为作用于梁中点的一个集中力，其大小为2ql。 Fix0 FAx = 0 Fiy0 FAy + F2ql0故 FAy2qlF2qlqlql MA（Fi）= 0 MA2ql lF2l+ M0故 MA = 2ql2- F2l -M2ql2 -ql2l ql2ql2MA为负值，表示实际转向与受力图中所假设的转向相反。五、平面平行力系的平衡方程图3-21在平面力系中，若各力作用线互相平行，则称为平面平行力系。它是平面力系的一种特殊情形。由于各力作用线互相平行，所以建立坐标系时使一个坐标轴（如y轴）与各力作用线平行（图3-21），这样便于计算。此时，由于各力作用线均与x轴垂直，所以，无论力系是否平衡，均满足。于是，平面平行力系的平衡方程为 （3-18）式（3-18）只有两个独立的平衡方程，所以，在一个分离体上只能求解两个未知量。任务实施（c） （d）图3-22工程案例 塔式起重机如图3-22a所示，机身重G=100kN，其重心C与右轨B的距离为b=0.6m；最大起重量FP=36kN，与右轨B的距离l=10m；起重机上平衡铁重FP1，其重心与左轨A的距离e=4m；轨距a=3m，欲使起重机满载和空载时均不致翻倒，平衡铁的重量FP1应在什么范围？解：（1）画出起重机的受力图，如图3-22b所示。作用于起重机的各力组成一平行力系。（2）分析起重机不致翻倒的条件。由受力图可知，起重量越大，向右翻倒的趋势越强；相应地，左轨A处的约束反力FNA逐渐减小，当FNA=0时，起重机处于将翻未翻的临界状态（图3-22c），以B点为矩心列力矩方程，即可求得保证起重机不向右翻所需平衡铁的最小重量FP1min。当平衡铁过重时，起重机在空载时将会左翻。临界状态下，FNB=0（图3-22d）。以A为矩心列力矩方程即可求得保证起重机不向左翻时平衡铁的最大重量FP1max。（3）列方程求解。满载时不右翻 得 得 计算结果表明，欲使起重机不致翻倒，平衡铁重应满足60kNFP190kN。填写工作单汽车起重机最大起重载荷分析 报告参考格式班级_ 姓名_序号步骤机构受力分析受力的平衡条件结论1汽车起重机案例2汽车起重机空载状态3汽车起重机满载状态 4汽车起重机一般状态 任务1.3 杆件的承载能力学习目标l 能够用强度条件校核杆件的强度、设计杆件的截面尺寸、确定杆件的荷载l 能够分析杆件的稳定性。l 能够用PLC控制控制单相交流电动机的正反转运行。工作任务 分析钢木结构的起吊架的受力，计算可承受的许可载荷。任务分析在工程上，无论机械还是建筑物，都是由若干构件组成的，各构件在工作时将承受各种外力的作用。为确保构件在力的作用下能够正常工作，需满足以下要求； 1. 有足够的强度所谓强度，是指构件抵抗破坏的能力。构件强度不足，将出现断裂破坏或过大的塑性变形，这在工程上是不允许的。尤其是断裂破坏时，将带来严重后果。2. 有足够的刚度刚度是指构件抵抗变形的能力。构件在受力后都将产生一定的变形，当变形超过允许值时，也将影响到构件的正常工作。例如，吊车梁若发生过度变形，起重小车将不能正常行驶；机床主轴若变形过大，会影响到其加工精度等。3. 有足够的稳定性稳定性是指构件保持其原有形状下的平衡为稳定平衡的能力。例如，受压的细长直杆，在轴向压力达到一定的数值时，会丧失原来直线形状下的平衡而失去工作能力，这种现象称为压杆的失稳；再如，薄壁圆筒在扭转时也会出现失稳现象。为保证构件的强度、刚度及稳定性，往往需增大材料的消耗或采用优质材料，而这必将使经济性下降，并使得构件自