§3.2 立体几何中的向量方法(三)——空间向量与空间角.doc

3.2立体几何中的向量方法(三)空间向量与空间角课时目标1.利用向量方法解决线线、线面、面面所成角的计算问题.2.会用向量方法求两点间的距离，点到平面的距离.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲1空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos _直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin _二面角设二面角l的平面角为，平面、的法向量为n1，n2，则|cos |_0，2.空间的距离距离的分类向量求法两点间的距离若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB|n|)点到平面的距离设n是平面的法向量，A是平面外一点，B则点A到平面的距离d=一、选择题1若直线l1的方向向量与直线l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30 B150C30或150 D以上均错2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于()A30 B60C150 D以上均错3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A等于90 B小于90C大于90 D不确定4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为()A. B. C. D.5.若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A. B2C. D.6在直角坐标系中，设A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标平面折成120的二面角后，则A、B两点间的距离为()A2 B.C. D3二、填空题7若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1，1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_8如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_9已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_三、解答题10.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值11已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离能力提升12在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.13已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，且AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小1空间两条异面直线所成的角，可转化为求两条直线的方向向量的夹角或夹角的补角2直线与平面所成的角，二面角主要利用平面的法向量解决；要注意向量的方向和所求角的范围3空间两点间的距离可直接利用距离公式，点到平面的距离转化为向量的投影问题3.2立体几何中的向量方法(三)空间向量与角、距离知识梳理1.角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos |cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|二面角设二面角l的平面角为，平面、的法向量为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|0，作业设计1A2.B3AA1B1平面BCC1B1，A1B1MN，()0，MPMN，即PMN90.4D如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.，.，|.cos，.5D由题意()(2，3)，(2，3)，PC=| .6A作AEx轴交x轴于点E，BFx轴交x轴于点F，则，22222222222925423244，|2.760解析cosn，n，120.故两平面所成的锐二面角为60.890解析建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则B，M，B1，因此，设异面直线AB1与BM所成的角为，则cos |cos，|0，90.9.解析设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，可取n，又(7，7,7)点D到平面ABC的距离d.10.解由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)(0,0,1)，(1，1,1)显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角90，故有sin |cos |，于是cos .11解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)(0,2,0)，(4,2，2)，(2,2,0)设平面GEF的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y1，z3，n(1,1,3)点B到平面EFG的距离为12B建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E，(1,0,1)，.设平面A1ED的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，即令x1，得y，z1，n.又平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，cosn，.平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.13.(1)证明设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，