§8.4双曲线的简单几何性质 离心率在解题中的应用_964.doc

离心率在解题中的应用王学青（江苏省吴江市平望中学）离心率是圆锥曲线中的一个基本量，它可以用来统一定义圆锥曲线，解析几何中的许多习题都跟它有直接联系对于某些习题，若能将题设中的有关条件跟离心率巧妙地联系起来，常常会起到简化解题过程、迅速求解的功效现举例说明如下一、轨迹方程或曲线类型问题例方程对应的点（x,y）表示的轨迹为（）抛物线双曲线椭圆两条直线分析：如果按一般方法：两边平方后再化简方程进行判断，不但计算较繁杂，右边还会出现xy这样的二次项由于现行的教材中没有坐标轴旋转的内容，因而用这样的方法学生很难得到正确的结论但如果把方程变形为，左端就是（x,y）到（，）的距离，右端显然是（x,y）到直线的距离，上式即表示（x,y）到点的距离是直线l的距离的倍，因不在直线l上，根据圆锥曲线的定义，它的离心率e，故选如用此法判别以下轨迹方程表示何种曲线就很容易了（）；（抛物线）（）（椭圆）例以圆锥曲线焦点弦为直径的圆若与相应的准线的位置关系分别为相交，相切，相离，那么此圆锥曲线一定分别是，分析：判定为何种圆锥曲线的关系是求得相应条件下的离心率的范围设圆锥曲线的焦点为，焦点弦为，圆心为，M，分别与准线l垂直于，（图），则离心率相交时，此时e，曲线为双曲线同样可得出抛物线，椭圆例已知抛物线：yx若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线的焦点及准线l分别重合，试求椭圆的短轴端点与焦点连线的中点的轨迹方程（图）分析：由于可以求得焦点坐标和准线方程，因而假设点为（x，y）后即可根据圆锥曲线的两个不同的定义，分别得出离心率的不同表达式，从而得到轨迹方程解由yx得焦点（，），准线l：x设点为（x，y），因为的中点，得点为（x，y），设椭圆中心为，l于，则有因此，得，化简得又因在的右方所以点的轨迹方程为二、最值问题例设（，），为椭圆的左焦点，点在椭圆上移动为了使有最小值，求点的坐标（图）分析：根据题意，按两点间的距离公式列出的表达式，然后再按求最小值的常规方法求解，以确定的坐标这样解题过程相当繁杂，也难以求出结果从题设知即椭圆的焦半径，椭圆中前面的系数，由此联想到用离心率、焦点、准线间的关系求解解因，左准线为即x，设到准线的距离为，因此，显然，所以只有当，三点共线，且在，之间时，的值最小为，此时点和点的纵坐标相同将代入椭圆方程得x或x，而x=8时点在点的右侧显然不合题意，舍去，所以点的坐标为（，）根据例的解题思路，例、例的求解就很方便了例设双曲线的右焦点为，点（，），试在双曲线上求一点，使有最小值（）例已知点（，），在抛物线上求一点，使有最小值，并求出最小值（，），最小值）解此类题只要观察定点和曲线上的动点连结的线段前面的系数是否为该圆锥曲线的离心率，求动点坐标时只要将过定点和准线垂直的直线方程对应的坐标代入曲线方程即得另一坐标，最小值即该点到相应准线的距离的e倍例已知试求的最小值分析：由联想到为抛物线上的点，分别是（a,b）到（，）和（，）的距离，（，）又恰为抛物线yx的焦点此题经过这样变换不就是例中求的最小值吗？因为抛物线离心率e，很容易得最小离心率在解题中的应用，远非以上两个方面但从上面的例子已经可以看出，利用离心率的有关概念及性质会使某些问题的解答变得十