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第六节 二阶线性微分方程解的结构内容分布图示 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的性质 定理1 函数的线性相关与线性无关 定理2 定理3 定理4 定理5 例1 解线性微分方程的降阶法 例2 常数变易法 例3 线性微分方程的解法小结 例4 内容小结 课堂练习 习题126 返回内容要点： 一、二阶线性微分方程解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是， (6.1)其中、及是自变量的已知函数，函数称为方程(6.1)的自由项. 当时, 方程(6.1)成为， (6.2)这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1 如果函数与是方程(6.2)的两个解, 则 (6.3)也是方程(6.2)的解，其中是任意常数.定理2 如果与是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则 就是方程(6.2)的通解，其中是任意常数.定理3 设是方程(6.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则 (6.4)就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解.定理4 设与分别是方程与 的特解，则是方程 (6.5)的特解.定理5 设是方程 (6.6)的解，其中为实值函数，为纯虚数. 则与分别是方程与 的解.二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换, 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式 三、 常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程 (6.10)其中在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程的通解已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(6.10)具有形如 (6.11)的特解, 其中是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.例题选讲：例1 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解；（2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足的特解. 降阶法例2（讲义例1）已知是方程的一个解, 试求方程的通解. 常数变易法例3（讲义例2）求方程的通解.例4（讲义例3）求方程的通解.课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?2
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