2012年高考江苏卷数学试题解法集锦.pdf

年高考江苏卷数学试题解法集锦 佚 名 整理 江苏卷第 题 江苏苏州张青 江苏徐州许丽 江苏兴化张俊 江苏新沂王广武 江苏南通瞿春波 河南民权童广鹏 江苏南京王明飞 江苏扬州陈正定何长林 题目 已知正数 满足 则 的取值范围是 解法 代数法 同除以 得 烅 烄 烆 令 则 且 对 进一步变形得 烅 烄 烆 由 有 解得 故 另一方面 若记 则由 得 且易知 在 处取得最小值 故 又当 时 故 注 考虑到所求的 与 无关 作为填空 题 可取特殊值 后考虑 此解法表明本题没有超纲 解法 线性规划法 方法 同除以 得 烅 烄 烆 即 烅 烄 烆 令 则 烅 烄 烆 图 作出可行域如图 考虑 的几何意义 是 原点 与可行域内一 点 连线的斜率 易见 的最大值为 的斜率 求得为 考虑直线 与 的图象相切 利 用导数可得切点为 由直线 过点 和直线 过点 可知 点 恰落在 的图象的 段上 此时 有最小 值 故 的取值范围是 方法 同除以 得 烅 烄 烆 即 烅 烄 烆 令 则 烅 烄 烆 所求即 的取值范围 考虑 所以当 时 函数 单调递减 当 时 函 数 单调递增 故 在 处有最小值 由直线 过点 和直 年第 期 中学数学月刊 图 线 过点 可知 点 恰满足约 束条件 作出可行域 大 致图 形 如 图 可 求 得 易得 的取值 范围是 江苏卷第 题 刘玲 江苏省江都中学 题目 若函数 在 处取得极 大值或极小值 则称 为函数 的极值 点 已知 是实数 和 是函数 的两个极值点 求 和 的值 设函数 的导函数 求 的极值点 设 其中 求函数 的零点个数 解 两问比较简单 经计算可立即 得出答案 过程略 由 可知 设 因为 故 在 上是奇函数 因此下面我 们只考察 的情形 由于 故令 所以 易得 为 函 数 的 极 值 点 所 以 函 数 在 上单调递减 在 上单调递增 因为 所以存 在 使得 同理 因为 所以存在 使得 显然 当 时 所以 当 时 所以 当 时 所以 当 时 所以 当 时 所以 因此 的单调增区间是 和 的单调减区间是 和 所以 在 处取到极 大值 因为 即 所以 同理 又因为 在 处取到极小值 且 即 则 综上所述 在区间 上的最大值为 最小值为 由 在 上是奇函数及 我们 易得以下结论 当 时 的零点个数为 个 当 时 的零点个数为 个 当 时 的零点个数在 时有 个 时有 个 故 的零点个数为 个 当 时 的零点个数在 时有 个 时有 个 故 的零点个数为 个 江苏卷第 题 江苏苏州鹿斌湖北孝昌高丰平 江苏板浦徐勇江苏江浦徐爱勇 江苏上冈彭成江苏南京曾金兰 江苏东台崔志荣江苏新海王广余 江苏东海陈光金江苏常熟薛惠良 山东宁阳刘才华黑龙江大庆王勋 江苏南通周铭祥宋茂华 江苏泰兴袁效德阚丽波 江苏震泽姚亚军陈容 江苏无锡何爱君周德明阮必胜 江苏兴化张俊吴秋华邢友宝沈友桂 卞祖菼 题目 如图 在平面直角坐标系 中 椭圆 的左 右焦点分别为 中学数学月刊 年第 期 已知点 和 槡 都 在椭圆上 其中 是椭圆的离心率 求椭圆方程 设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 相交于 点 若 槡 求直线 的斜 率 求证 是定值 解 椭圆方程为 解法 极坐标法 图 以 为极点 射线 为极轴建立极坐标 系 则有 其 中 为 焦 准 距 设 有 延长 交 椭圆 于 点 根据椭圆的对称性 有 因 槡 即 槡 由 知 槡 则 槡 解得 槡 故 有 槡 即直线 的斜率为槡 此时还有 槡 槡 槡 解法 焦半径公式法 设 则由焦半径公式 槡 槡 槡 槡 又 槡 故 槡 由 得 即 两边平方 并 应 用椭圆方程得 化 简后 再 应 用 得 槡 槡 解 得 槡 或 槡 舍去 代入椭圆方程得 槡 槡 槡 所 以直线 的斜率为 槡 解法 参数法 延长 交椭圆于点 由题意及椭圆的对 称性知四边形 为平行四边形 且直线 的倾斜角 为锐角 设直线 的方程为 代 入 得 设方程的两个根为 则 且 由 槡 得 槡 解得 槡 槡 所以直线 的 斜率为 槡 解法 利用椭圆的第二定义 图 如图 过点 作 准线的垂线 令 设直线 的 倾斜角为 由椭圆的第 二定义得 槡 即 槡 同理得 槡 由题意得 槡 槡 槡 解得 槡 故直线 的斜率 槡 解法 极坐标法 因 因为 年第 期 中学数学月刊 所以 则 则 即 故 同理 故 又 槡 槡 所以 槡 槡 槡 解法 利用余弦定理 设 则由椭圆定义得 由余弦定理得 即 解得 因为 所以 同理可得 由椭圆定义得 因为 所以 解得 同理得 于是 槡 解法 参数法 延长 交椭圆于点 设直线的倾斜角为 则它的参数方程为 是参数 将它代入到椭圆方程 并整理得 则 和 是方程的两个实数 根 由韦达定理得 由椭圆的对称性知 所以 槡 由椭圆的定义得 因为 所以 解得 同理得 于是 槡 解法 焦半径公式法 由 解 法 可 知 槡 设 则由焦半 径公式得 槡 槡 由 得 即 两边平方 并应用椭圆方程得 化简可得 当 时显然 当 时 有 于是 槡 槡 中学数学月刊 年第 期 所以 槡 槡 槡 槡 解法 轨迹法 只需要证明 点的轨迹在以 为焦点 的椭圆上 方 法 设 直 线 与 分别与椭圆方 程 联 立 成 方 程 组 解 得 槡 槡 于是 有 槡 槡 由直线 与直线 联立方程组解得 将 代入得 槡 槡 槡 槡 槡 槡 此即 点关于 的参数方程 消去 就得 点 的轨迹方程 故有 槡 槡 方法 设 则有 槡 槡 槡 槡 的坐标分别是 便有 的方程分别是 将 代入 得 槡 槡 槡 槡 由 得 槡 槡 此即 点关于 的参数方程 消去 得 由 知 槡 方法 直线 与直线 平行 可设 设 由 得 解得 烅 烄 烆 由 在椭圆上得 烅 烄 烆 得 代入 化简得 即 所以 是定值 本题中 槡 代入得定值为 槡 江苏卷第 题 王思俭 江苏省苏州中学 题目 已知各项均为正数的两个数列 和 满足 槡 设 求证 数列 是等差数列 设 槡 且 是等比 数列 求 和 的值 年第 期 中学数学月刊 别 解 因 为 槡 烄 烆 烌 烎 所以 是以 为公差的等差数列 别解 因为 即 所以 是等差数列 别解 由 得 由 槡 得 槡 槡 即 又 故 因此 是公差为 的等差数列 别解 由 得 由 槡 得 槡 由 得 槡 两边同时平方 得 两边同时除以 得 因此 是公差为 的等差数列 别 解 因 为 所 以 故 槡 槡 设等比数列 的公比为 由 知 下面用反证法证明 若 则 槡 故当 槡 时 槡 与 矛盾 若 则 故当 时 与 矛盾 综上所述 故 所以 槡 若槡 则 槡 槡 槡 当 时 从而 槡 解之得 矛盾 所以只有槡 即 槡 所以 槡 即数列 是公比为 的等比数列 也就 是 再代入已知等式得槡 槡 槡 解得 槡 别解 设等比数列 的公比为 则 由 槡 得 槡 所以 槡 即 槡 烄 烆 烌 烎 熿 燀 燄 燅 槡 烄 烆 烌 烎 整理得 槡 若 则 此时与 矛盾 所以 则方程 至少有一个正根 所以判 中学数学月刊 年第 期 别式 即 槡 又方程 的两根之积为 所以两个解同号 即必为正根 所以两根之和为 槡 即 所以 槡 即 槡 其中 方程 的解为 槡 槡 槡 槡 槡 因为 槡 于是就有 槡 即 槡 且 槡 若 则当 时 因此 这与 槡 矛盾 若 则当 时 因此 这与 槡 矛盾 所以 且 槡 于是就有 槡 这说明数列 是等 比数列 公比为 槡 由 知 槡 槡 槡 即从 第 项起各项均为常数 而数列 是等比数列 所以数列 的公比 即 槡 且 于是就有 槡 由 知 槡 综上所述 槡 别解 因为 将 槡 化为 槡 令 所 以 槡 槡 槡 因为 于是有 所以槡 故 槡 因为 为等比数列 设公比 槡 即 槡 若 则当 时 因此 这与 槡 矛盾 若 则当 时 因此 这与 槡 矛盾 所以 且 槡 故 即 或 又因