不等式的证明.doc

学科论文不等式的证明的方法介绍不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等 要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围 若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题一、不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）；利用基本不等式，如：；利用常用结论：； ； （程度大） ； （程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设；已知，可设（）；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究二、题型示例 例1 若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之 分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知 解：由题意得证法一：（比较法） ， 证法二：（放缩法），证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CEBD ， 例2 已知a，bR，且a+b=1 求证： 证法一：（比较法） 即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法） 因为显然成立，所以原不等式成立 点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设，则 由a+b=1，得，于是有所以，这与矛盾所以证法五：（放缩法） 左边右边 点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立 点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=（a+2）2+（b+2）2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故例3 设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式显然成立原不等式成立例4 设m等于，和1中最大的一个，当时，求证： 分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，”，从而知证明：（综合法）， 例5 已知，求证：解 1= 又 用同样的思路可以推证关于三个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值问题：已知，求证：证明 1= 又 猜想关于n个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值如何？证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等比较法是证明不等式最常用最基本的方法 分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题含有两上字母