高中数学教学论文 数列通项公式的求法集锦.pdf

数列通项公式的求法集锦 数列通项公式的求法集锦 非等比 等差数列的通项公式的求法 题型繁杂 方法琐碎 笔者结合近几年的高考情 况 对数列求通项公式的方法给以归纳总结 一 累加法 形如 n 2 3 4 且 1 nn aaf n 1 2 1 fff n 可求 则用累 加法求 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求解 n a 例1 在数列 n a 中 1 a 1 1 1 nn aan n 2 3 4 求 n a 的通项公式 解 1 11na 时 这 n 1 个等式累加得 21 32 43 1 21 2 3 1 nn naa aa aa aan 时 1 12 n aa n 1 1 n n 2 故 2 1 1 2 22 n n nnn aa 1 1a 且 也满足该式 2 2 2 n nn a nN 例 2 在数列 中 1 n a 1 a 1 2n nn aa nN 求 n a 解 n 1 时 a 1 1 21 2 32 3 43 1 1 22 2 2 2n nn naa aa aa aa 时 以上 n 1 个等式累加得 21 1 22 2n n aa 1 2 1 2 1 2 n 2n2 故 1 222 nn n aa1 且也满 足该式 1 1a 21 n n a nN 二 累乘法 形如 1 n n a f n a n 2 3 4 且 1 2 1 fff n 可求 则用累乘法 求 有时若不能直接用 可变形成这种形式 然后用这种方法求解 n a 例 3 在数列 中 1 n a 1 a 1nn an a 求 n a 用心 爱心 专心 1 解 由已知得 1n n a n a 分别取 n 1 2 3 n 1 代入该式得 n 1 个等式累乘 即 324 1231 n n aaaa aaaa 1 2 3 n 1 n 1 所 以 时 1 1 n a n a 故 1 n an 且 1 也适用该式 1 0 a 1 n an nN 例 4 已知数列 满足 n a 1 a 2 3 1 1 nnn a n a n a 求 解 由已知得 1 1 n n an an 分别令 n 1 2 3 n 1 代入 上式得 n 1 个等式累乘 即 324 1231 n n aaaa aaaa 1231 234 n n 所以 1 1 n a an 又因为 1 2 3 a 也满足该式 所以 2 3 n a n 三 构造等比数列法 原数列 既不等差 也不等比 若把 中每一项添上一个数或一个式子构成新数 列 使之等比 从而求出 该法适用于递推式形如 n a n a n a 1n a n bac 或 或 其中 b c 为不相等的常数 1n a n baf n 1n a n c n ba f n为一次式 例 5 06 福建理 22 已知数列 满足 1 n a 1 a 1n a 21 n a 求数列 的通项公式 nN n a 解 构造新数列 n ap 其中 p 为常数 使之成为公比是的系数 2 的等比数列 n a 即 整理得 1n ap 2 n ap 1n a 2 n ap 使之满足 1n a 2 n a1 p 1 即 1 n a 是首项为 2 q 2 的等比数列 1 1a 1 n a 1 2 2n 2 n a1 n 理 21 设数列 的首项 n a 1 0 1 a n a 1 3 2 n a n 2 3 4 例 6 07 全国 求 的通项公式 n a 解 构造新数列 n ap 使之成为 1 2 q 的等比数列 用心 爱心 专心 2 即 n ap 1 1 2 n ap 整理得 n a 1 13 22 n ap 满足 n a 1 3 2 n a 得 3 2 p 3 2 p 1 即新数列 1 n a 首项为 1 1a 1 2 q 的 等比数列 1 n a 1 1a 1 1 2 n 故 n a 1 1a 1 1 2 n 1 例 7 07 全国 理 22 已知数列 中 2 n a 1 a 1n a 21 2 n a n N 求 的通项公式 n a 解 构造新数列 n ap 使之成为21q 的等比数列 1n ap 21 n ap 整理得 1n a 21 n a 22 p 使之满足已知条件 1n a 21 n a 2 21 22 2 21 p 解得 2p 2 n a 是首项为22 21q 的等比数列 由此得 2 n a 22 1 21 n n a2 21 2 n 例 8 已知数列 中 1 n a 1 a 1n a 23n n a 求数列的通项公式 分析 该数列不同于以上几个数列 该数列中含是变量 而不是常量了 故应构造 新数列 其中 3n 3n n a 为常数 使之为公比是的系数 2 的等比数列 n a 解 构造数列 3 n n a 为不为 0 的常数 使之成为 q 2 的等比数列 即 2 整理得 1 1 3n n a 3 n n a 1n a 1 2 2 33 nn n a 满足 得 1n a 23n n a 1 2 333 nn n 1 新数列 是首项为 q 2 的等比数列 3n n a 1 1 3a 2 3n n a 1 2 2n n a32 nn 例 9 07 天津文 20 在数列 中 2 n a 1 a 1n a 431 n an 求数列的通项 n a 解 构造新数列 n an 使之成为 q 4 的等比数列 则 1 1 n an 4 n an 整理得 1n a 43 n an 满足 1n a 43 n an1 即331nn 得 1 新数列 的首项为a n an 1 11 q 4 的等比数列 1 4n n an 1 4n n an 用心 爱心 专心 3 四 构造等差数列法 数列 既不等差 也不等比 递推关系式形如 那么把两边 同除以后 想法构造一个等差数列 从而间接求出 n a 1 1 1 n nn ababf n n a n b 例 10 07 石家庄一模 数列 满足 n a 1 22n nn aa 1 2n 且 4 81a 求 1 是否存在一个实数 1 a 2 a 3 a 2 使此数列 2 n n a 为等差数列 若存在求出 的值及 若不存在 说明理由 n a 解 由 1 4 a 4 3 22a1 81 得 33 又 3 a 3 a 3 2 22a1 33 得 13 2 a 又 2 a 2 1 22a1 13 5 1 a 2 假设存在一个实数 使此数列 2 n n a 为等差数列 即 1 1 22 nn nn aa 1 2 2 nn n aa 21 2 n n 1 1 2n 该数为常数 即1 1 2 n n a 为首项 1 1 1 2 2 a d 1 的等差数列 1 2 n n a 2 n 1 1 n 11 n a 1 2nn 例 11 数列 满足 n a 1n a 1 2 2 n n a nN 首项为 1 2a 求数列 的通 项公式 n a 解 两边同除以 1n a 1 2 2 n n a 1 2 n 得 1 1 2 n n a 2 n n a 1 数列 2 n n a 是首项为 1 2 2 1 d 1 的等差数列 2 n n a 1 1 1nn 故 n a 2 nn 例 12 数列 中 5 且 n a 1 a 1 33n nn aa 1 n 2 3 4 试求数列 的通项公式 n a 解 构造一个新数列 3 n n a 为常数 使之成为等差数列 即 1 1 33 nn nn aa d 整理得 3 让该式满足 1 33n nn aa d1 1 33n nn aa 取 33 nn d 21 得 1 2 d 1 即 3 n n a 是首项为 1 1 1 3 2 32 a 公差 d 1 的等差数列 用心 爱心 专心 4 故 1 31 2 1 1 32 n n a nn 2 n a 11 3 22 n n 例 13 07 天津理 21 在数列 中 2 且 n a 1 a 1 1 2 2 n nn aa n nN 其中 0 求数列 的通项公式 n a 解 1n 的底数与的系数相同 则两边除以 n a 1n 得 1 1 11 22 1 nn nn nnn aa n 即 1 1 1 22 1 nn nn nn aa 2 n n n a 是首项为 1 2 0 a 公差 d 1 的等差数 列 2 0 1 1 n n n a nn 1 2 n n an n 五 取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有 1nn a a 项 直接求相邻两项的关系很困难 但 两边同除以 1nn a a 后 相邻两项的倒数的关系容易求得 从而间接求出 n a 例 14 已知数列 n a 1 a1 1 1 n n n a a a nN 求 n a 解 把原式变形得 两边同除以 11nnn aaaa n1nn a a 得 1 11 1 nn aa 1 n a 是首项为1 d 的等差数列故1 1 1 1 1 n nn a 1 n a n 例 15 06 江西理 22 已知数列 满足 n a 1 3 2 a 且 1 1 3 21 n n n na a an 求数列 的通项公式 2n nN n a 解 把原式变形成 两边同除以 11 2 1 3 nnnn a anana 1nn a a 得 即 1 11 33 nn nn aa 2 构造新数列 n n a 使其成为公比 q 1 3 的等比数列 即 1 11 3 nn nn aa 整理得 1 12 33 nn nn aa 满足 式使 22 33 1 用心 爱心 专心 5 数列 1 n n a 是首项为 1 11 1 3a q 1 3 的等比数列 1 1 11 1 3 33 n n n a n 3 31 n n n n a 例 16 06 江西文 22 已知各项均为正数的数列 满足 n a 1 3a 且 1 1 1 2 2 nn nn nn aa a a aa 求数列 的通项公式 nN n a 解 把原式变形为 11 2 2 nnnnnn aaa aaa 1 两边同除以 1nn a a 得 1 1 21 2 nn nn aa aa 移项得 1 1 11 2 nn nn aa aa 所以新数列 1 n n a a 是首项为 1 1 11 3 33 a a 8 q 2 的等比数列 故 2 11 2 3 n n n a a 解关于的方程得 n a 122 1 229 3 nn n a 六 利用公式求通项 1 2 nnn aSSn 有些数列给出 的前 n 项和与的关系式 n a n S n a n S n f a 利用该式写出 两式做差 再利用 1 n Sf a 1 n n1nn aS 1 S 导出 1n a 与的递推式 从而求出 n a n a 例 17 07 重庆 21 题 已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为满足 1 且 6 n a n S 1 S n S 1 2 nn aa n 求 的通项公式 N n a 解 由 11 aS 11 1 1 2 6 aa 1 解得 1 或 2 由已知 1 a 1 a 1 aS 1 因此 2 又由 1 a 11nn aS n S 11 11 1 2 1 2 66 nnnn aaa 3 a得 11 nnnn aaaa 0 0 n a 1 3 nn aa 从而 是首项为 2 公差为 3 的等差数列 故 的通项为 2 3 n 1 3n 1 n a n a n a 例 18 07 陕西理 22 已知各项全不为 0 的数列 的前 k 项和为 且 k a k S k S 1 1 2 kk a a k 其中 1 求数列 的通项公式 N 1 a k a 用心 爱心 专心 6 解 当 k 1 时 11 aS 12 1 2 a a及 1 得 2 当 k 2 时 1 a 2 a 由 k a 1kk SS 11 11 22 kkkk a aaa 得 11 kkk a aa 2 0 2 k a k a 11kk aa 从而 1 m 1 2 2m 1 2 m 1 2 2m m 21m a 2m aN 故 k k k aN 例 19 07 福建文 21 数列 a的前 n 项和为 n S 1 a1 aS n n 1 2 n n N求 n a 通项公式 的 1 S 解 由 1 2 当 n 2 时 1 a 2 2a n a 1nn SS 1 1 2 nn aa 得 1n n a a 3 因此 是 首项为 2 q 3 的等比数列 故 n a 2 a n a 2 2 3n n 2 而 1 不满足该式 1 a 所以 n a 2 1 3 2 n n n 1 2 例 20 06 全国 理 22 该数列 的前 n 项和 n a 1 41 2 33 n nn Sa 2 3 n 1 2 3 求 的通项公式 n a 解 由 1 41 2 33 n nn Sa 2 3 n 1 2 3 得 11 aS 1 41 4 33 a 2 3 所以 2 再 1 a 1n S 1 41 2 33 n n a 2 3 n 2 3 将 和 相减得 n a 1nn SS 1 1 41 2 33 nn nn aa 2 n 整理得 n 2 3 因而数列 1 1 24 2 n nn aa 2n n a 是首项为 q 4 1 24a 的等比数列 即 2n n a 1 4 4n 4 因而 n 42 n n a n 七 重新构造新方程组求通项法 有时数列 和 的通项以方程组的形式给出 要想求出与必须得重新构造 关于和的方程组 然后解新方程组求得和 n a n b n a n b n a n b n a n b 例 21 07 辽宁第 21 题 已知数列 b 满足 2 b 1 且 n a n1 a 1 11 11 31 1 44 13 1 44 nnn nnn aab bab 求数列 的通项公式 2n n a n b 解析 两式相加得 则 11 2 nnnn abab n abn 是首项为 11 3ab d 2 的等差数 用心 爱心 专心 7 列 故 3 2 n 1 2n 1 1 n ab n 而两式相减得 nn ab 11 11 22 nn ab 1 1 2 nn ab 1 则 n abn 是首项为 1 q 1 ab 1 1 2 的等比数列 故 nn ab 1 1 2 n 2 联立 1 2 得 1 21 1 2 nn n nn abn ab 由此得 11 22 n n an 11 22 n n bn 分析 该题条件新颖 给出的数据比较特殊 两条件做加法 减法后恰好能构造成等差或等 比数列 从而 再通过解方程组很顺利求出 的通项公式 若改变一下数据 又 该怎样解决呢 下面给出一种通法 n a n b 例 22 在数列 中 2 1 且 n n a n b 1 a 1 b 1 1 26 7 nn nnn aa bab n b N 求数列 和 的通项公式 n a n b 解析 显然再把 1n a 与做和或做差已无规律可循 不妨构造新数列 1n b n a n b 其中为 0 的常数 则 11nn ab 26ab 7 nnn ab n 2 n a 76 n b 76 2 2 nn ab 令 76 2 得 1 2 或 2 3 则 n a n b 为首项 11 ab q 2 的等比数列 即 1 2 时 是首项为 4 q 4 的等比数列 故2 n ab nn b2 n a 4 1 4n 4n 2 3 时 是首项为 5 q 5 的等比数列 故3 n ab nn 3 n ab 5 1 5n 5n 联立二式解得 24 35 n nn n nn ab ab 3 42 5 nn n a 54 n n b n 注 该法也可适用于例 2