高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修22.ppt

1 1 3导数的几何意义 主题1导数的几何意义1 如图 1 l1是否为曲线在点a处的切线 l2是否为曲线在点b处的切线 l2是否为曲线在点c处的切线 提示 l1不是曲线在点a处的切线 l2是曲线以点b为切点的切线 不是以点c为切点的切线 2 你能不能类比圆的割线和切线的动态关系 结合图 2 直观地感知 当pn p时对应的一般曲线的切线 提示 当pn p时 割线趋于确定的位置 这个确定位置上的直线就是曲线在点p处的切线 3 问题2从直观上感知了 割线逼近切线 的变化过程 进一步 如图 3 如何研究割线方程和切线方程的变化关系 提示 割线逼近切线 不妨设点p x0 y0 pn x0 x f x0 x 割线ppn的方程为y f x0 当pn p 即 x 0时 变化的最终结果是 f x0 故切线方程就是y y0 f x0 x x0 结论 导数的几何意义曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 用符号表示为f x0 k 微思考 求曲线在某点p x0 y0 处的切线方程时易忽略什么 提示 易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上 主题2导数的概念已知函数y x2 完成下表 2 4 6 8 10 12 结论 导函数的定义 当x变化时 f x 是x的一个函数 称它为f x 的导函数 简称导数 即f x y 微思考 导函数f x 与函数在x x0处的导数f x0 相同吗 它们有什么区别与联系 提示 不相同 y f x 导函数为f x f x0 是y f x 在x0处的导数 预习自测 1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 的几何意义是 a 在点x0处的斜率b 在点 x0 f x0 处的切线与x轴所夹的锐角的正切值c 曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线的斜率d 点 x0 f x0 与点 0 0 连线的斜率 解析 选c 由导数的几何意义可知函数y f x 在x x0处的导数f x0 即为曲线在点 x0 f x0 处的切线的斜率 2 设f x0 0 则曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线 a 不存在b 与x轴平行或重合c 与x轴垂直d 与x轴斜交 解析 选b 曲线在点 x0 f x0 处的切线斜率为0 切线平行或重合于x轴 3 函数f x x3 4x 5的图象在x 1处的切线在x轴上的截距为 a 10b 5c 1d 解析 选d 因为f x x3 4x 5 所以f x 3x2 4 所以f 1 7 即切线斜率为7 又f 1 10 故切点坐标为 1 10 所以切线的方程为 y 10 7 x 1 当y 0时 x 4 过曲线y 2x上两点 0 1 1 2 的割线的斜率为 解析 依题意得 割线的斜率为 1 答案 1 5 抛物线y2 x与x轴 y轴都只有一个公共点 但只有 是它的切线 而 不是它的切线 解析 根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2 x的一条切线 x轴不是切线 答案 y轴x轴 6 如图 函数f x 的图象是折线段abc 其中a b c的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 试求的值 解析 由导数的概念和几何意义知 f 1 kab 2 类型一求曲线的切线方程 典例1 1 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 9b 3c 9d 15 2 已知曲线方程为y x2 则过点a 2 4 且与曲线相切的直线方程为 解题指南 1 先求出函数y x3 11在x 1处的导数 再求出切线方程 最后求与y轴交点的纵坐标 2 由于点a在曲线上 可利用导数的几何意义 求出切线的斜率 再利用点斜式写出直线的方程 解析 1 选c 3 所以曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线方程为y 12 3 x 1 即3x y 9 0 令x 0 解得y 9 所以曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是9 2 因为f x 2x 又点a 2 4 在曲线y x2上 所以f 2 4 所以所求切线的斜率k 4 故所求切线的方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 答案 4x y 4 0 延伸探究 1 在本例 2 中若将 点a 2 4 改为 点b 0 0 则结果如何 解析 因为f x 2x 又点b 0 0 在曲线y x2上 所以f 0 0 所以所求切线的斜率k 0 故所求切线的方程为y 0 0 x 0 即y 0 2 在本例 2 中若将 点a 2 4 改为 点c 3 5 则结果如何 解析 因为点c 3 5 不在曲线y x2上 所以设切点坐标为 x0 x20 因为f x 2x 所以f x0 2x0 所以切线的斜率k 2x0 切线方程为y x20 2x0 x x0 又因为点c 3 5 在切线上 所以5 x20 2x0 3 x0 解得x0 1或x0 5 所以切点坐标为 1 1 5 25 故所求切线方程为y 1 2 x 1 或y 25 10 x 5 即2x y 1 0或10 x y 25 0 方法总结 1 求曲线在点p x0 y0 处切线的步骤 1 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 2 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y y0 f x0 x x0 2 过曲线外的点p x1 y1 求曲线的切线方程的步骤 1 设切点为q x0 y0 2 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 3 利用q在曲线上 点p x1 y1 在切线上和f x0 kpq 解出x0 y0及f x0 4 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y y0 f x0 x x0 补偿训练 在曲线y x2上 点p处的切线垂直于直线2x 6y 5 0 则p点坐标为 a 2 4 b c d 2 4 解析 选b f x 2x 设p x0 y0 是满足条件的点 因为切线与直线2x 6y 5 0垂直 所以2x0 1 得x0 y0 类型二求曲线的切点 典例2 已知曲线y 2x2 a在点p处的切线方程为8x y 15 0 求切点p的坐标和实数a的值 解题指南 根据切线方程得到切线斜率为8 即f x 8 解导数方程即可得到结论 解析 设切点p的坐标为 x0 y0 切线斜率为k 由y 4x 得 4x0 根据题意得4x0 8 x0 2 分别代入y 2x2 a和y 8x 15 得a 7 y0 1 故所求切点为p 2 1 a 7 方法总结 求曲线切点坐标的步骤 1 设切点 先设出切点坐标 x0 y0 2 求斜率 求切线的斜率f x0 3 列方程 由斜率间的关系列出关于x0的方程 解方程求x0 4 求切点 因点 x0 y0 在曲线上 将 x0 y0 代入曲线方程求y0 得切点坐标 巩固训练 如果曲线y x3 x 10的一条切线与直线y 4x 3平行 那么曲线与切线相切的切点坐标为 a 1 8 b 1 12 c 1 8 或 1 12 d 1 12 或 1 8 解析 选c 设切点坐标为p x0 y0 则y0 x30 x0 10的切线斜率为k 3x20 1 4 所以x0 1 当x0 1时 y0 8 当x0 1时 y0 12 所以切点坐标为 1 8 或 1 12 类型三导数几何意义的综合应用 典例3 1 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程为x y 1 0 则 a a 1 b 1b a 1 b 1c a 1 b 1d a 1 b 1 2 2017 福州高二检测 已知函数f x 的图象如图所示 下列数值的排序正确的是 a 0 f 2 f 3 f 3 f 2 b 0 f 3 f 3 f 2 f 2 c 0 f 3 f 2 f 3 f 2 d 0 f 3 f 2 f 2 f 3 解题指南 1 利用切点在切线上 切点在曲线上 切点处的导数等于切线斜率求解 2 从图象上可以看出f 2 与f 3 的大小 且其值大于1 再由导数的几何意义 看出f 2 与f 3 的大小且其值小于1 解析 1 选a 将点 0 b 代入x y 1 0中 得b 1 由导数的几何意义得 k a 1 综上 a 1 b 1 2 选b 根据导数的几何意义 在x 2 3 上 曲线在x 2处切线斜率最大 k f 3 f 2 f 3 方法总结 有关导数的几何意义的综合问题的求解策略 1 转化 利用导数的几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题 2 数形结合 注意方程思想 数形结合思想的应用 巩固训练 已知抛物线y x2 直线x y 2 0 求抛物线上的点到直线的最短距离 解析 根据题意可知与直线x y 2 0平行的抛物线y x2的切线对应的切点到直线x y 2 0的距离最短 设切点坐标为 x0 x20 则 2x0 1 所以x0 所以切点坐标为 切点到直线x y 2 0的距离为d 所以抛物线上的点到直线x y 2 0的最短距离为 补偿训练 2017 泰安高二检测 如果f x 是二次函数 且f x 的图象开口向上 顶点坐标为 1 那么曲线y f x 上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是 a 0 b c d 解题指南 由二次函数的图象可知最小值为 再根据导数的几何意义可知k tan 结合正切函数的图象求出角 的范围 解析 选b 根据题意得f x 则曲线y f x 上任一点的切线的斜率k tan 结合正切函数的图象可得 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 f x