数学问题的探究需再变式中行进 安振平.pdf

20 08年第n 期数学教学 1 1 一 19 数学问题的探究需在变式中行进 7 10 2 0 0 陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 作为 数学教学 杂志的一名忠实读者 二 十多年来 笔者一直关注杂志上的问题栏目的经 典题目 时而为刊物提供一些问题 时而探究一 些问题的简捷解答或变形 这样持久地坚持 不 断地修炼 使自己的编题技术 解题技能均有了 一点点的提高 现不揣浅陋 活盘托出 愿与读 者共赏之 1 思考问题的简单证明 例1 20 06年第4期问题678 已知 a 任R 乞 1 2 3 n a 3a 5a3 Z n一 1 a 2 求证 沙 2 一 1 了 3a Z n 二 3 丫 Z n一 3 a卜 3 丫 Z n一 1 a 1 成 n 板五 此题比较独特 也较新颖 原作者提供了一 种增量换元证法 其技巧性比较强 笔者通过多 次阅读 思考 从条件等式出发 联想到了常见 的恒等式 1 3 5 Z n一 1 nZ 这 样就猜想 所证的不等式取到等号的条件可能是 a 二1 乞二1 2 3 据此 就得简明的解 答 证明1 应用柯西不等式 得 沙 l Z n 二 i 了3 a Z n一 3 了 Z n一 3 a 一 3 斌 Z n一 1 a 1 1 沙 Zn 一1 1 了 3a 2 2 一 3 一 了 2瓦一 3 a卜 l 3 一 斌 2兹 一1 a 1续 1 2 12 12 a l 2 一1 3a 2 一 3 Zn 一3 a 一 3 2 一1 a 1 盖 n al 3a Z n一 3 a n一 1 Z n一 1 a Z n 一 Zn 一 3 3 1 丢 办 nZ 五 2 n 梅石 其实 配凑等号成 立的条件 应用二元均值 不等式 便有 证明2 因为 俩 1 2 一1 一 板五 尸2 a l 2 一1 l Zn a l Z n一1 侧豆 五 2 所以斌 al Zn 一1 1 Zn a z 俨不 2 同理 得 办 a Z n一 3 1Zn 3a Z n一 3 了豆五 2 Z n一 3 a卜 3 1Zn Z n一 3 a 一1 3 梅万 2 Z n 一1 d人 1 1Zn Zn 一1 a 1 了万 五 2 于是 将这 n 个不等式两边相加 立得所要 证的不等式 例2 1988年第3期问题 159 在 A BC B一2 了 C一2 中 求证 AB ta n 百 tan 百 tan A tan 百 tan 11 工 Q口 镇 了 A一2 我们知道 在 ABC中 有恒等式 ABBCC ta n 百 ta n 百 t a n 万 ta n 百 tan 百 tan 二1 于是 该问题就可以等价于 19 95年第2期问 题358 设 x 任 R x z x 夕 z 若令 a 万z b zx 1 求证 zx c x梦 这个条件不 等式又转化为如下的简单间题 设 a b c R a b 1 求证 1 a b be c a 蕊于 一 3 此不等式的证明十分容易 只要用到平均值 不等式就行了 事实上 3 a b十c b c a 曲 十 11一0 获于救学 2008年第11期 L 一 一L 一 护 护 夕十产 呱个以个 u 个 o c十乙c a飞 二 一 十 二 一十 芯Z 少 a 一 一一 一 Zab Zbc Za C a b e 1 2 琢磨问题的等价变形 例3 20 0 6年第4期间题677 设 a b e 任 R 且 了辞不了 b一 e 仍砰下丁 a一 c Za 求证 尸二 a b 这个问题我们可以用换元的办法 转化为更 简明的形式 考虑条件等式是一个 齐次式 于是 采用 两边同时除以a b 就可以转化为 厂了 十 厚二 厚二 了 二二 x Z 2夕 2 2 二 二二二二二 一声若七二二 一二之二二二二二二二 2了 x 封 z 2 z x 2 z 劣 勺 Zx 2 2 2 二 一 气斗 一 一 甲 2 x 甘 夕 x z 劣 V 当中的等号 由题意是容易排除的 在此题里 如果令 x b c一a y c 十 a一 b z a b一 e 就有本刊2001年第6期问 题548 设 ABC的三边长为a b c 求证 抨弃 抨弃 抨弃 八 厂一下仄万 1一 1 1 毛1 1 I一 v a C 1一 一 2倾 如果把三角形限制为锐角三角形或直角三 角形 就有类似的问题 设非钝角 ABC的三边长为 2 一一 百 C一 口 劣 一一 C一a 再令 设趴 办 2 c 2 一aZ 一 夕任 一夕 1 2 R 求证 二 y 这样 原间题就等价于 且 抓不砰一二 l 了拜7 诊 2 aZ一 bZ b 6 e 求证 X夕 a 而 2 bZ一 eZ C 2夜 下面给出证明 事实上对条件等式两边同乘 以 了I不 沪 一1 得 迈不子 一x 1 冰石百 一 1 硕百了 一 1 2 了 不石 百 一1 即2 了I百石乏一 二 1 2 了 耳石 百 一1 一 一 厂万石百 l 也就是丫1 护 一x 1 飞了1 二 一二 L V 夕 万 3 研究问题的类似情景 例5 1999年第6期问题498 已知 Zn 0 x 万0 n C N 求证 xn 几 xn V扑 一 十 二 一 稼 匕一 1 工2 1 夕2又 1 工v 证明 由二元均值不等式和 n元均值不等式 得 1 xZ 1 2 1 xZ 2 xZ 2 1 即 xy 1 2二 x Z 2 1 x夕 2 即 1 二2 1 2 1 x 2 11 一 粉 廿 一一 X 所以 由此变形问题 我们容易联想到第3 1届西班 牙数学奥林匹克第 2题 如果 二 倾不丙 诚不丙 1 那 么 x V二 0 也可以给出类似的构造函数的证法 读者不 妨一试 例 4 2 0 00年第2期问题50 5 设 二 夕 z 任 R 托 层 漂 痣 2 这个不等式 M e d onia 19 95 是很优美的 利用二元均值不等式可以给出简明证法 事实上 广 一场十 那卜 l 簇 青 X 几一 鑫 n一 X xn 即 x n一1 x 卜1 工 士是 一二 一 l 工 忿几 Vn 夕n 1 夕2 z 1 2 1 二2 1 x Z 1 2 鱼竺士 x 卜 x 卜 二于 x Z 1 2 竺过买军空些竺塑些 1 xv 2 200 8年第11期 救学救学 11一忍1 xn 夕n 1 x 今 Xn 所以有 1 飞l二 b十C b COS C C C 0s 万十b十 C VZ 二一 二 1 工 夕 几 1 夕2 x n 夕n 备 一 1 x夕 Qd一n 乙 妻 例6 2002年第 1期间题553 设 x 名任 0 1 求证 x 1 一夕 1一z 万 1一 z 1 一x z 1 一x 1 一夕 1 原来的证明是构造一次函数或常函数F x 给出证明的 事实上 由条件 显然知道 0 1一 x 1 o 1一夕 1 0 1一 1 于是 该 不等式可以强化为 设 x 任 0 1 求证 x 1 一万 1一 z 1一 x 卜 这是 1990年第1 5 届全俄罗斯数学奥林匹克 竞赛9年级第1 4题 该问题还可以深化为前全苏 第2 1届数学奥林匹克竞赛8年级第5题 正数 a b e A B C满足条件 a A b B c C二k 求证 a B bC c A 0 0 z 0 求证 q口 一Q 白 妻 夕 z 十 之迄 之十x Z x 十万 一 警 一 a b e 梅 看来 原作者所提供的这两道不等式题都是 以这个经典数学问题为 题根 用这个经典问题 我们可以建立 B一2 笔者通过深入地思考与探究 给出了此题的 如下加强 形式也是比较对称的 设 ABC的三边长为 a b c 半周长为 求证 C此 号 一誓 了 万 石浮屯歹 设 ABC的三边为 a 仄 2 eo s Z A e o s Z B e o s Z c 求证 a2 夕 夕 C e2 二 乏弋二 叹百 而 户 刁 L 弓孟 3 歹 妻 亏 证明 一方面 由射影定理 得 a b e o s C 证明 由柯西不等式 射影定理 得 0 5B 于是 应用著名的柯西不等式 便有 B一2 o S 誓 一 一 产 石 一n 一一妇 一 O自 沥 而 C O S 誓 十 二 CO S aZ b e o s C ee o s B 2 镇 b Z c 2 e o s Z C e o sZ B 夕 护 S 2 一 肠 归 I J CO S 万 Co S C b 乙 e o s Z 同理 e o s Z C os Z A妻 C C一2 1 eo s C 2 C e o s Z A e o s Z B 夕 aZ 沙 aZ bZ O l 几 C 十 O 11一朋 救学救学 2008年第1 1期 将这3个不等式两边相加 便得 2 e o s ZA e o sZ B e o s Z c 一 O 产 一 b2 二一 二 下 C O O 另一面 由3元均值不等式 得 aZ bZ c Z 又 泛 万二 二百 万二二万 二 厄丁下百 O 十 C C 十 a a 十 O O口 一d 夕 护 11 l 二 e ss e 二 11 l 一二 代下 1 C a a O 意到 a b C 1一b一 e be 1 一 b 1一 e e a a b 即 a be e a a b 同理b c a a b b e a 吞 b e e a be 于是 所证的不等式又等价于 下 二 二二甲六二 一 一 一 一 e a a b 一3 1 口 b C l 二 e e b c 1 二一 二 十 C 口 C口 二尸二尸 了 a 办 吸O C a b 李 b e e a J 11 aZ 62 b Z c 2 c 2 aZ 有这样一道不等式 土 10山 一一 证 求1 l 夕 d 上 尚 志 1 下一 二二 一3 a b 这正是不等式 得证 20 00年IMO预选题里 问题 设 a b e 为正数 a 6e 3粼 a Z 62 bZ e Z eZ aZ 丢 111 9曰 1 62 c 2 1 c 2 aZ 1 aZ bZ 一 3 所以 有 a 2 bZ 夕 b2 户 aZ bZ 这个不等式繁杂 3 但用巧妙的换 1i 一 上 卜 口 1 1 只 1 勺 哪 冲朴 a 1 粼 qU一 勺白 一一 八J一O白 妻 节 二 护十 口 X Z一X 一一 C 万 一Z 一一 口 X一 军 综合以上 可知原不等式得证 需要说明的是 该问题加强了三角形中的常 见不等式 元 就可以简化该不等式 证明 由题意可令 a V z 为正数 则所证的不等式等价于 勺d一 月 任 e o sZ A c o s Z刀 eo s Z C 5 探究问题的有效深度 例9 19 92年第6期问题289 设 x v z 是 奈 x夕 夕z J二义汽 刁又U仁 丁 甲 戈忿 下 十 丁 甲 r于 吮 丫 十 LV z 气 z x Lz x 气 x V 奋 参 一 1 警 誉 一 1 警 香 一 呈 矍 一 蚤 一 l 参 一 价 3 一 Q 口一 乙 妻 Z X x z 证明 将该不等式转化为整式不等式 得 4 x x 夕 4 z z 4 z x z x 3 x 夕 z z x 这又等价于 xZ x 2 夕22 夕2 2 zZx xZ 6x 2 利用 6元均值不等式 立即可证上面的不等 式成立 在20 08年加拿大竞赛试题里 有这样一道不 等式间题 正数么 a一 be 6 e 满足 a b e 1 求证 二尸 口十bC b一c a e一a b 3 十 一 丁 簇 二 O十 C口C 00 2 这个不等式可以变形为 3一 f 聋年 a 十Oc 这又等价于 be a be C Q b c a C口 b c a 森 昌 焉 1 注 也就是 x z x一 x 万一 z x 梦一 z z一x z一x z x一夕 妻 3x z 变形 就得等价的不等式 例10 19 85年第3期间题73 若 x 为 正数 求证 x 3 3 23 3x z x 夕 一 z 2 z一 x 2 x一 这显然是3元均值不等式的一个加强 这个不等式变形 就得 197 5 年全苏数学奥林 匹克十年级第2题 对于正数 x 有下述不等式成立 x 3 3 23 3xv x 二 夕 z y z z x z x 一个极其简单的证明是 用排序的办法 事 实上不妨假设 x 0 就有 x 一 功 2 x 一 z 0 z x 一 z 夕 一 0 也就是 2 0 08年第11期 数学救学 11一忍口 约瑟夫斯问题 背景下的变式探究 2 0 1 8 叭 上海市育才中学 龚新平 本文以一个远古传说中的 约瑟夫斯间题 为 背景 展开若干相关的变式探究 一 问题的背景 传说古代约瑟夫斯和另外3 1人被蛮族俘虏 令他们排成圆圈 分别编号 1 2 3 3 2 然后 杀掉 1号 再杀 3号 以后每隔一个杀一人 最后 剩下那个人被释放 而此人正是约瑟夫斯 你能 说出约瑟夫斯的编号吗 二 问题的探求 解 第一次杀掉 1 3 5 31 剩下2 4 6 32 第二次杀掉 2 6 10 30 剩下 4 8 12 32 第三次杀掉4 12 20 28 剩下8 16 24 32 第四次杀掉8 24 剩下 16 32 第五次杀 掉1 6 最后只剩下32 故约瑟夫斯的编号为3 2 由此 我们可以将问题推广为一般情形 得 到下面的定理 三 定理 将 1 2 3 2 n排成圆周 依次取出 1 3 5 每隔一个取一数 则最后取出的是2 几 分析 设 1 2 3 2 n 按规则最后取出的 是L n 则取出 1 3 5 2 几 一1 后 剩下 2 4 6 2 共 2 一 1 个编号 若重新编号 1 2 x3 3 Zxo z x万 x 22 zxZ 23十x y z 22 xz2 将这两式相加 立即得到不等式 其实 不等式 还可以变形为 已知 x 夕 z 为正数 求证 x 笋 夕十 z一 x 十 x一 刃 x 一 这是 19 83年瑞士数学竞赛试题 把此不等式变形 就有 3 2 一 则最后取出的编号侧 n 一 l 满足 ZL n 一1 L 而L 1 2 L 2 4 故L n