高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 抛物线 3.2.2 抛物线的简单性质课件 北师大版选修21.ppt

3 2 2抛物线的简单性质 抛物线的简单性质 做一做1 抛物线y 4x2的焦点到准线的距离是 答案 c 做一做2 等腰直角三角形abo内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 abo的面积是 a 8p2b 4p2c 2p2d p2 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形 2 抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上 3 直线与抛物线相交时 直线与抛物线不一定有两个公共点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 直线与抛物线的位置关系 例1 已知抛物线的方程为y2 4x 直线l过定点p 2 1 斜率为k 当k为何值时 直线l与抛物线 只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 思维点拨 用解析法解决这个问题 只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系 解 由题意 设直线l的方程为y 1 k x 2 得ky2 4y 4 2k 1 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 当k 0时 方程 的判别式为 16 2k2 k 1 1 由 0 即2k2 k 1 0 从而方程组 只有一个解 这时 直线l与抛物线只有一个公共点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 于是 当k时 方程 没有实数解 从而方程组 没有解 这时 直线l与抛物线没有公共点 综上 我们可得 反思感悟解决直线与圆锥曲线的交点问题时 主要方法是构建一元二次方程 判断其解的个数 确定斜率或直线的倾斜角时 应特别注意斜率为0和斜率不存在两种情形 还应注意在抛物线中 直线和曲线有一个公共点并不一定相切 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1如图 已知抛物线y2 x与直线y k x 1 k 0 相交于a b两点 且直线与x轴交于点n 1 求证 oa ob 2 当 oab的面积等于时 求k的值 思维点拨 利用根与系数的关系 弦长公式或应用向量解题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求抛物线方程 例2 已知抛物线的顶点在坐标原点 对称轴为x轴 且与圆x2 y2 4相交的公共弦长等于2 求这条抛物线的方程 思维点拨 因为圆和抛物线都关于x轴对称 所以它们的交点也关于x轴对称 即公共弦被x轴垂直平分 于是由弦长等于2 可知交点纵坐标为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 设所求抛物线方程为y2 2px或y2 2px p 0 设交点a x1 y1 b x2 y2 y1 0 y2 0 所求抛物线方程为y2 3x或y2 3x 反思感悟因为抛物线是轴对称图形 所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为135 的直线被抛物线所截得的弦长为8 试求抛物线的方程 解 如图 依题意设抛物线方程为y2 2px p 0 则经过焦点且倾斜角为135 的直线方程为y x p 设直线交抛物线于点a x1 y1 b x2 y2 则由抛物线的定义 又点a x1 y1 b x2 y2 是抛物线和直线的交点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 x1 x2 3p 将其代入 得p 2 所求抛物线的方程为y2 4x 当抛物线的方程设为y2 2px时 同理可求得抛物线的方程为y2 4x 探究一 探究二 探究三 思维辨析 与抛物线有关的最值问题 例3 如图所示 已知直线l y 2x 4交抛物线y2 4x于a b两点 试在抛物线aob这段曲线上求一点p 使 pab的面积最大 并求出这个最大面积 思维点拨 通过联立方程组求得a b坐标 从而可得 ab 的大小 设出p点坐标 利用点到直线的距离公式表示出ab边上的高 从而表示出 pab的面积 考虑p点坐标变量的范围求得目标函数的最大值即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 设p x0 y0 为抛物线aob这段曲线上一点 d为p点到直线ab的距离 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟解决本题的关键是弦ab为定值 将点p到直线ab的距离的最值转化为二次函数问题求解 在应用配方法求最值时 一定要注意自变量的取值范围 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3在抛物线y2 2x上求一点p 使p到直线x y 3 0的距离最短 并求出距离的最小值 解 方法一 设p x0 y0 是y2 2x上任一点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 方法二 设与抛物线相切且与直线x y 3 0平行的直线方程为x y m 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视斜率不存在及二次项系数而致误 典例 求过点p 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直线方程 易错分析 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线只有一个公共点 另外 设直线方程时要讨论斜率是否存在 解 1 若直线斜率不存在 则过点p 0 1 的直线方程为x 0 直线x 0与抛物线只有一个公共点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 若直线斜率存在 设为k 则过点p的直线方程为y kx 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得错误之一是遗漏直线斜率不存在的情况 仅考虑斜率存在的直线 错误之二是方程组消元后的方程k2x2 2 k 1 x 1 0被认定为二次方程 因而由直线与抛物线只有一个公共点 得出 0 事实上方程的二次项系数为含字母的k2 方程不一定是二次方程 当k 0时 方程是一次方程 2x 1 0 此时方程组只有一解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点q 若过点q的直线l与抛物线有公共点 则直线l的斜率的取值范围是 解析 设直线方程为y k x 2 与抛物线联立方程组整理得ky2 8y 16k 0 当k 0时 直线与抛物线有一个交点 当k 0时 由 64 64k2 0 解得 1 k 1 所以 1 k 1 答案 c 12345 1 抛物线的顶点在原点 焦点在x轴上 其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4 则此抛物线的方程是 答案 b 12345 2 已知a b是抛物线y2 2px p 0 上两点 o为原点 若 oa ob 且 aob的垂心恰是此抛物线的焦点 则a b两点所在的直线方程为 解析 因为 oa ob 所以a b两点关于x轴对称 设a b两点的坐标分别为 x0 y0 x0 y0 x0 0 由于 aob的垂心是焦点 焦点坐标为 答案 d 12345 3 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 由线段ab的中点的纵坐标为2 得y1 y2 2p 4 所以p 2 故准线方程为x 1 答案 x 1 12345 4 如图所示 过抛物线y2