基本不等式及其应用.doc

基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a0,b0,则 ,或 ,当且仅当a=b时等号成立。我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。拓展:若a、bR,则,当且仅当a=b时等号成立。2. 基本不等式证明方法3.基本不等式的应用利用基本不等式证明不等式或比较大小;利用基本不等式求最值或求范围;利用基本不等式解决实际问题。三、案例分析案例1：(1)（2009天津理）设若的最小值为A8B4C 1D (2) （2007海南、宁夏理7）已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）分析：（1）由是与的等比中项，得 。用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。（2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用特殊值法解决。解：（1）是与的等比中项，得 。，当且仅当即时，“=”成立。故选择C。（2）（直接法）成等差数列，成等比数列，当且仅当时，等号成立。故选D。另解：（特殊值法）令成等差数列，成等比数列分别都为，则，故选D。案例2：(1) （2009重庆文）已知，则的最小值是（）A2BC4D5(2)（2007山东理16）函数y=loga (x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n0，则的最小值为_.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。(1)C；（2）8解：(1)因为，当且仅当，且，即时，取“=”号。故选C。(2)函数的图象恒过定点A，的坐标为。点A在直线上，。m，n0，当且仅当，且，即时，等号成立。所以的最小值为8。案例3：(1)求函数的最大值。(2)已知正数a、b满足，求ab的取值范围。(3)已知a,b0，求的最大值。分析：(1)对于无理函数，先平方，再用基本不等式“和定值积最大”求之，注意“等号”成立的条件；(2) 是a与b的和与积的等式，利用基本不等式转化为的二次不等式，解二次不等式可得ab的取值范围；(3)把化为，按的“和定值”的模型设计基本不等式，可求得的最大值，应用基本不等式都要注意“等号”成立的存在性。解：(1)函数的定义域为，。 ，当且仅当，即时，等式成立。，。所以函数的最大值是。(2)，当且仅当时，等号成立。，令，则。，解得。，即，当且仅当时，等号成立。所以ab的取值范围是。(3) a,b0，且，当且仅当，且，即时，取得最大值。所以的最大值为。案例4：（2009湖北文17）围建一个面积为360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x，围建总费用为y(单位：元)。（）将y表示为x的函数：（）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 分析；画图，理解题意，建立总费用的函数，显然利用基本不等式求得函数的最小值。解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360，由已知xa=360，得a=，所以。(II)，当且仅当225x=，即时，等号成立。所以当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。案例5：(1)已知a0，b0，a+b=1，求证：。(2)已知a,b,c0，求证：。 分析：(1)根据基本不等式，由a0，b0，a+b=1，得，又，再运用基本不等式证得。也可以用“1代换法”，把化为，再应用基本不等式证得； (2)本不等式具有轮换对称特点，把看成，只要证明即可。证明：(1)a0，b0，a+b=1，当且仅当时，等号成立。，当且仅当，即时，等号成立。所以证得成立。另证：a0，b0，a+b=1，。当且仅当，即时，等号成立。(2)a,b,c0，同理，。，即。四、总评(1)基本不等式是不等式的重要内容,是求多元函数最值和证明不等式的常用方法。要了解基本不等式的证明方法与过程,会用基本不等式解决解决简单的实际最值问题。(2)利用基本不等式求最值时,要注意元变量的