2007年全国高中数学联赛加试题解答集锦.pdf

一 一 一 r 一 一 l I 一 h 蠹 a I L 灭 胁J 2 0 0 7 年第1 2 期 高中 陕西省数学竞赛委员会 刘康宁 陕 西 省西 安 市 铁一 中陈孝庚 一 本题满分 5 0分 如 图 1 在锐角AAB C 中 AB AC AD是 边 B C 上的高 P是线段 AD 内一 点 过 P作 P E上AC 垂足为 E 作 PF上AB 垂足为 F O1 0 2分别是 X B DF C DE的外心 求证 O 1 0 2 E F 四点 共 圆 的充 要条 件 为 P 是 X AB C 的 垂 心 基 本 证 法 如 图 1 连 结 BP CP 01 02 02 E EF F01 PDLBC PFLAB B D P F 四点 共 圆 且 B P为该圆的直径 B D B C 又 01 是 X B DF的外心 图1 o l 在 BP上 且 0 1 是 B P 的 中点 同理可证 C D P E四点共圆 且 O 2 是该 圆直 径 C P的中点 从而 01 0 2 BC 于是 P0 2 0 一 PC B AF AB A P A D AE AC B C E F 四点 共 圆 充分性 若 P是 X AB C的垂心 由于 P E上AC PF 上A B 所 以 B 0 P E 四点共 线 C 0 P F 四 点共线 从 而 F 0 2 0 1 一 FC B一 F E B一 F EO 故 01 0 2 E F四点共圆 必要性 若 0 0 2 E F四点共圆 则 01 0 E EFO1 1 8 0 注 意到 P 02 O 1 一 PC B AC B一 AC P 又 因为 0 2 是 Rt X C E P斜 边 C P 的 中点 也就 是 X C E P 的外 心 所 以 P 0 2 E一2 AC P O 1是 R t X BF P 斜 边 B P 的 中 点 也 就 是 B FP的外 心 PF0l 一9 O 一 BFO1 9 O 一 ABP B C E F 四点共 圆 A FE ACB PFE一 9 O 一 ACB 于是 由 O1 O 2 E E F O1 1 8 0 得 ACB一 AC P 2 ACP 9 0 一 ABP 9 0 AC B 一 1 8 0 即 ABP ACP 又 AB AC AD上BC BD CD 设 B 是点 B关于直线 AD 的对称点 则 B 在线 段 DC上 且 B D BD 连结 AB P B 由对称性 有 AB P一 AB P 从 而 AB P一 AC P 所 以 A P B C 四 点 共 圆 由此可知 P B B一 P AC 9 O 一 AC B PBC一 PB B PBC AC IB 一 9 0 一 ACB AC B一 9 O BP上AC 从而 B P E三点共线 又点 P 在 边 B C 的高 AD 上 所 以 P是 X AB C 的垂 心 综上所述 O1 O 2 E F 四点共 圆的充 要条件为 P 是 AB C的垂 心 本题 中充分性的证明较容易 下面再 给出必要性 的两 种证 法 别证 1 若 0 1 O 2 E F 四点共 圆 则 01 O 2 E EF D1 1 8 0 O1 0 2 分 别 是 BP C P 的 中点 且 B C E F 四点共 圆 01 O2 E 一 P02 01 P02 E 一 PC B 2 ACP一 ACB ACP EF01 1 8 0 一 AFE 一 O1 FB 一1 8 0 一 A CB一 ABP ACB ACP 1 8 0 一 AC B 一 ABP 一1 8 0 即 ABP一 ACP P O1 F一2 ABP P02 E 2 ACP PO1 F一 P02 E 又 O1 P F和 P E均为等腰三角形 X O P F c o X 0 2 P E 筹一 篇 如图 2 连结 O1 E O2 F 由 O1 O2 E F 四 点 共 圆 有 E01 F 一 E02 F 01 EO2 一 0 1 F 02 从而 P O 1 E 一 P O2 F PEO1 PFO2 B D C 于 是 P O 1 E X P 0 2 F 图 2 或 O1 P E且 0 P F分别三点共线 若 O1 P E且 0 P F分别 三 点共线 则 BE 维普资讯 上AC C F 上AB 故 P是 ABC的垂心 AP 0 1 E P o 2 F 8 ll00 1 P P一而 P E 又 一 所以 丽PE一面P F P E PF 而 由 P E A F 四点 共 圆 有 P AB P AC 这 与 AB AC矛盾 故当 o 1 0 2 E F 四点共 圆时 P为 A BC的 垂 心 别证 2 若 o 1 0 2 E F四点共 圆 由别证 1 得 ABP一 ACP PF上AB PE上AC BFP C EP PB PF PC PE 如 图 3 设 ABP一 AC P 0 PAB一 口 PAC一 口 0 口 p均为锐角 在AP BC中 由正弦定理 得 图 3 PB s i n PCB s i n C一 PC s i n PBC s i n B 0 一 PF APs i n a s i n 口 PE APs i n P s i n 8 s i n C一 s i n口 一 s i n B一 s i n口 即 s i n a s i n B一 一s i n i n B C一 两边分别积化和差 整理得 c o s a B一 一 C O S 口 B 一 C O S C一 c o s p C c o s 口 B一 一 C O S 9 0 一 C O S C一 c o s 9 O 一 c o s a B 一c o s p C 即 c o s 2 a 一9 0 一C O S 2 一9 0 s i n 2 a 一s i n 2 口 AB AC 0 2 口 2 p 1 8 0 2 口 2 一1 8 0 即 口 一9 0 B AC 9 O 从 而 BE 上AC 又 AD上BC 故 P为 ABC的垂 心 说明 1 本题中的必要性源于 1 9 9 8年国家理科 试验班招生考试第 4题 原题如下 如图 4 在锐角 AB C中 AB AC AD 是 B C边 上 的高 H 为 AD 上一点 连结 B H 并 延长交 AC于点 E 连结 C H 并 延 长交 AB 于点 F 已知 B C E F四点共圆 问 H 是否一定 是 AB C的垂心 证明你的结论 图 4 2 上面的别证 2是受 2 0 0 4年泰 国数学奥林匹 克最后一题的启示给出的 原题如下 已知 P是 AAB C内一 点 过 P作 B C C A AB 的垂线 垂足分别 为 D E F 又 Q是 AAB C内另一 点 且使得 AC P B C Q B AQ C AP 证明 DE F一9 0 的充分必要条件为 Q是 B DF的垂心 二 本 题 满分 5 0分 如 图 5 在 7 8的长方形棋盘的每个 小方格的中心点各放一 个棋子 如果两个棋子所在 的小方 格共 边或共顶点 那么称这两个棋子 相连 现从 这 5 6个 棋子 中取 出 一 些 使 得棋盘上剩 下的棋子 没有五个在一条直线 横 竖 斜方 向 上依次相连 问 最少取出多少个棋子才可能满足要求 并说明理由 基本解法 最少要取出 1 1 个棋子 才可能满足要 求 其原因如下 如果一个方格在第 i 行第 列 则记这个方格为 第一步证明若任取 1 0个棋子 则余下的棋子必 有一个五子连珠 即五个棋子在一条直线 横 竖 斜 方 向 上依次相连 用反证法 假设可取出 1 0个棋子 使余下的棋子没有一个五子连珠 如图 6 在每一 行 的前五格 中必须各取出一个棋子 后三列 的前五格中 也必须各取出一个棋子 这样 1 0个被取出的棋子不 会分布在右下角的阴影部分 同理 由对称性 也不会 分布在其他角上的阴影部分 第 1 2行必在每行取出 一 个 且只能分布在 1 4 1 5 2 4 2 5 这些 方格 同理 6 4 6 5 7 4 7 5 这些方格上至 少要取出 2个棋子 在第 1 2 3列 每列至少要取 出 一 个棋子 分布在 3 1 3 2 3 3 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 所在 区域 同理 3 6 3 7 3 8 4 6 4 7 4 8 5 6 5 7 5 8 所在区域 内至少要取 出 3个棋子 这样 在这些 区 域 内至少已取出 1 0个棋子 因此 在中心阴影区域 内 不 能取 出棋 子 由于 这 四个 棋 子 至 多 被 取 出 2个 从 而 从 斜 的 方 向看 必有 五 子连 珠 了 矛 盾 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 图 6 图 7 第二步构造一种取法 共取走 1 1 个棋子 余下的 棋子没有五子连珠 如图 7 只要取 出有标号位置 的 棋子 则余下的棋子不可能五子连珠 综上所述 最少取 出 1 1个棋子 才可能使得余下 的棋子没有五子连珠 别解 至少要取出 1 1 个棋子 才可能满足要求 取走 1 1个棋子是可以的 如 图 8 将 1 2 3 4 5 依次重复地填入 7 8的方格表中 每格填一个数 注 意到 5 6 5 1 1 1 则 1出现了 1 2次 2 3 4 5 各出 维普资讯 现了 1 1次 取走全部 同一个数 剩下的数都不会 出现 5个 无间 隔的 横 竖 斜方 向 由于取 出 的数要最少 所以可考虑从 2 3 4 5中取出全部同一个数 不妨 取出所 有 的 2 剩 下 的数 满 足 要求 1 2 3 4 5 6 7 8 图 8 下面证 明 当任取出 1 0个棋子时 余下的棋子必 有一个五子连珠 即五个棋 子在一条直线 横 竖 斜 方向 上依次相连 用 反证 法 假设 向 7 8矩 形方 格表 中放 入 7 8 1 0 4 6 个 点 不 存在 五子 连珠 显然 在这 8列 中 每列所放点数不超过 6 个 事 实上 放 6个点的列数不少于 6列 若放 6个 点的列 数不超过 5列 则所 放点 的总数 N 6 5 5 8 5 一4 5 4 6 矛盾 下面分两种情况讨论 情形 1 放 6个点的列数为 7 列 易知放 6 个点的列 必为 2 个点放在前两格 另 2个点在后 两格 其余 2个点放在 中间三格 中 的某 两 格 图 9 又易 知 有 一 列所放的点数是 4 6 6 7 4 这列必是第 4 列或第 5列 否则 1 2 3 4 5 6 7 8 图 9 会出现五子连珠 不妨设为第 4列 由于这列有 4个 点 故这列的 1 2 6 7格中必放 有一个点 该点所 在 的行将 出现五 子连珠 矛 盾 情形 2 放 6个点的列数为 6列 其余两列只能各 放 5个点 1 若放 5 个点的两列 中有一列是第 1列或第 8 列 不可能第 1列和第 8列 都放 5个点 否则第 1行 会 出现五子 连珠 不妨 设设 在第 1列放 5个 点 则放 5个点的另一列只可能是第 4 5 6列中的某一列 根 据抽 屉原理 该 点必 在 第 1 2 6 7行 中的 某 一 格 则 该点 所在 的行 出现五子 连珠 矛 盾 2 若放 5个点的两列是第 2 3 4 5 6 7列中的 某两 列 如果第 2列放 5 个点 则另一个放 5个点的列无 论 在 哪一列 则这列 在第 1 2 6 7行 的格 必 有一 格 放 有点 将会 出现五子 连珠 矛盾 同理 如果第 3列放 5个点 则另一个放 5个点 的列无论 放在 第 4 5 6 7列 中的 哪一 列 都得 到 矛 盾 故放 5 个点的两列只可能是第 4 5列 若第 4 5两列中 有两个点 同时位于前两格或后 两格 由前述讨论可知 一定会出现五子连珠 矛盾 因此 这 两 列 的 点 的分 布 情 况 为 前 两 格 和后 两 格 中各有一个点 其余 3个 点均 在中间三格 再考查 第 3列 6个点的放法 无论哪一种放法 都会 出现五 子连珠 矛盾 综上所述 假设 不成立 即 7 8矩形 表 中放 4 6 个点 一定存在五子连珠 三 本题满分 5 0分 设集合 P一 1 2 3 4 5 对 任 意k E P和 正 整 数 记f m 忌 一 q T W T 其 中 乜 表 示 不 大 于 n 的 最 大 整数 求证 对任意正整数 存在 k E P和正整数 1 n 使得 f m 忌 一 基本证 法 定义集 合 A一 1 n 1 I 1 n E N k EP 其中 N 为正整数集 由于对任意 k i EP B k Ai k t 1 是无理数 则 z 十 1 对任意的 k 1 k 2 E P和正整数 1 n 1 1 n 2 1 n 1 而一1 n 2 当且 仅 当 1 n 1 1 n 2 k 1 一 k2 注意到 A 是一个无穷集 现将 A 中的元素按从 小到大的顺序排成一个无穷数列 对于任意的正整数 设此数列 中第 项为 1 n 1 下面确定 与 1 n k 间的关 系 若 O 当 k固定 时 f m l 忌