数学变式教学培养思维能力的实践和思考_韩学涛.pdf

192 2012 年第 2 期 数学变式教学培养思维能力的实践和思考 韩学涛 广州市黄埔区港湾中学 广东 广州 摘 要 数学是思维的数学 本文根据皮亚杰的认知发展理论阐述了数学变式教学与数学思维能力培养的关系 形成数学 概念的过程中 利用变式启发学生积极参与观察 分析 发现 感悟 归纳 培养正确概括的思维能力 在理解定理 公式和性质的 过程中 利用变式培养学生多向变通的思维能力 在解题教学中 利用变式培养学生联想 转化 推理 归纳 探索的思维能力 进 行数学变式教学应注意的问题是变式设计的差异性 变式设计的层次性 变式设计的开阔性 变式训练的灵活性 变式教学可以 达到知识和思维能力的双提高 满足学生 学校和社会对学校学科教育的要求 关键词 变式教学 培养 思维能力 从教 18 年 教了学生一批又一批 总在思考一个问题 初 中数学应该怎样教才会让学生 学校 社会都满意 随着新课 程改革 我不断地学习新的教育教学理论 尝试各种新的教学 方法和形式 好多教学方法是怀着憧憬和激情开始的 随着教 学实践的深入发现每种教学方法都有优点和不足 对教学的理 解也越来越深 不再单一的迷恋某种教学方法 而是根据教学 内容和学生实际采取不同的教学方法和手段灵活使用 课堂的 教学效益也渐渐展现出来 在课堂教学中我比较推崇变式教 学 变式教学可以让师生摆脱机械重复的题海战术 让学生不 再厌烦让他们身心俱惫的数学 又可以巩固基础知识和技能 提升数学思维能力 真正的实现数学课堂的高效 数学是思维的数学 初 高中数学教学大纲中指出数学思 维能力主要是指 会观察 实验 比较 猜想 分析 综合 抽象和 概括 会用归纳 演绎和类比进行推理 会合乎逻辑地 准确地 阐述自己的思想和观点 能运用数学概念 思想和方法 辨明数 学关系 形成良好的思维品质 但思维是在个体头脑中产生 的 并且思维是这样一种事物 当你把思维结果 如解题方法 解答方案 明白地告诉思维者时 思维就不必要 也就不存在 了 也就是说 教育对象的思维 是教育不能直接作用的 思 维的这种内在性 独立性 却并非昭示着思维教育无事可做 而 应该寻找产生和制约思维的 教师可以直接作用的因素 这些 因素的总和就叫思维场 教师要培养学生的数学思维能力就 是采取各种策略来创设促进思维产生的思维场 数学变式教 学就是一种创设思维场最常用和有效的策略 变式教学是以现代教育理论为指导 以精心设计问题 引 导探索发现 展现形成过程 注重知识建构 摒弃题海战术 提 高应变能力 优化思维品质 培养创新精神为基本要求 以知识 变式 题目变式 思维变式 方法变式为基本途径 遵循目标导 向 启迪思维 暴露过程 主体参与 探索创新等教学原则 深入 挖掘教材中蕴涵的变式创新因素 努力培养学生的求异思维 创新意识和创造能力 数学变式教学中题目条件或形式发生 变化 而本质特征却不变 数学变式不是盲目的改变 应抓住 问题的本质特征 遵循学生认知心理发展 根据实际需要进行 变式 皮亚杰的认知发展理论认为 学习是一种能动的建构过 程 学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中伴随着 同化和顺应的认知结构不断再建构的过程 是在新水平上对原 有认知结构进修延伸 改组而形成的新系统 学生只有通过积 极自觉的认知活动 来激活大脑中的原有认知结构 使具有逻 辑意义的新知识与认知结构中的旧知识发生相互作用 同化与 顺应 才能实现内化中的再建构 作为数学教师 谁都希望自己的教学能够达到触类旁通 举一反三的高效 那种让学生生厌 师生均身心疲惫的 题海 战术 教学方法是不得已而为之 因为那也是提高数学分数的 实用 法宝 经过本人多年来对数学变式教学的实践和探索 发现变式教学不但能够提高学生的数学成绩 而且对提高学生 学习兴趣 培养数学思维能力有着事半功倍的成效 下面我主 要谈谈如何利用变式教学来培养学生的数学思维能力 一 形成数学概念的过程中 利用变式启发学生积极参与 观察 分析 发现 感悟 归纳 培养正确概括的思维能力 在概念思维中 人们形成一个概念就要在思维过程中对 一类事物共有的本质进行概括 这种概括是否明确 影响它所 形成的概念是否真实 正确 可见 能否对事物属性进行正确 概括是人的思维能力的重要组成部分 在中学数学教学中 教 师应当启发学生积极参与形成和明确概念的全过程 从中训练 正确概括的思维能力 在这方面 变式训练能发挥积极作用 案例 1 如我在讲反比例函数时 首先揭示了反比例函数 的定义 y k x k是常数 k 0 但是学生对这个定义的理解不 是很清晰 为了加深理解 我做了如下设置 下列哪些表示 y 是 x 的反比例函数 xy 3 y 2x 1 y a x a 0 y 1 5x y 2x 1 其中 是反比例函数的隐函数形式 是反比例函数的负 指数形式 与定义表现形式不同 通过分析比较使学生对概念 有全面的了解 接着设置变式训练 变式 1 y k 1 xk2 2是反比例函数 求 k 的值 变式 2 y m2 1 xm2 m 1是反比例函数 求反比例函数解析 式 通过以上的变形 沟通了一元二次方程的解法以及强调了 反比例函数中的取值问题 学生可以对概念的理解逐渐加深 对概念中本质的东西有个非常清晰的认识 在有限的时间内使 得效益最大化 二 在理解定理 公式和性质的过程中 利用变式培养学生 多向变通的思维能力 数学思维的发展 还赖于掌握 应用定理 公式和性质 去 进行推理 论证和演算 由于定理 公式和性质的实质 也是人 们对于概念之间存在的本质联系的概括 所以掌握定理 公式 和性质的关键在于明确理解定理 公式和概念的联系 对于这 193 2012 年第 2 期 种联系的任何形式的机械的理解 是不能熟练 灵活应用定理 和公式的根源 它是缺乏多向变通思维能力的结果 因此在定 理 公式和性质的教学中 也可利用变式 展现相关定理和公式 之间的联系以及定理 公式成立依附的条件 培养学生辨析与 定理和公式有关的判断 运用 案例 2 当我教完了求证顺次连结平行四边形各边中点所 得的四边形是平行四边形这个判定定理时 及时进行了如下的 变形 变式 1 求证 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱 形 变式 2 求证 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩 形 变式 3 求证 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是 正方形 变式 4 顺次连结什么四边形中点得到平行四边形 变式 5 顺次连结什么四边形中点得到矩形 变式 6 顺次连结什么四边形中点得到菱形等 通过这样一系列变式训练 使学生充分掌握了四边形这一 章节所有基础知识和基本概念 强化沟通常见特殊四边形的性 质定理 判定定理 三角形中位线定理等 极大拓展了学生解题 思路和多向变通的思维能力 三 在解题教学中 利用变式培养学生联想 转化 推理 归 纳 探索的思维能力 1 一题多解 通过多角度的思考来培养学生思维的灵活性 和发散性 一题多解的实质是以不同的论证方式 反映条件和 结论的必然本质联系 在教学中教师应积极地引导学生从各 种途径 用多种方法思考问题 这样 既可暴露学生解题的思 维过程 增加教学透明度 又能使学生思路开阔 熟练掌握知识 的内在联系 这方面的例子很多 尤其是几何证明题 通过一 题多解 让学生从不同角度思考问题 解决问题 可以引起学生 强烈的求异欲望 培养学生思维的灵活性和发散性 案例 3 已知 如图 1 圆 O 是 ABC 的外接圆 圆心 O 在 这个三角形的高 CD 上 E F 分别是边 AC BC 的中点 求证 四边形 CEDF 是菱形 证法一 O为圆心 AB为圆 O 的弦 OD AB AD BD 又 CD AB AC BC CDA 900 E 是 AC的 中 点 DE 1 2 AC EC 同理 DF 1 2 BC CF DE EC CF FD 四边形CEDF是菱 形 证法二 O 为圆心 AB 为圆 O 的弦 OD AB AD BD D F 分别为 AB BC 的中点 FD AC 且 FD 1 2 AC E 是 AC 的中点 EC 1 2 AC FD 四边形 CEDF 是平行四边形 CDA 900 E 是 AC 的中点 DE 1 2 AC EC 四边形 CEDF 是菱形 证法三 如图 2 连结 EF 交 CD 于点 G E F 分别为 AC BC 的中点 EF AB C G D G O为圆心 AB 为圆 O 的弦 OD AB AD BD EG GF CG DG EG GF 四边形 CEDF 是平 行四边形 EF AB CD AB CD EF 四边形 CEDF 是菱形 通过证法的变式 把直角三角形斜边中线等于斜边一半 三角形中位线平行且等于底边一半 比例线段等性质充分运用 起来 把相关的性质定理建立起有机的联系 分析各种证法 可 以发现不同方法之间也是有联系的 用到了相同的定理或性 质 从此 做题目不再盲目 不再是过独木桥 而是可以从不同 的角度去联想 分析 推理和归纳 从而达到培养学生思维的灵 活性和发散性 2 一题多变 通过联想 探索 归纳等方式培养学生思维的 深刻性和聚敛性 课堂教学不能简单地就题论题 要常新 善 变 通过原题目延伸出更多具有相关性 相似性 相反性的新问 题 通过学生的不断探索 把新问题和原知识建立一定的联系 并最终解决新的问题 这样会极大地开拓学生解题思路 培养 学生思维的深刻性和聚敛性 案例 4 初二课本上一道例题 如图 在 ABCD 中 点 E F 分别在 AD BC 上 且 DE BF 连结 BE DF 求证 四边形 BFDE 是 平行四边 形 变式 1 根据条 件还能得到哪些结 论 怎么证明 变式 1 是对问 题的结论作变式处 理 变式 2 保持 ABCD 条件不变 把 DE BF 改为 1 E F 是 AD BC 的中点 那么四边形 BFDE 是平行四 边形这个结论还成立吗 2 如果DF BE改为 ADC ABC的平分线 那么这个 结论还成立吗 3 如果DF BE改为 ADC ABC的外角平分线 那么 这个结论继续成立吗 变式 2 是对问题的条件作变式处理 194 2012 年第 2 期 变式 3 保持 ABCD 条件不变 对 E 点和 F 点的位置还 能作其它什么变化 也能得到四边形 BFDE 是平行四边形 学生自行编拟变式题 本例是把一道标准题通过变式操作演化成一组具有相关 性的题目 变式 1 是从 己知条件探索结论 的变式 它使学 生了解到原来一组相同条件可得到不同的结论 起到举一反三 的作用 变式 2 是从 己知条件的变化来推论结论的不变性 的变式 通过一题多变 有利于看清问题的本质 而不被形式 所左右 这样一道题可以起到几道题的作用 同时又能掌握题 与题之间的有机联系 变式 3 是 从不变的结论来探索使结论 成立的己知条件 的变式 让学生按一定要求自行编拟变式 题 本质上是一种 再创造 的活动 通过编题 学生能透彻理解 这类题目的真正结构 了解教师出题的 秘密 以后遇到比较 复杂的习题 就会考虑它是以什么简单形式变式而来 采用什 么方法把它分解或变回到标准形式 通过一题多变的教学方 式可以培养学生思维的深刻性和聚敛性 3 一题多问 巧设阶梯式的提问培养学生思维的创新意识 和探究能力 数学 变式教学 在知识的推进过程中有一个循 序渐进的过程 符合不同学生的认知规律 是一种贯彻素质教 育思想的行之有效的方法 变式教学 可以针对不同的学生 的 最近发展区 进行变式问题的设计 把握他们原有的知识 技能的固着点 根据学生可能出现的思维障碍设计几个启发诱 导的问题 缩小知识固着点与所探究问题的潜在距离 搭好适 合他们的 脚手架 使教学呈现合适的梯度 而对优秀学生可 采取拆除台阶等方法 增加对新知识的探究性和挑战性 因此 变式教学 可以使不同学习水平的学生都能得到有效的分层 次地训练 案例 5 Rt ACB 中 D E 是斜边 AB 上的两点 且 AD AC BE BC 结论的表述可以采 用以下几种形式 问 法1 求 证 DCE 45 问法 2 求 DCE 的 度数 问法 3 当 A 变化 时 DCE的大小是否变 化 如不变 求出它的大小 如变化 说明理由 问法 4 当 A 变化时 除了 ACB 90 图中还有没有 大小不变的角 如有 是哪一个 它的大小是多少 针对中等及后进学生可选择第 1 2 种提问方式 要求学生 作答 而对优秀生可出示第 3 种甚至第 4 种提问方式 显然在 相同的条件下 第 4 种提问方式能最大限度地扩充题目所包含 的思维容量 同一道题 变换一下提问角度 就能将一道标准 题变式成一道结论开放的探究题 从而培养学生思维的创新意 识和探究能力 四 数学变式教学中应注意的问题 前面 我们举例说明了数学变式教学有利于对学生数学思 维能力的培养 但应当指出 变式教学不是为了 变式 而变 式 而是要根据教学需要 遵循学生的认知规律而设计数学变 式 其目的是通过变式训练 使学生在理解知识的基础上 把 学到的知识转化为能力 形成技能技巧 完成 应用 理解 形 成技能 培养能力 的认知过程 因此 数学变式设计要巧 要 有一定的艺术性 要正确把握变式的 度 根据我多年的教学 实践和思考 认为数学变式教学应注意以下几个问题 1 变式设计的差异性 设计数学问题变式 要强调一个 变 字 避免简单的重复 变式题组的题目之间要有明显的差 异 对每道题 要使学生既感到熟悉 又感到新鲜 2 变式设计的层次性 所谓的问题变式要有一定的难度 才能调动学生积极思考 但是 变式要由易到难 层层递进 让 问题处于学生思维水平的最近发展区 充分激