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14 静电场中的导体和电介质141基本概念 在静电场中放入导体和电介质后, 电场的分布将会发生变化, 导体和电介质和性质也将发生变化. （1）静电场中的导体 导体放入静电场中, 因导体中有自由电子, 在电场的作用下自由电子产生移动, 导体中的电荷将重新分布, 这种现象称静电感应, 电荷在导体中重新分布后即达到静电平衡, 达到静电平衡时,静电屏蔽： 接地的导体空腔屏蔽内、外电场. （2）静电场中的电介质 电介质的极化 电介质中虽然没有自由电子, 但分子、原子中的带正电的原子核和带负电的束缚电子在电场的作用下也要发生微小的位移, 使得在跟电场垂直的表面出现了净余电荷层, 这种现象称电介质的极化.电介质表面出现的净余电荷称极化电荷,极化电荷要产生附加的电场, 它的方向跟原电场方向相反, 因而使电介质中的场强减弱. 极化强度矢量介质中某处的极化强度矢量为该处附近单位体积中的分子电偶极矩的矢量和. 极化电荷面密度 与极化强度的关系为： 电介质表面极化电荷面密度在数值上等于极化强度沿介质表面外法线方向上的分量. 电位移矢量 介质中的高斯定理 通过任一闭曲面的电位移通量,在数值上等于闭合曲面所包围的自由电荷的代数和. （3）电容 孤立导体的电容即为导体所带的电量跟导体的电势之比.（它只跟导体本身的性质、形状、大小及周围的介质有关） 电容器的电容即为电容器每块极板上的电量Q与两极板间电势差的比值. 它表示电容器单位电压所容纳的电量. （4）电场的能量 电容器的电能 电场的能量 电能储存在电场中,电场中单位体积的电能称电场能量体密度 电能的能量142解题指导 （1）静电场中的导体 导体放在静电场中首先要考虑静电感应,然后用静电平衡条件（导体内部的场强为零,导体表面的场强垂直表面）解有关的问题. （2）利用介质中的高斯定理求对称分布的电场的解题步骤 首先用 求出D的分布； 再用 求出E 的分布； 求极化电荷密度 . （3）求电容的方法 先用高斯定理求出E的分布； 用 求出电势差 ； 用公式 求出电容. （4）电场能量 电容器的能量 电场能量 ； 对场是球分布 ； 对场是柱分布 .143典型例题 14-1一“无限大”均匀带电平面A,带电量为q,在它的附近放一块与A平行的金属导体板B,板B有一定厚度,如图14.3-1所示,则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别是多少？解题思路 设B板两面的感应电荷分别 ,两个未知数需列出两个独立方程式求解：感应电荷 ，运用静电平衡条件,导体内部的电场为0,即 的三块平板在a点的合场强为0, 解 设B板两面的感应电荷分别为 ,有在导体板中任选一a点, （向左电场为正）：从两式可解得14-2 一半径为R ,带电量为Q的金属球,球外有一层均匀电介质组成的同心球壳,其内、外半径分别为a,b介质的相对介电常数为 ,求： （1）电介质内、外空间的电位移和电场强度； （2）电介质两个表面上的极化电荷面密度. 解题思路 运用介质中的高斯定理 先求出D,然后用 求E,再求极化电荷面密度 解 （1）介质内 作半径为r的同心球面作高斯面,根据介质中的高斯定理,对均匀电介质Rrb,同理（2） r=a,介质内表面r=b,介质外表面 14-3 两根平行长直导线,它们的半径都是a,两根导线相距为d(da)求单位长度的电容. 解题思路 将两长直导线分别带上线电荷密度为 的电量,看成两无限长均匀带电圆柱,用高斯定理分别求出每根长直导线的场强,再求出两带电长直圆柱间的合场强,然后用电差公式求出两长直导线的电势差,代入电容公式求电容.解 设在两长直导线上分别带电荷线密度 ,坐标如图所示.在两长直导线之间的P点的合场强（分别用高斯定理可求解得每根带电长直导线的场强）两长直带电导线的电势差单位长度的电容14-4 一圆柱形电容器,由截面半径为R的导体圆柱和与它共轴的导体圆管筒组成,圆筒半径 ,在内圆柱与 之间充满相对介电常数 的均匀电介质,如14.3-4图所示,略去边缘效应.求： （1）该电容器单位长度的电容； （2）将该电容充电至两极板间的电势差为U=100V,则单位长度上的电场能量是多少？（圆筒接地）解题思路 将圆柱和圆筒带上电量,利用高斯定理求出它们之间的场强,然后求出它们的电势差,再求电容. 求解电场能量有两种方法：利用电容器电能公式 ；用电场能量公式 解 （1）设圆柱、圆筒分别带上电荷线密度 的电量.根据高斯定理可求得： （2）方法: 方法: 14.4 题解 1两平行金属板带有等量异号电荷,若两板的电势差为200V,两板间距为2.0mm,忽略边缘效应,求每一个金属板表面的电荷面密度是多少？ 解 此题有四个未知数 ,要列出四个方程求解.左板接地 . 作图示高斯面,根据高斯定理, 所以 . 左边金属板中P点场强为0, . 解得 . 两板中间场强 得 解得 2一无限大均匀带电介质板A,电荷面密度为 ,介质板靠近一导体B,此时B导体外表面上靠近P点处的电荷面密度为 ,求P点的电场强度. 解 在P点作垂直B表面的圆柱高斯面（P点在高斯面度面上 ,）根据高斯定理,静电平衡时,导体B内部的场强为0,表面的场强垂直表面,所以上式左边积分 3一圆柱形电容器,由内筒半径 ,外筒半径 两个共轴导体圆筒组成,两筒间充满了相对介质电常数 的均匀介质,已知空气的击穿场强 ,则此电容器的最高耐压力为多少？ 解 内、外圆筒分别带有线电荷密度为 和 的电量,根据高斯定理,两筒间为空气时,两筒间的场强； 两筒间充满均匀介质时,两筒间的场强； 两筒间的电势差 将式代入式,最高耐压 4. 一个大平行板电容器水平放置,两极板间的一半空间充有各向同性的均匀电介质,另一半为空气, 如图14.4-4所示. 当两极板带上恒定的等量导异号电荷时,有一质量为m、带电量+q的质点平衡在极板间的空气区域中, 此后若把电介质抽去, 则该质点将如何运动？（向上, 向下, 或保持不动） 解 介质抽出前, 质点平衡, 介质板上,下表面有极化电荷,如图144-4左半部所示. 将介质板抽出的过程,外力克服电场力作功,使电场能量增加,而介质抽出后电容器将减少,从上式看出两极板间的电压U将增高,而引起两极板间电场强度增大,电场力增大,质点将向上运动. 5电容器 和 串联后接上电动势恒定的电源充电, 在电源不断开的情况下,若把一电介质充入 中,则 上的电势差将怎样变化？电容器 极板上的电量将怎样变化？（增大,减少,不变） 解 两电容 串联,总电容,电介质充入 后, 将增大. 从上式看, 总电容C将增大, 根据总电容增大, 总电压不变, 电量q也增大, 所以 上的电量增多, 根据, 电容器 上的电势差增大.6半径为 互相绝缘的两同心导体球壳,现把+q的电量给予内球,问： （1）外球的电荷及电势为多少？ （2）把外球接地后断开地线,外球的电荷及电势改变多少？ （3）然后把内球接地,内球的电荷及外球的电势改变多少？ 解 （1）外球内表面感应电荷为-q, 外表面电荷为+q. 外球电势 （2）外球接地后,外表面电荷为零, 内表面电荷仍为-q, 外球电势 （3）设内球接地后电荷变为, 则因内球此时电势为零, 即得 此时外球的电势外球电势的改变 7点电荷 C处在导体球壳的中心,壳的内、外半径分别为 和 求： （1）导体球壳的电势； （2）离球心r=1.0cm的电势； （3）把点电荷离开球心1.0cm,再求导体壳的电势. 解 （1）此时导体球壳的内表面感应电荷-q,外表面感应电荷+q,球壳的电势（2） （3）此时并不影响导体壳外表面的电荷,故电势与（1）中计算的相同. 8电容量分别为 和 的两个电容器, 把它们并联用电压V充电时和把它们串联的用电压2V充电时,在电容器组中,哪个组合储存的电量、能量大些？大多少？ 解 电容器并联时, 电容器串联时, 所以 由上计算可知, 在题目已知条件下, 无论是电量还是能量都是并联时大. 9一空气平板电容器电容C=1.0pF,充电到电量为 后,将电源切断, 求： （1）极板间的电势差及此时的电场能； （2）再将两板拉到原距离的两倍, 计算拉开前后电场的改变, 并解释其原因.解 （1） （2）距离拉大一倍,电容变为电场能量电场能量的增量能量的增加是因为在将两板距离拉大的过程中,外力克服两板之间的静电力作功,使其他形式的能量转变成电能的结果10球形电容器由半径为 的导体球和与它同心的导体球壳构成,壳的内半径为 ,其间一半充满相对介电常数为 的均匀电介质,如图所示,求电容C. 解 相当于两半球形电容器的并联. 对球形电容器,充电后两球间的电场强度 ,两球间的电压 电容 上半球 下半球 11. 在半径为a的球体内均匀地充满电荷,总电量为Q.试证其电势能为 解 电荷体密度 现设想球体的总电量Q是从分散在无限远处的情况下聚集起来的,且从球心起,按一个个的同心球壳逐层建立起来的.建立rr+dr这一层时,所移电量 这时,是将dq从电势为零处(无限远处)移到电势U(r)处,根据球体均匀带电, 所以电势能增量为 因此,建立整个电荷Q所增加的电势能为 12. 两个相同的空气电容器,其电容都是 ,都充电到电压各为900V后断开电源, 把其中之一浸入煤油中( ),然后把两个电容器并联,求: (1)浸入煤油过程中能量的损失; (2)并联过程中能量的损失. 解 (1) 每个电容器原来的能量为 浸入煤油的电容器,两极板间的场强 两板间的电压 电容 能量 浸入煤油过程中能量的损