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3-6 条件平差估值的统计性质 2学时在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差值（观测量的最或然值）和单位权中误差。本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计性质。一、观测量平差值具有无偏性根据数理统计理论，要证明的无偏性，就是证明的数学期望等于相应的真值，即： (3-6-1)根据（3-1-6）、（3-1-14）和（3-1-19）式，得两边取期望得：由于，且，得二、观测值平差值的方差最小（有效性）根据矩阵的迹的定义，要证明具有最小方差，需要证明平差值方差的迹tr()为最小即可。而根据方差的定义，也可以证明平差值协因数阵的迹tr()为最小，即tr() = min 或 tr() = min (3-6-2)可以用反推法求的具有最小方差的无偏估计量是。为此，仿照平差值表达式，另设函数： (3-6-3)式中G为待求系数先证明是的无偏估计：对（3-6-3）式两端取数学期望，得由于，而W = -（AL+A0），则上式写为即，无论系数G为什么值，都是的无偏估计，的无偏估计不唯一。将（3-6-3）式写为 (3-6-4)按协方差传播规律，得估计量的方差阵为= (3-6-5)为求使tr() = min的G的值，可对（3-6-5）式两端求迹后，再对G求偏导，得 (3-6-6) (3-6-7)其中=0， = DLLAT，= DLLAT， = 2GADLLAT代入（3-6-7）式，并使其为零，得而DLL = 02Q，代入上式，整理得GAQAT - QAT = 0 (3-6-8)即GN QAT = 0 (3-6-9)则G = QATN 1 (3-6-10)将上式代入(3-6-3)式，得 (3-6-11)可见是的方差最小的无偏估计，即是的最优无偏估计。三、单位权方差的无偏性单位权方差的无偏性是指单位权方差的估值是其无偏估计量，即要证明：E() = (3-6-12)估值的计算式对于改正数向量V，其数学期望为E(V)，方差阵为DVV ，相应的权阵为P（P为对称可逆阵），根据数理统计理论，V向量的任一二次型的数学期望可表达成下式： (3-6-13)式中，E(V) = 0，DVV = QVV，则（3-6-13）式可写为 (3-6-14)由（3-1-29）知QVV = ，代入上式，得(3-6-15)由于(ATN 1)和(AQ)都是方阵，根据矩阵的迹的性质，有：tr(ATN 1AQ) = tr(AQATN 1) = tr(NN 1) = r (3-6-16)上式代入（3-6-15）式后，根据单位权中误差的计算公式，得 (3-6-17)从而可得，单位权方差的估值是其无偏估计量。对于附有参数的条
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