普通高等学校招生全国统一考试数学理（四川卷解析版）.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（四川卷，解析版）第卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 其中表示球的半径如果事件相互独立，那么 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题：1.设集合则.【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题，故选择c。解析2：由故，故选c.已知函数连续，则常数的值是. . . . 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。解析：由题得，故选择b。解析2：本题考查分段函数的连续性由，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知，可得故选b.复数的值是. . . .【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。解析：，故选择a。4.已知函数，下面结论错误的是 a.函数的最小正周期为 b.函数在区间上是增函数c.函数的图像关于直线对称 d.函数是奇函数【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）解析：由函数的可以得到函数是偶函数，所以选择d5.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是. .平面 c. 直线平面.【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）解：由三垂线定理，因ad与ab不相互垂直，排除a；作于，因面面abcdef，而ag在面abcdef上的射影在ab上，而ab与bc不相互垂直，故排除b；由，而ef是平面pae的斜线，故排除c，故选择d。解析2：设低面正六边形边长为，则，由平面可知，且，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选d。6.已知为实数，且。则“”是“”的a. 充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件 c充要条件 d. 既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：推不出；但，故选择b。解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。7.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=a. b. c .0 d. 4 【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）解析：由题知，故，故选择c。解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程，则左、右焦点坐标分别为，再将点代入方程可求出，则可得，故选c。8.如图，在半径为3的球面上有三点，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是a. b. c. d. 【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）解析：由知截面圆的半径，故，所以两点的球面距离为，故选择b。解析2：过球心作平面的垂线交平面与，则在直线上，由于，所以，由为等腰直角三角形可得，所以为等边三角形，则两点的球面距离是。9.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是a.2 b.3 c. d. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，p到的距离等于p到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择a。解析2：如下图，由题意可知10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用a原料3吨、b原料2吨；生产每吨乙产品要用a原料1吨、b原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨，b原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 a. 12万元 b. 20万元 c. 25万元 d. 27万元 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即已知约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，故选择d。11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是a. 360 b. 188 c. 216 d. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有,选b。 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 a.0 b. c.1 d. 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）解析：令，则；令，则由得，所以，故选择a。2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第卷考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13.的展开式的常数项是 （用数字作答） 【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）解析：由题知的通项为，令得，故常数项为。14.若与相交于a、b两点，且两圆在点a处的切线互相垂直，则线段ab的长度是 【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析：由题知，且，又，所以有，。15.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。法2：取bc中点n，连结，则面，是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。16设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 对设，则是平面上的线性变换； 若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；设是平面上的线性变换，若共线，则也共线。其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点定位】本小题考查新定义，创新题。解析：令，由题有，故正确；由题，即，故正确；由题，即，故不正确；由题，即也共线，故正确；三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且（i）求的值； （ii）若，求的值。本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（）、为锐角，又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， ， ， 12分18. （本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。（i）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（ii）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。6分（）的可能取值为0，1，2，3 , ， 所以的分布列为0123 所以， 12分 19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求证：；（ii）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（iii）求二面角的大小。本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（）因为平面平面,平面，平面平面，所以平面所以.因为为等腰直角三角形， ，所以又因为，所以，即,所以平面。 4分 （）存在点,当为线段ae的中点时，pm平面 取be的中点n，连接an,mn，则mnpc 所以pmnc为平行四边形，所以pmcn 因为cn在平面bce内，pm不在平面bce内， 所以pm平面bce 8分 （）由eaab,平面abef平面abcd，易知，ea平面abcd作fgab,交ba的延长线于g，则fgea。从而，fg平面abcd作ghbd于g，连结fh，则由三垂线定理知，bdfh因此，aef为二面角f-bd-a的平面角因为fa=fe, aef=45,所以afe=90，fag=45.设ab=1,则ae=1,af=. fg=afsinfag=在rtfgh中，gbh=45,bg=ab+ag=1+=,gh=bgsingbh=在rtfgh中，tanfhg= = 故二面角f-bd-a的大小为arctan. 12分解法二:()因为abe为等腰直角三角形,ab=ae,所以aeab.又因为平面abef平面abcd,ae平面abef,平面abef平面abcd=ab,所以ae平面abcd.所以aead.因此,ad,ab,ae两两垂直,以a为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系a-xyz.设ab=1,则ae=1，b（0，1，0），d (1, 0, 0 ) ,e ( 0, 0, 1 ), c ( 1, 1, 0 ).因为fa=fe, aef = 45,所以afe= 90.从而，.所以,.,.所以efbe, efbc.因为be平面bce,bcbe=b ,所以ef平面bce. () m（0，0，）.p（1, ,0）.从而=（，）.于是所以pmfe，又ef平面bce，直线pm不在平面bce内，故pm平面bce. 8分() 设平面bdf的一个法向量为，并设=（x，y，z）=(1，1，0)， 即去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）取平面abd的一个法向量为=（0，0，1）故二面角f-bd-a的大小为. 12分20（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（i）求椭圆的标准方程；（ii）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 解：（）有条件有，解得。 。 所以，所求椭圆的方程为。4分（）由（）知、。 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、， . ,与题设矛盾。 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。设、，联立，消y得。由根与系数的关系知，从而，又，。 。化简得解得 21. （本小题满分12分）已知函数。（i）求函数的定义域，并判断的单调性；（ii）若（