2014-2015_1_概率统计 北科大.doc

A卷北京科技大学20142015学年度第一学期 概率论与数理统计 试题答案及评分标准一填空题（每小题3分，共15分）1. 从一副扑克牌四个花色的52张牌中随机抽取两张牌，则取到的两张恰是不同花色且最大点数为7的概率是 。2. 设随机变量的概率密度函数是，则 。3. 若，且，则 。4. 设随机变量满足，由切比雪夫不等式可以知道 。5. 设随机变量独立同分布，概率密度函数是。那么随机变量概率分布密度函数 填空题答案：1. 2. 3. 4. 5.二选择题（每小题3分，共15分）1对随机事件和，下述关系中正确的是 。（A）（B）（C）（D）2一种零件的加工需要先后完成两道工序，第一道工序的废品率是次，第二道工序的废品率是，两道工序相互独立，则该零件加工的成品率是 。（A）（B）（C）（D）3. 设和分别是两个随机变量的分布函数，令，则下列各组的值中能使得是某个随机变量的分布函数的是 。（A）（B）（C）（D）4. 设随机变量，则 。（A）（B）（C）（D）5. 设是来自总体的一个样本，则的无偏估计是 。（A）（B）（C）（D）选择题答案：1.B 2.C 3.B 4.D 5.A三（本题8分）有两只编号的口袋，一号口袋中放有2个白球及5个黑球，二号口袋中放有3个白球及4个黑球。任取一只口袋，再从中任取一个球，问：（1）取出的这个球是白球的概率是多少？（2）如果取出的是白球，分析它来自哪只口袋的可能性大？【解】以表示取出号口袋，表示最后取出的是白球（1分）。（1）（2分）。（2）（3分）（1分）所以，60%来自二号口袋，40%来自一号口袋（1分）。四（本题12分）运动员在一段时期内的运动呈正态分布。一个跳远运动员在一周的运动测试中取得如下成绩（单位：米） 6.5 6.4 6.8 6.3 6.3 6.6 6.7 6.2 6.7。均值和方差分别记作和。问题：（1）求均值的置信区间，置信度为；（2）是否可以认为这名运动员的平均成绩达到？显著性水平；（3）是否可以认为这名运动员的平均成绩？显著性水平。已知数据：；。解：构造统计量，则（2分）。简单计算得到，。（2分）（1）置信度为，则，置信区间为。（2分）（2）作双边检验，（1分）拒绝域为，（1分）本题，因此不接受零假设，不能认为这名运动员的平均成绩是（1分）。（3）作单边检验，（1分）拒绝域为，（1分）本题，因此拒绝原假设，认为这名运动员的平均成绩。（1分）五（本题10分）设随机变量。问题：（1）写出的概率密度函数；（2）随机变量的密度函数解：（1）随机变量的密度函数为，（2分）（2）设随机变量的分布函数为，则有。（2分）所以，当时，；（1分）当时，因此有随机变量的密度函数为 （3分）六（本题10分）甲、乙两人投篮，甲、乙的命中率均为。两人依次投篮，甲先投，谁先投中谁获胜。当有一人获胜时，两人投篮的总次数是随机变量，记为。（1）求的分布律；（2）求的数学期望；（3）求两人获胜的概率各是多少；（4）这个比赛可否是公平的？解：（1）随机变量的取值是正整数，（2分）。（2）（2+2分）。（3）甲胜利的概率为（2分），乙胜利的概率为（1分）。（4）由于，所以这个比赛不可能是公平的（1分）。七（本题12分）设二维随机变量的联合密度函数为 ，其中为常数。问题：（1）求常数的值；（2）求与的边缘概率密度函数；（3）求条件概率密度函数；（4）与是否相互独立？解：（1）由于（1分），因此，解出（1分）。（2）（1分），（2分）。（3）当时，（2分） 当时，（2分）（4）由于（1分），因此不独立（2分）。八（本题18分）某个总体的分布密度是，其中是未知参数。为确定参数的取值，从总体中抽取一个容量为6的样本：.问题：（1）求总体的数学期望和方差；（2）求总体参数的矩估计量和矩估计值；（3）求总体参数的极大似然估计量和极大似然估计值；（4）可否利用总体二阶矩估计未知参数的值？如果不可以，请说明理由；如果可以，请给出这个估计量和估计值。解答：（1）由数学期望的定义得到。（1分）由方差的定义得到。（2分）（2）由于样本均值是总体均值的无偏估计（1分），因此令（1分），可以解得参数的矩估计量为（1分），矩估计值为（1分）。（3）构造似然函数（1分），由于（1分），因此（1分），也就是说的极大似然估计量为（1分），的极大似然估计值为（1分）。（4）可以（1分）。由于（1分），令总体二阶矩等于样本二阶矩（1分），那么，从中可以解出的矩估计量为（1分）。由于样本二阶矩（1分），所以矩估计值（1分）。B卷北京科技大学20142015学年度第一学期概率论与数理统计 试题答案及评分标准一填空题答案：1. 2. 3. 4. 5.二选择题答案：1.B 2.D 3.B 4.C 5.AC卷北京科技大学20142015学年度第一学期概率论与数理统计 试题答案及评分标准一、填空题（本题共15分，每小题3分）1设事件相互独立，且，则 。2设为标准正态分布的上分位数，如果，那么 。310个人随机地围绕圆桌而坐，其中甲和乙两个人坐在一起的概率是 。4设二维随机变量的联合概率密度是 ，那么的边缘密度是 。5设是次试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意的， 。填空题答案：1 2. 3. 4. 5.二、选择题（本题共15分，每小题3分）1若，则 。（A）； （B）或者；（C）是互不相容的事件； （D）是对立的事件。2.设样本来自总体，且，其中与均未知，则下列结论正确的是 。（A）是的无偏估计； （B）是的无偏估计；（C）是的无偏估计； （D）是的无偏估计。3将一枚骰子投掷次，表示出现三点或四点的次数的总和，表示出现一、二、五、六点的次数的总和，那么和的相关系数是 。（A） （B） （C） （D）4设随机变量相互独立，又，则下列结论错误的是 。（A）； （B）；（C）； （D）。5检验正态总体均值时，在，下列结论中 是正确的（已知，显著水平，其中）。（A）拒绝域 （B）拒绝域 （C）拒绝域 （D）拒绝域选择题答案：1A 2.C 3.A 4.B 5.D三、（本题8分）有两个罐子，第一个罐子中放有2个白球及5个黑球，第二个罐子中放有3个白球及4个黑球。任取一个罐子，再从中任取一个球，问：（1）取出的这个球是白球的概率是多少？（2）如果取出的是白球，问它来自哪只罐子？【解】以表示取出第个罐子，表示最后取出的是白球（1分）。（1）（2分）。（2）（3分）（1分）所以，60%来自第二个罐子，40%来自第一个罐子（1分）。四、（本题10分）设连续型随机变量的分布函数是 ，问：（1）各是多少？（2）的概率密度函数是什么？（3）求出随机变量的概率密度函数。【解】（1）由于（2分），所以，解出得到（1分）。（2）在时，所以概率密度函数（1分）。在和时，（1分）。（3）当或者时，（1分）。当时，（3分），于是，（1分）。五、（本题10分）将两枚骰子抛掷次，令表示点对（1,1）、（2,2）、（3,3）、（4,4）、（5,5）、（6,6）出现的总次数。求：（1）的分布律；（2）；（3）点对（1,1）、（2,2）、（3,3）、（4,4）、（5,5）、（6,6）至少出现一次的概率。【解】在一次试验中我们有（1分）。（1）显然这是一个重贝努利试验，服从二项分布，其分布律是，（2分）。（2）服从二项分布，因此，（2分），于是（2分）。（3）（3分）。六、（本题16分）设随机变量和都服从标准正态分布，和服从同一个指数分布，其概率密度函数为。如果是相互独立的，且记随机变量，。问：（1）随机变量服从什么分布？其概率密度函数是什么？数学期望和方差各是多少？（2）随机变量和的协方差是多少？和是否相互独立？（3）随机变量的数学期望与方差分别是多少？（4）的概率密度函数是什么？【解】（1）服从正态分布（1分），（2分），（1分）。（2）（1分），而，因此得到协方差是0（2分）。于是，相互独立（1分）。（3），所以，（1分）。于是，（1分），（2分）。（4）记，的分布函数为，显然当时，（1分）。当时，（2分），于是，（1分）。七、（本题16分）设总体分布在区间上，其概率密度为，其中是未知参数，。求：的矩估计量和最大似然估计量。【解】由于（2分），令（2分），解得，所以的矩估计量为（2分）。记似然函数为（2分），则（2分），