高中数学 模块复习2 数列课件 新人教B版必修5.ppt

第2课时数列 知识网络 要点梳理 思考辨析 知识网络 要点梳理 思考辨析 1 sn与an的关系 2 等差数列与等比数列的定义式当n 2时 数列 an 满足an an 1 d 常数 等差数列 等比数列 3 等差 等比数列的通项公式 1 等差数列 an a1 n 1 d an am n m d 2 等比数列 an a1qn 1 q 0 an amqn m q 0 4 等差数列 等比数列的性质若m n p q 则 1 在等差数列中 am an ap aq 2 在等比数列中 aman apaq 知识网络 要点梳理 思考辨析 5 等差中项与等比中项 1 若a b c成等差数列 则2b a c 2 若a b c成等比数列 则b2 ac 6 等差数列 等比数列的前n项和公式 7 等差数列 等比数列前n项和的性质 1 等差数列中 sn s2n sn s3n s2n 仍成等差数列 2 等比数列中 sn s2n sn s3n s2n 仍成等比数列 知识网络 要点梳理 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 数列 an 和集合 a1 a2 a3 a4 an 是一回事 2 一个确定的数列 它的通项公式只有一个 3 若数列 an 的前n项和为sn 对任意的n n 都有an sn sn 1 4 等差数列的单调性是由公差决定的 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 6 若对任意n n 都有2an 1 an an 2成立 则数列 an 一定为等差数列 知识网络 要点梳理 思考辨析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 专题归纳 高考体验 专题一求数列的通项公式 例1 1 等差数列 an 是递增数列 前n项和为sn 且a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项公式 2 已知在数列 an 中 a1 1 且an 1 an 3n n 求数列 an 的通项公式 3 已知在数列 an 中 前n项和sn与an的关系是sn n 2n 1 an 求an 思路点拨 1 本题已知 an 是等差数列 可建立首项和公差的方程 通过解方程来求得首项和公差 再代入通项公式得其解 2 由于本题给出了数列 an 中连续两项的差 故可考虑用累加法求解 3 此题已知sn与an的关系 应想到使用sn法 然后得到相邻两项比的等式满足an an 1f n 这种模型 因此使用迭乘法求解 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 反思感悟数列的通项是数列的重要内容之一 只要有数列的通项公式 许多问题便可迎刃而解 如果一个数列是等差数列或等比数列 那么可直接写出其通项公式 而对于非等差 等比数列的通项公式可通过适当的变形 构造等使之成为等差或等比数列来求解 专题归纳 高考体验 变式训练1 1 设数列 an 的前n项和为sn 2n2 bn 为等比数列 且a1 b1 b2 a2 a1 b1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 在数列 an 中 a1 1 an 1 an 1 求数列 an 的通项公式 解 1 当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 2n2 2 n 1 2 4n 2 当n 1时也适用 故 an 的通项公式为an 4n 2 设 bn 的公比为q 则b2 a2 a1 b1qd b1 又d 4 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题二等差数列 等比数列的判定与证明 例2 数列 an 满足a1 1 nan 1 n 1 an n n 1 n n 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题三数列求和的常用方法 思路点拨 1 可以两项并一项处理 然后转化为特殊数列求和 2 本题通项公式为 是一个指数式和一个一次式的和组成的 可以选择拆项分组求和法 3 运用取倒数配常数法 根据目标 先利用错位相减法求tn 再利用分类讨论思想确定 的取值范围 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 反思感悟数列的求和问题是数列中的重要问题 需要掌握一些简单数列的求和方法 并应用数列求和解决一些数列问题 数列的求和常用的方法有 1 公式法 即直接应用等差数列 等比数列的求和公式求解 2 并项转化求和法 3 倒序相加法 4 错位相减法 5 裂项相消法 6 分组转化法 即把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合 使其转化为等差数列或等比数列 然后由等差 等比数列的求和公式求解 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题四数列与数学思想 例4 1 等差数列 an 的首项为a1 14 前n项和为sn 若s3 s5 则当n 时 sn最大 2 已知在等差数列 an 中 a1 a5 26 a1 a5 s3 5 则a20 s20 3 某等差数列前4项之和为 4 最后4项之和为36 且所有项的和为36 则此数列共有项 4 已知等比数列 an 是一个公比为q的递增数列 且a5 a a9 则该数列的首项a10 填 或 专题归纳 高考体验 思路点拨 1 本题利用了等差数列前n项和具有的二次函数性质 等差数列前n项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决 2 等差 比 数列的有关问题大都可以通过建立关于a1 d q 的方程组求解 3 解题时 分析已知条件与所求问题的联系 把a1 a2 a3 a4以及an an 1 an 2 an 3看成一个整体 灵活运用整体思想 4 当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时 需要对这个量的各种情况进行分类讨论 在本题中 由于等比数列的增减性与a1 q相关 所以应对q的取值进行讨论 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 答案 1 4 2 1151160 3 9 4 专题归纳 高考体验 反思感悟1 在等差 比 数列的通项公式与前n项和公式中共有5个量a1 d 或q n an及sn 已知这5个量中任意3个量的值 就可以运用方程思想 解方程 或方程组 求出另外2个量的值 2 数列可以看作是定义域为正整数集 或其有限子集 的特殊函数 运用函数思想去研究数列 就是要借助于函数的单调性 图象和最值等知识解决与数列相关的问题 等差数列与一次函数 等比数列与指数函数有着密切的关系 等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系 故可用函数的思想来解决数列问题 3 若等比数列公比q的值不确定 求其前n项和时要分q 1和q 1两种情况讨论 4 由前n项和公式sn 求通项公式an时应分n 1和n 2两种情况分别求解 专题归纳 高考体验 考点一等差数列1 2017课标全国卷 理4 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 答案 c 专题归纳 高考体验 2 2016课标全国卷 理3 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 答案 c 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 考点二等比数列4 2017课标全国卷 理3 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7层塔共挂了381盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍 则塔的顶层共有灯 a 1盏b 3盏c 5盏d 9盏解析 设塔的顶层共有x盏灯 则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列 由 可得x 3 故选b 答案 b 专题归纳 高考体验 5 2016课标全国卷 理17 已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 考点三数列的综合应用6 2017课标全国卷 文17 设sn为等比数列 an 的前n项和 已知s2 2 s3 6 1 求 an 的通项公式 2 求sn 并判断sn 1 sn sn 2是否成等差数列 专题归纳 高考体验 7 2017课标全国卷 文17 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 解 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5 得2d q2 6 因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 由b1 1 t3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则s3 21 当q 4时 由 得d 1 则s3 6 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 9 2017天津高考 理18 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n n 解 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以 bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 专题归纳 高考体验 2 设数列 a2nb2n 1 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 有a2nb2n 1 3n 1 4n 故tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 上述两式相减 得 3tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 11 2016课标全国卷 理17 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 2 求数列 bn 的前1000项和 解 1 设 an 的公差为d 据已知有7 21d 28 解得d 1 所以 an 的通项公式为an n b1 lg1 0 b11 lg11 1 b101 lg101 2 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 13 2017山东高考 文19 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且a1 a2 6 a1a2 a3 1 求数列 an 的通项公式 2 bn 为各项非零的等差数列 其前n项和为sn 已知s2n 1 bnbn 1 求数列的前n项和tn 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 考点四数列创新探究题型14 2017江苏高考 19 对于给定的正整数k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 p k 数列 1 证明等差数列 an 是 p 3 数列 2 若数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 证明 an 是等差数列 证明 1 因为 an 是等差数列 设其公差为d 则an a1 n 1 d 从而 当n 4时 an k an k a1 n k 1 d a1 n k 1 d 2a1 2 n 1 d 2an k 1 2 3 所以an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因此等差数列 an 是 p 3 数列 专题归纳 高考体验 2 数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 因此 当n