高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课件 新人教A版选修22(1).ppt

1 6微积分基本定理 主题微积分基本定理一物体沿直线做变速运动 在时刻t时物体所在位置为s t 速度为v t v t 0 则物体在时间间隔 t1 t2 内经过的路程为s 据此回答下列问题 1 s t 与v t 的关系是什么 提示 s t v t 2 s用s t 如何表示 提示 s s t2 s t1 3 s用v t 如何表示 提示 由定积分的概念 可以表示为v t dt 结论 1 函数的原函数如果连续函数f x 是函数f x 的导函数 即f x 通常称f x 是f x 的一个 f x 原函数 2 微积分基本定理 1 内容 如果f x 是区间 a b 上的 函数 并且f x f x 那么f x dx 这个结论叫做微积分基本定理 又叫做 连续 f b f a 牛顿 莱布尼 茨公式 2 表示 为了方便 常常把f b f a 记成 即f x dx f b f a 微思考 1 如果f x dx g x dx 则一定有f x g x 成立吗 提示 不一定 例如f x 2x g x 3x2满足f x dx g x dx 1 但f x g x 2 微积分基本定理中 满足f x f x 的函数f x 唯一吗 提示 不唯一 比如f x 2x时f x x2 c c为任意常数 3 利用微积分基本定理求定积分的关键是什么 提示 找到满足f x f x 的函数f x 预习自测 1 f 2x dx等于 a f b f a b f 2b f 2a c f 2b f 2a d 2 f 2b f 2a 解析 选c f 2x dx f 2b f 2a 2 2xdx等于 a 6b 5c 4d 3 解析 选d 3 已知自由下落的物体的运动速度v gt g为常数 则当t 1 2 时 物体下落的距离为 a gb gc gd 2g 解析 选c 物体下落的距离 4 2017 双鸭山校级期中 已知 3x2 k dx 16 则k a 1b 2c 3d 4 解析 选d 由微积分基本定理可得 3x2 k dx x3 kx 23 2k 16 所以k 4 类型一简单函数的定积分 典例1 1 若s1 x2dx s2 dx s3 exdx 则s1 s2 s3的大小关系为 a s1 s2 s3b s2 s1 s3c s2 s3 s1d s3 s2 s1 2 求下列定积分的值 2x 3 dx 1 t3 dt t 2 dx cosx ex dx 解题指南 1 分别求出三个定积分值再比较 2 根据微积分基本定理 关键求相应被积函数的一个原函数 解析 1 选b 因为 x3 x2 lnx ex ex 所以s2 s1 s3 方法总结 微积分基本定理应用的理解 1 找原函数 利用微积分基本定理计算定积分f x dx的关键是找到使f x f x 成立的f x 通常是逆向考虑基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则 求出f x 2 检验 求导数运算与求原函数运算互为逆运算 为避免出错 在求出f x 后 可利用f x f x 对f x 进行求导验证 拓展 奇函数 偶函数的定积分的性质 1 若f x 是偶函数时 f x dx 2f x dx 2 若f x 是奇函数时 f x dx 0 巩固训练 计算下列定积分 1 1 x x2 dx 2 3x2 2x 5 dx 3 cosx sinx dx 4 解析 1 类型二分段函数的定积分 典例2 1 2017 德州高二检测 计算 x 1 1 x dx 2 求函数f x 在区间 0 3 上的定积分 解题指南 1 把被积函数化为分段函数 利用定积分的性质转化为多个定积分的和 2 分段函数在区间 a b 上的积分可分成几段积分的和的形式 标准是使每一段上的函数表达式确定 解析 1 由于y x 1 1 x 所以原式 答案 20 2 f x 在 0 3 上的积分可按照f x 的分段标准 分成 0 1 1 2 2 3 三段的积分的和 由积分性质知 延伸探究 1 本例 1 中积分区间改为 0 3 其他条件不变 求定积分的值 解析 y x 1 1 x 答案 10 2 本例 1 中被积函数改为f x x 1 x 1 其他条件不变 求定积分的值 解析 因为f x x 1 x 1 答案 0 方法总结 求分段函数定积分的步骤 1 根据分段函数和定积分的性质 把所求定积分写成若干个定积分的和 2 分别应用微积分基本定理求出各个定积分的值 3 把各个值相加得到结果 补偿训练 求曲线y 3 2x 与坐标轴及直线x 1和x 2所围成的图形面积 解析 设围成图形面积为s s 3 2x dx 3 2x dx 3 2x dx 3 2x dx 2x 3 dx 3x x2 x2 3x 类型三定积分的综合问题 典例3 1 若f x x2 2f x dx 则f x dx a 1b c d 1 2 设函数f x ax2 c a 0 若f x dx f x0 0 x0 1 则x0的值为 解题指南 1 用m表示f x dx 则被积函数f x 可用m表示 从而可求解 2 用方程思想加以解决 解析 1 选b 设f x dx m 则f x x2 2m m f x dx x2 2m dx 答案 方法总结 求定积分的常用方法 1 定积分的定义法 分割 近似代替 求和 求极限 2 利用定积分的几何意义 3 微积分基本定理 通过f x f x 求f x 进而求解 巩固训练 1 2017 自贡高二检测 设 dx tan 3 则tan 解析 因为 dx表示y 在 0 1 的积分 即圆面积的 所以 所以tan 答案 2 2 已知f x ax2 bx c a 0 且f 1 2 f 0 0 f x dx 2 求a b c的值 解析 由f 1 2 得a b c 2 又f x 2ax b 所以f 0 b 0 而f x dx ax2 bx c dx 所以 补偿训