高中数学 第二章 参数方程 2.1 参数方程的概念课件 北师大版选修44.ppt

2 1参数方程的概念 1 理解参数方程的概念 了解参数方程的几何意义和物理意义 2 能够根据问题的条件引进适当的参数 写出参数方程 3 理解参数方程与普通方程之间的联系和区别 1 参数方程的概念 相对于参数方程 我们把直接用坐标 x y 表示的曲线方程f x y 0叫作曲线的普通方程 名师点拨1 从数学的角度看 曲线上任一点m的坐标 x y 由t唯一确定 当t在允许值范围内连续变化时 x y的值也随之变化 于是就可以连续地描绘出点的轨迹 2 参数t作为间接地建立横 纵坐标x y之间的关系的中间变量 起到桥梁作用 3 参数在参数方程中可以是一个有明确的几何意义或物理意义的变数 也可以是没有明显实际意义的变数 同一曲线选取的参数不同 其参数方程的形式往往也不同 4 在表述参数方程时 必须指明参数的取值范围 分析 把a b两点的坐标分别代入方程验证即可 2 参数的取值范围在参数方程中 应明确参数t的取值范围 对于参数方程x f t y g t 来说 如果t的取值范围不同 它们表示的曲线可能是不相同的 如果不明确写出其取值范围 那么参数的取值范围就理解为x f t 和y g t 这两个函数的自然定义域的交集 参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中 其他的坐标系也可以采用参数方程 题型一 题型二 题型三 题型一参数方程的概念 分析 将坐标分别代入参数方程进行判断 题型一 题型二 题型三 解 1 对于点m 将其坐标代入方程组 解得t 2 则点m在曲线c上 对于点n 将其坐标代入方程组 解得t 1 则点n在曲线c上 对于点p 将其坐标代入方程组 可知方程组无解 则点p不在曲线c上 当t 3时 曲线c上的点的坐标为 17 2 反思由参数方程的概念可知 要判断点是否在曲线上 只要看点的坐标是否满足参数方程即可 若已知参数的值 只需将其代入参数方程 即可求得点的坐标 题型一 题型二 题型三 1 判断点m 3 1 点n 5 9 与曲线c的位置关系 2 试求当t 4时 曲线c上的点的坐标 解 1 把m 3 1 的坐标代入方程组 解得t 0 因此点m在曲线c上 把n 5 9 的坐标代入方程组 解得t 2 因此 点n也在曲线c上 题型一 题型二 题型三 题型二求曲线的参数方程 例2 如图所示 已知点p是圆x2 y2 16上的一个动点 点a是x轴上的一个定点 其坐标为 12 0 当点p在圆上运动时 求线段pa的中点m的轨迹的参数方程 分析 引入参数 写出点p的坐标 利用中点坐标公式得到点m的坐标 由点m的任意性得出点m的轨迹的参数方程 题型一 题型二 题型三 解 设点m的坐标为 x y aop 因为点p在圆x2 y2 16上 过点p分别作x轴 y轴的垂线可得点p的坐标为 4cos 4sin 又a 12 0 所以由中点坐标公式得点m的坐标为 2cos 6 2sin 题型一 题型二 题型三 变式训练2 在一次军事演习中 一轰炸机以150m s的速度作水平直线飞行 在离地面飞行高度为490m时向目标投弹 不计阻力 重力加速度g取9 8m s2 炸弹的初速度等于飞机的速度 1 求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程 2 试问飞机在离目标的水平距离多远处投弹才能命中目标 解 1 如图所示 建立平面直角坐标系 设a为投弹点 b为轰炸目标 已知炸弹运动的水平速度和垂直速度 则可以用时间t作为参数 建立参数方程 设m x y 为炸弹ts后的坐标 题型一 题型二 题型三 2 炸弹飞行到地面目标b处的时间t0满足方程490 4 9 0 解得t0 10 因此 x 150t0 1500 m 即飞机在离目标水平距离1500m处投弹才能命中目标 题型一 题型二 题型三 题型三参数方程的应用 反思利用参数方程求最值 可以把问题直接转化成三角函数问题 从而简化整个运算过程 题型一 题型二 题型三 变式训练3 若x y满足 x 1 2 y 2 2 4 求s 2x y的最值 解 由 x 1 2 y 2 2 4知 它表示以 1 2 为圆心 2为半径的圆 设x 1 2cos y 2 2sin 则s 2x y 2 4cos 2 2sin 1 2 3 4 5 a 2b 2c 2d 1解析 将x 2代入x 1 t2 得t 1 则y 2 即m 2 答案 c 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 4已知边长为a的等边三角形abc的两个端点a b分别在x轴 y轴的正半轴上移动 顶点c和原点o分别在直线ab的两侧 记 cax 则顶点c的轨迹的参数方程是 解析 如图所示 过点c作cd x轴于d 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5一架救援飞机以100m s的速度做水平直线飞行 在离灾区指定目标的水平距