高中数学常见题型解决方法归纳 反馈训练及详细解析 专题17 异面直线所成的角的求法.doc

第17讲：异面直线所成的角的求法【考纲要求】能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题。【基础知识】一、异面直线的定义的方向向量。 四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。五、温馨提示如果你解三角形得到的角的余弦是一个负值，如，你不能说两条异面直线所成的角为，你应该说两条异面直线所成的角为，因为两条异面直线所成的角的范围为。例1 在正四棱柱中，为的中点p（1）求直线ac与平面abp所成的角；（2）求异面直线ac与bp所成的角；（3）求点b到平面apc的距离解：（1）ab平面bc1，pc平面bc1，abpc 在矩形bcc1b1 中，bc=2，bb1=1，p为b1c1的中点，pcpb pc平面abp，cap为直线ac与平面abp所成的角 pc=，ac=，在rtapc中，cap=300直线ac与平面abp所成的角为300 （2）取a1d1中点q，连结aq、cq，在正四棱柱中，有aqbp，caq为异面直线ac与bp所成的角 【变式演练1】已知四边形abcd为直角梯形，adbc，abc=90,pa平面ac，且pa=ad=ab=1,bc=2(1)求pc的长；(2)求异面直线pc与bd所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角bpcd为直二面角. 例2 如图所示，af、de分别是o、o1的直径，ad与两圆所在的平面均垂直，ad=8.bc是o的直径，ab=ac=6，oead.（1）求二面角b-ad-f的大小；（2）求直线bd与ef所成的角的余弦值.解 （1）ad与两圆所在的平面均垂直，adab，adaf，故baf是二面角badf的平面角.依题意可知，四边形abfc是正方形，baf=45.即二面角badf的大小为45;（2）以o为原点，cb、af、oe所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则o（0，0，0），a（0，-3，0），b（3，0，0），d（0，-3，8），e（0，0，8），f（0，3，0），=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.cos,=设异面直线bd与ef所成角为，则cos=|cos|=.即直线bd与ef所成的角的余弦值为.【变式演练2】如图所示，已知点p在正方体abcdabcd对角线bd上,pda=60(1)求dp与cc所成角的大小;(2)求dp与平面aadd所成角的大小.【高考精选传真】1.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）a. b. c. d. 2.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱abc-a1b1c1中，底面边长和侧棱长都相等， baa1=caa1=60则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为_.3（2012高考真题上海理19）如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pc的中点.已知ab=2，ad=2，pa=2.求：（1）三角形pcd的面积；（6分）（2）异面直线bc与ae所成的角的大小.（6分）abcdpef ，q=. 由此可知，异面直线bc与ae所成的角的大小是 解法二取pb中点f，连接ef、af，则 efbc，从而aef（或其补角）是异面直线 bc与ae所成的角 8分 在中，由ef=、af=、ae=2 知是等腰直角三角形， 所以aef=. 因此异面直线bc与ae所成的角的大小是 【反馈训练】1四面体abcd中，e、f分别是ac、bd的中点，若cd=2ab，efab，则ef与cd所成的角等于（）a30 b45 c60 d902.abcda1b1c1d1为正方体,点p在线段a1c1上运动,异面直线bp与ad1所成的角为,则的范围为( )a.(0,) b.(0, c.(0,) d.(0,3.在正方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是( )a.b.c.d.4. 直三棱柱a1b1c1abc，bca=90，点d1、f1分别是a1b1、a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是（）a b c d5 已知四边形abcd为直角梯形，adbc，abc=90,pa平面ac，且pa=ad=ab=1,bc=2(1)求pc的长；(2)求异面直线pc与bd所成角的余弦值的大小；(3)求证 二面角bpcd为直二面角 7一副三角板拼成一个四边形abcd，如图，然后将它沿bc折成直二面角 (1)求证 平面abd平面acd；(2)求ad与bc所成的角；(3)求二面角abdc的大小【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】(1)解：因为pa平面ac，abbc,pbbc,即pbc=90,由勾股定理得pb=.pc=.(2)解：如图，过点c作cebd交ad的延长线于e，连结pe，则pc与bd所成的角为pce或它的补角.ce=bd=，且pe=由余弦定理得cospce=pc与bd所成角的余弦值为.(3）证明：设pb、pc中点分别为g、f，连结fg、ag、df，则gfbcad，且gf=bc=1=ad，从而四边形adfg为平行四边形，又ad平面pab，adag，即adfg为矩形，dffg.在pcd中，pd=，cd=，f为bc中点，dfpc从而df平面pbc，故平面pdc平面pbc，即二面角bpcd为直二面角.【变式演练2详细解析】解得m=,所以=.所以,=60,可得dp与平面aadd所成的角为30.【反馈训练详细解析】1.a【解析】：取ad中点g，连结eg、gf，则ge cd，ge=abcd=2ab ge=2gf，efab，efgfgef=30，答案：a2.d【解析】:取点p的极限位置,即线段a1c1的端点.答案:d3.d 【解析】：(特殊位置法）将p点取为a1，作oead于e，连结a1e，则a1e为oa1的射影，又ama1e，amoa1，即am与op成90角.答案：d4. a【解析】解法一：(几何法)如图，连结d1f1，则d1f1 bc d1f1 设点e为bc中点d1f1 be ef1ef1a或补角即为所求由余弦定理可求得cosef1a=解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设bc=1则a（1，0，0），f1（，0，1），b（0，1，0），d1（，1）即 =（，0，1）， =（， ，1）cos=5.【解析】 (1)解 因为pa平面ac，abbc,pbbc,即pbc=90,由勾股定理得pb= pc= pc与bd所成角的余弦值为 (3）证明 设pb、pc中点分别为g、f，连结fg、ag、df，则gfbcad，且gf=bc=1=ad，从而四边形adfg为平行四边形，又ad平面pab，adag，即adfg为矩形，dffg 在pcd中，pd=，cd=，f为bc中点，dfpc从而df平面pbc，故平面pdc平面pbc，即二面角bpcd为直二面角 另法（向量法） (略)6 【解析】解 (1)如图，在平面abc内，过a作ahbc，垂足为h，则ah平面dbc，adh即为直线ad与平面bcd所成的角 由题设知ahbahd，则dhbh，ah=dh，adh=45(2)bcdh，且dh为ad在平面bcd上的射影，bcad，故ad与bc所成的角为90 (3)过h作hrbd，垂足为r，连结ar，则由三垂线定理知，arbd，故arh为二面角abdc的平面角的补角 设bc=a,则由题设知，ah=dh=,在hdb中，hr=a，tanarh=2故二面角abdc大小为arctan2 另法（向量法） (略)7 【解析】 (1)证明 取bc中点e，连结ae，ab=ac，aebc平面abc平面bcd，ae平面bcd，bccd，由三垂线定理知abcd 又abac，ab平面bcd，ab平面abd 平面abd平面acd (2)解 在面bcd内，过d作dfbc，过e作efdf，交df于f，由三垂线定理知afdf，adf为ad与bc所成的角 设ab=m，则bc=m，ce=df=m,cd=ef=m即ad与bc所成的角为arctan故由平面abc平面acd，知df平面abc，即df是四面体abcd的面abc上的高，且df=adsin30=1，af=adcos30=.在rtabc中，因ac=2af=，ab=2bc，由勾股定理易知故四面体abcd的体积 （ii）解法一：如答（19）图1，设g，h分别为边cd，bd的中点，则fg/ad，gh/从而fgh是异面直线ad与bc所成的角或其补角. 设e为边ab的中点，则ef/bc，由abbc，知efab.又由（i）有df平面abc，故由三垂线定理知deab.所以def为二面角cabd的平面角，由题设知def=60设在从而解法二：如答（19）图2，过f作fmac，交ab于m，已知ad=cd