数值分析第2章习题.docx

键入文字第二章非线性方程（组）的数值解法考题键入文字一选择题(每题5分)1已知方程ex+10x-2=0在0,1中存在唯一实根，使用二分法求误差不大于1210-3的根需要二分（）次（考二分法二分次数）(A)9 (B)10 (C)12 (D)14解B b-a2k+11210-31-02k+11210-3，2k103,k=102试确定方程在下列哪个区间内无根（D）A B. C. D. 3 已知迭代公式 收敛于则迭代公式是（）（考收敛阶数）（A）线性收敛 （B）超线性收敛 (C)平方收敛 （D）三阶收敛解（C）迭代公式相应的迭代函数为所以，该迭代公式平方收敛4、牛顿迭代法的原理是（B）A线性函数近似线性函数 B线性函数近似非线性函数C非线性函数近似线性函数 D非线性函数近似非线性函数5、用斯蒂芬森迭代法求解方程时取，它可达到收敛阶数是（B）（根据斯蒂芬森迭代法定理六）A1 B.2 C.3 D. 4解：根据知存在，且(因为),则斯蒂芬森迭代法是2阶收敛的.二填空题（每题4分）1用牛顿法解方程xex-1=0在0.5附近的根牛顿迭代公式为（ ）解：xk+1=xk-xk-e-xk1+xk（fx=xex-1,f(x)=ex+xex牛顿迭代公式为xk+1=xk-fxf(x)）（考牛顿法）2用牛顿法求重根具有线性收敛速度，当用知道重根数的求重根的修正牛顿法1求重根时具有（）收敛速度，当用未知重根数求重根的修正牛顿法2求重根时具有（）收敛速度。(考收敛速度)解：（二阶）（二阶）（考收敛速度）设f(x)=(x-x*)m,整数m2,g(x*)0，则x*为方程f(x)=0的m重根，此时有f(x*)=f(x*)=f(m-1)x*=0,fm(x*)0.只要f(xk)0仍可用牛顿法计算，此时迭代函数x=x-f(x)f(x)的导数为(x*)=1-1m0,且x1所以牛顿法求重根只是线性收敛.而求重根的修正牛顿法一和二都具有二阶收敛速度。3、求方程x=f(x)实根的割线法迭代公式为（割线法）4、设f(x) = (x2 - a)3，当a为 -2a0,因此方程在（1,2）内有唯一根。，所以有根区间为（1.5,2）,所以有根区间为（1.5,1.75）,所以有根区间为（1.5,1.625），所以有根区间为（，1.625）取此时，它与精确解的距离3为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，建立相应的迭代公式，判断敛散性（考压缩性）（1） ，迭代公式（2） ，迭代公式（3） ，迭代公式解：（1）设，则，从而，所以迭代方法局部收敛。（2） 设则，所以迭代方法局部收敛。（3）设，则，所以迭代方法局部发散。4用迭代法求方程的根，保留3位有效数字，取初值。（考迭代法事后估计）答案：由求出根知m=-1,n=3,m-n=-4知迭代5次近似值为0.09055用牛顿下山法求解方程x3-x-1=0在x=1.5附近的一个根x*（牛顿下山法）解：（牛顿下山法克服了局部收敛的缺点）当x0=0.6时由迭代法求得x1=17.9，它不满足下降条件，通过逐次取半进行计算，当时，可求得此时x1=1.140625,此时fx1=-0.656643而fx0=-1.384,显然f(x1)f(x0)由x1计算x2,x3,时，均能使下降条件成立，计算结果如下：x2=1.36181,fx2=0.1866；x3=1.32628,fx3=0.00667；x4=1.32472,fx4=0.0000086。即为x*的近似.6用有重根时的牛顿迭代法求解方程x2+2xex+e2x=0取m=2 ,x0=0xk+1-xk10-5时结束迭代。（考已知重根的牛顿修正法1）解：令fx=x2+2xex+e2x=0fx=2x+2ex+2xex+2e2x代入公式xk+1=xk-mf(xk)f(x)中m=2，计算结果如下：x0=0.0,x1=0.05, x2=0.566311003，x3 =0.567143165，x4 =0.567