双轴柔性铰链柔度的设计计算.pdf

第 32 卷 第 9 期 2009 年 9月 合 肥 工 业 大 学 学 报 自 然 科 学 版 JOURNAL OF HEFEI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol 32 No 9 Sept 2009 收稿日期 2008 10 13 基金项目 国家科技部创新基金资助项目 07C26213401449 作者简介 朱仁胜 1976 男 安徽安庆人 合肥工业大学讲师 陈长琦 1947 男 安徽安庆人 合肥工业大学教授 硕士生导师 双轴柔性铰链柔度的设计计算 朱仁胜 沈 健 谢祖强 陈长琦 合肥工业大学 机械与汽车工程学院 安徽 合肥 230009 摘 要 文章利用能量法推导了双轴柔性铰链柔度的系列设计计算公式 在此基础上得到了常用的直圆双轴 柔性铰链柔度的设计计算公式 针对多个不同尺寸的双轴柔性铰链 采用推出的计算公式 J M Paros 公式 进行计算 2 种计算方法的结果吻合很好 由此说明了推出的计算公式的正确性和简洁性 关键词 双轴柔性铰链 直圆双轴柔性铰链 柔性铰链柔度 中图分类号 TH123 1 文献标识码 A 文章编号 1003 5060 2009 09 1370 04 Design calculation of double axis flexure hinges ZHU Ren sheng SHEN Jian XIE Zu qiang CHEN Chang qi School of Machinery and Automobile Engineering Hefei University of Technology Hefei 230009 China Abstract Based on the energy method this paper presents the compliance formulas for double axis flexure hinges and right circular double axis flexure hinges In view of several double axis flexure hin ges of different sizes both the derived compliance formulas and J M Paros formulas are adopted to calculate A comparison is made between the present equations and the widely used J M Paros equa tions T he results of two methods to calculate the compliance are in good agreement which indicates that the analytical equations are correct and concise Key words double axis flexure hinge right circular double axis flexure hinge rotational compliance of flexure hinges 柔性铰链具有体积小 无间隙 无机械摩擦 成本低廉及无需润滑等优点 广泛应用于精密工 程中 例如精密工作台 纳米定位技术 微加速度 器 微夹持机构及显微装置等 1 5 柔性铰链分为单轴柔性铰链和双轴柔性铰 链 单轴柔性铰链最常见的形式是直梁型柔性铰 链和圆弧型柔性铰链 为了得到不同的精度和运 动范围 提出了椭圆型柔性铰链 6 倒角型柔性铰 链 7 抛物线型柔性铰链和双曲线型柔性铰链 8 等 单轴柔性铰链的缺点是只能沿一个轴弹性弯 曲 而把颈部做成圆杆状的双轴柔性铰链 则能 沿任意轴转动且容易加工 1965 年 文献 9 推导出柔性铰链的设计计 算公式 避 免了繁杂费 时的数值 计算 但是 Paros 精确计算公式在形式上较为复杂 其简化 公式是在柔性铰链厚度远小于半径的条件下给出 的 在设计计算较厚的铰链时产生较大的误差 本文针对双轴圆形柔性铰链 利用能量法 通 过引入中间变量 10 得到较为简洁的柔性铰链柔 度系列设计计算公式 从而避免了费时繁杂的数 值计算 为工程设计计算提供方便 1 双轴柔性铰链的系列设计计算公式 双轴柔性铰链的几何尺寸及受力变形如图 1 所示 杆端部截面是直径为 D 的圆 铰链的最小 截面为直径为 d 的圆 切割半径为 R 圆心角为 m 假设柔性铰链的右端为相对固定端 左端受 到力和力矩 Fx Fy Mz Fz My的作用 左端的变 形 x y y z z 双轴柔性铰链绕y 轴的角变形和沿z 轴线形 变形计算方法 与铰链绕 z 轴的角变形和沿y 轴 线形变形计算方法相同 因此只推导铰链绕 z 轴 的角变形和沿 y 轴线形变形 由于柔性铰链的 变形集中在柔性铰链圆弧部分 所以忽略柔性铰 链圆弧以外的变形 设柔性铰链材料的弹性模量 为 E 剪切弹性模量为 G 泊松比为 把柔性铰 链看作变截面梁 如图 2 所示 显然 x 截面的内力分量可以表示为 F x Fx F y Fy M z Mz xFy 1 单元的应变能为 U 1 2 l 0 F x 2 EA x dx 1 2 l 0 M z 2 EI x dx 1 2 l 0 F y 2 GAs x dx 2 其中 As x 为 x 截面的有效剪切面积 x U Fx y U Fy z U Mz 3 在圆心角 x 截面 处取微元体 d 进行研 究 把从 0 到 l 上的积分转化到从 m到 m上的 积分 微元体的厚度为 dx d Rsin Rcos d 微元体的高度为 d1 d 2 R Rcos d 2R 1 cos 微元体截面面积为 A x 4 d21 微元体截面沿 z 方向的惯性矩为 I x 64d 4 1 x Rsin m Rsin l 2Rsin m 4 再根据下式 dx x 2 a2 n x 2 n 1 a2 x 2 a2 n 1 2n 3 2 n 1 a2 dx x 2 a2 n 1 5 可得双轴柔性铰链的系列设计计算公式 1 1 绕 z 轴的角变形 z 双轴柔性铰链产生沿 z 轴的角变形 z是柔 性铰链最重要的参数 力矩 Mz作用下导致柔性铰链产生绕 z 轴的 角变形 z 其柔度表达式为 z Mz y My 64 ER 3f 1 6 其中 f1为中间变量 其表达式为 f1 4s 4 20s3 16s 2 4s 1 tan m 2 1 4s 3 1 4s tan2 m 2 1 16s5 10s2 6s 1 tan m 2 1 4s 3 1 4s tan2 m 2 1 2 64s 6 2s 1 tan m 2 3 1 4s 3 1 4s tan 2 m 2 1 3 16s 5 5s2 4s 1 1 4s 7 2 arctan1 4stan m 2 7 其中 s R d 在力 Fy作用下 由于弯矩导致柔性铰链产 生绕 z 轴的角变形 z 其柔度表达式为 1371 第 9 期朱仁胜 等 双轴柔性铰链柔度的设计计算 z Fy y Fz 64sin m ER 2f1 8 1 2 沿 y 轴的线形变形 y 在力矩 Mz作用下 导致柔性铰链产生沿 y 轴的线形变形 y 其柔度表达式为 y Mz z My 64sin m ER 2f 1 9 在力 Fy作用下 导致柔性铰链产生沿 y 轴 的线形变形 y 其柔度表达式为 y Fy z Fz 64 1 sin2 m ER f1 64 ER f2 10 其中 f2为中间变量 其表达式为 f2 4 1 2s 10s 2 s 1 s 4 tan m 2 1 4s 3 1 4s tan 2 m 2 1 8 5s 2 1 2s 2s4tan m 2 3 1 4s 3 1 4s tan2 m 2 1 2 16 1 2s 3s4tan m 2 3 1 4s 3 1 4s tan2 m 2 1 3 4 20s2 12s 3 s5 1 4s 7 2 arctan1 4stan m 2 11 在力 Fy作用下 由于剪切力导致柔性铰链 产生沿 y 轴的线形变形 y 其柔度表达式为 y Fy z Fz 40 9 GRf 3 12 其中 f3为中间变量 其表达式为 f3 4s2 1 2s tan m 2 1 4s 1 4s tan2 m 2 1 8s 3 1 4s 3 2 arctan1 4stan m 2 13 1 3 沿 x 轴的线形变形 x 在力 Fx作用下 由于拉伸或压缩导致柔性 铰链产生沿 x 轴的线形变形 x 其柔度为 x Fx 4 ER f3 14 2 直圆双轴柔性铰链计算公式 通常情况下 使用最多的是直圆型柔性铰链 即 m 2 对于直圆型双轴柔性铰链 可以得 到更加简洁的计算公式 2 1 绕 z 轴的角变形 z 在力矩 Mz作用下 导致柔性铰链产生绕 z 轴的角变形 z 其柔度为 z Mz y My 64 ER 3f11 15 其中 f11为中间变量 其表达式为 f11 2s4 20s3 16s2 4s 1 1 4s 3 1 2s 4s5 10s2 6s 1 1 4s 3 1 2s 2 8s6 2s 1 3 1 4s 3 1 2s 3 16s 5 5s2 4s 1 1 4s 7 2 arctan 1 4s 16 在力 Fy作用下 由于弯矩导致柔性铰链产 生绕 z 轴的角变形 z 其柔度为 z Fy y Fz 64 ER 2f11 17 2 2 沿 y 轴的线形变形 y 在力矩 Mz作用下 导致柔性铰链产生沿 y 轴的线形变形 y 其柔度表达式为 y Mz z My 64 ER 2f11 18 在力 Fy作用下 导致柔性铰链产生沿 y 轴 的线形变形 y 其柔度为 y FY y FY 128 ER f11 64 ER f22 19 其中 f22为中间变量 其表达式为 f 22 4 15s2 4s 1 s4 3 1 4s 3 4 20s2 12s 3 s5 1 4s 7 2 arctan 1 4s 20 在力 Fy作用下 柔性铰链产生沿 y 轴的线 形变形 y 其柔度为 y Fy z Fz 40 9 GR f33 21 其中 f33为中间变量 其表达式为 f33 2s2 1 4s 8s3 1 4s 3 2 arctan 1 4s 22 2 3 沿 x 轴的线形变形 x 在力 Fx作用下 由于拉伸或压缩导致柔性 铰链产生沿 x 轴的线形变形 x 其柔度为 x Fx 4 ER f33 23 3 与 J M Paros 的设计计算公式比较 本文给出的双轴柔性铰链的设计计算公式是 精确推导的结果 表达式相对比较简洁 任取 3 1372 合肥工业大学学报 自然科学版 第 32 卷 组双轴柔性铰链的材料和几何参数 见表 1所列 分别运用本文给出的系列设计计算公式和 J M Paros 给出的设计计算公式进行比较 计算 结果见表 2 所列 其中 Paros 表示与本文计算公式相对应 J M Paros 给出的公式计算结果 err 表示2 种方法 计算结果的相对误差 计算结果表明 2 种方法 计算结果吻合较好 相对误差较小 表 1 双轴柔性铰链的物理性能及几何参数 E Pa d mmR mm m 12 0 10110 2880 81 090 2 1 1 1011 0 3301 01 275 3 6 8 1010 0 3500 11 050 表 2 双轴柔性铰链的计算结果 z Mz Paroserr z Fy Paros 12 1145 10 12 0825 10 1 1 5150 2 1145 10 42 0825 10 4 21 9760 10 11 9163 10 1 3 0205 2 3712 10 42 2960 10 4 39 4602 1028 9513 102 5 3792 9 4602 10 18 9513 10 1 err y Mz Paroserr x Fx 1 1 5150 2 1145 10 42 0825 10 4 1 51501 1324 10 8 2 3 0205 2 3712 10 42 2996 10 4 3 02051 5920 10 8 3 5 3792 9 4602 10 18 9513 10 1 5 37928 9228 10 7 Paroserr y Fy paroserr 11 2027 10 86 20763 2411 10 83 0981 10 8 4 4132 21 7472 10 89 74654 7054 10 84 6476 10 8 1 2282 3 9 1363 10 7 2 3930 2 6768 10 62 4668 10 6 7 8463 4 结束语 本文运用能量法推导出了双轴柔性铰链柔度 系列设计计算公式和常用的直圆双轴铰链系列设 计计算公式 与迄今沿用的 J M Paros 公式计算 结果进行比较 本文推导公式正确 简洁 便于双 轴柔性铰链的设计计算 参 考 文 献 1 Zhang Deyuan Chang C L Ono T et al A piezodriven XY microstage for multiprobe nanorecording J Sensors and Actuators A 2003 108 230 233 2 Sebastian A Salapaka S M Design methodologies for ro bust nano positioning J Control Systems T echnology 2005 13 6 868 876 3 Xiong Xingguo Zou Qiang Lu Deren et al Balance ap proach for load displacement measurement of microstruc tures J M echatronics 1998 8 549 559 4 Peichel D Marcus D Rizq R N et al Silicon fabricated submicrometer stepper motor for microsurgical procedures J MicroelectromechanicalSystems 2002 11 2 154 160 5 Zhang H Higuchi T Nishioki N Dual tunneling unit scanning tunn