全国各地中考数学试题分类解析汇编 面积问题.doc

(精编版)2012全国各地中考数学试题分类解析汇编面积问题1. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段ac（ac=4），以a为圆心a为半径作圆，再以c为圆心b为半径作圆（a4，b4，圆a与圆c交于b、d两点），连接ab、bc、cd、da若能作出满足要求的四边形abcd，则a、b应满足什么条件？（2）若a=2，b=3，求四边形abcd的面积【答案】解：（1）作图如下：能作出满足要求的四边形abcd，则a、b应满足的条件是a+b4。（2）连接bd，交ac于e，a与c交于b、d，acdb，be=de。设ce=x，则ae=4x，bc= b=3，ab= a=2，由勾股定理得：解得：。四边形abcd的面积是。答：四边形abcd的面积是。【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；（2）连接bd，根据相交两圆的性质得出dbac，be=de，设ce= x，则ae=4x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。2. （2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c（1）求点a、b的坐标；（2）设d为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当acd的面积等于acb的面积时，求点d的坐标；（3）若直线l过点e（4，0），m为直线l上的动点，当以a、b、m为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=4，x2=2。 点a在点b的左侧，a、b点的坐标为a（4，0）、b（2，0）。 （2）由得，对称轴为x=1。 在中，令x=0，得y=3。 oc=3，ab=6，。在rtaoc中，。设acd中ac边上的高为h，则有ach=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于ac，且到ac的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点d。设l1交y轴于e，过c作cfl1于f，则cf=h=，。设直线ac的解析式为y=kx+b，将a（4，0），b（0，3）坐标代入，得，解得。直线ac解析式为。直线l1可以看做直线ac向下平移ce长度单位（个长度单位）而形成的，直线l1的解析式为。则d1的纵坐标为。d1（4，）。同理，直线ac向上平移个长度单位得到l2，可求得d2（1，）。综上所述，d点坐标为：d1（4，），d2（1，）。（3）如图2，以ab为直径作f，圆心为f过e点作f的切线，这样的切线有2条连接fm，过m作mnx轴于点n。a（4，0），b（2，0），f（1，0），f半径fm=fb=3。又fe=5，则在rtmef中，-me=，sinmfe=，cosmfe=。在rtfmn中，mn=mnsinmfe=3，fn=mncosmfe=3。则on=。m点坐标为（，）。直线l过m（，），e（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）a、b点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出acd中ac边上的高，设为h在坐标平面内，作ac的平行线，平行线之间的距离等于h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的d点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线ac向上或向下平移而形成因此先求出直线ac的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得d点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以a、b、m为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义因为过a、b点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与a、b点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以ab为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与a、b点构成直角三角形从而问题得解。这样的切线有两条。3. （2012广东梅州11分）如图，矩形oabc中，a（6，0）、c（0，2）、d（0，3），射线l过点d且与x轴平行，点p、q分别是l和x轴正半轴上动点，满足pqo=60（1）点b的坐标是；cao= 度；当点q与点a重合时，点p的坐标为 ；（直接写出答案）（2）设oa的中心为n，pq与线段ac相交于点m，是否存在点p，使amn为等腰三角形？若存在，请直接写出点p的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点p的横坐标为x，opq与矩形oabc的重叠部分的面积为s，试求s与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。（2）存在。m=0或m=3或m=2。 （3）当0x3时，如图1，oi=x，iq=pitan60=3，oq=oi+iq=3+x；由题意可知直线lbcoa，可得，ef=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：当3x5时，如图2，当5x9时，如图3，当x9时，如图4，。综上所述，s与x的函数关系式为： 。【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）由四边形oabc是矩形，根据矩形的性质，即可求得点b的坐标：四边形oabc是矩形，ab=oc，oa=bc，a（6，0）、c（0，2），点b的坐标为：（6，2）。由正切函数，即可求得cao的度数：，cao=30。由三角函数的性质，即可求得点p的坐标；如图：当点q与点a重合时，过点p作peoa于e，pqo=60，d（0，3），pe=3。oe=oaae=63=3，点p的坐标为（3，3）。（2）分别从mn=an，am=an与am=mn去分析求解即可求得答案：情况：mn=an=3，则amn=man=30，mno=60。pqo=60，即mqo=60，点n与q重合。点p与d重合。此时m=0。情况，如图am=an，作mjx轴、pix轴。mj=mqsin60=aqsin600又，解得：m=3。情况am=nm，此时m的横坐标是4.5，过点p作pkoa于k，过点m作mgoa于g，mg=。kg=30.5=2.5，ag= an=1.5。ok=2。m=2。综上所述，点p的横坐标为m=0或m=3或m=2。（3）分别从当0x3时，当3x5时，当5x9时，当x9时去分析求解即可求得答案。4. （2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，连接bc、ac（1）求ab和oc的长；（2）点e从点a出发，沿x轴向点b运动（点e与点a、b不重合），过点e作直线l平行bc，交ac于点d设ae的长为m，ade的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接ce，求cde面积的最大值；此时，求出以点e为圆心，与bc相切的圆的面积（结果保留）【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=9，c（0，9）；令y=0，即，解得：x1=3，x2=6，a（3，0）、b（6，0）。ab=9，oc=9。（2）edbc，aedabc，即：。s=m2（0m9）。（3）saec=aeoc=m，saed=s=m2，sedc=saecsaed=m2+m=（m）2+。cde的最大面积为，此时，ae=m=，be=abae=。又，过e作efbc于f，则rtbefrtbco，得：，即：。以e点为圆心，与bc相切的圆的面积 se=ef2=。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定c点坐标；当y=0时，可确定a、b点的坐标，从而确定ab、oc的长。（2）直线lbc，可得出aedabc，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点e与点a、b不重合，可确定m的取值范围。 （3）首先用m列出aec的面积表达式，aec、aed的面积差即为cde的面积，由此可得关于scde关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到scde的最大面积以及此时m的值。过e做bc的垂线ef，这个垂线段的长即为与bc相切的e的半径，可根据相似三角形bef、bco得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。5. （2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=2xb (b0)的位置随b的不同取值而变化 (1)已知m的圆心坐标为(4，2)，半径为2 当b=时，直线：y=2xb (b0)经过圆心m： 当b=时，直线：y=2xb(b0)与om相切： (2)若把m换成矩形abcd，其三个顶点坐标分别为：a(2，0)、b（6，0）、c(6，2). 设直线扫过矩形abcd的面积为s，当b由小到大变化时，请求出s与b的函数关系式，【答案】解：（1）10；。（2）由a(2，0)、b（6，0）、c(6，2)，根据矩形的性质，得d（2，2）。如图，当直线经过a(2，0)时，b=4；当直线经过d（2，2）时，b=6；当直线经过b（6，0）时，b=12；当直线经过c(6，2)时，b=14。当0b4时，直线扫过矩形abcd的面积s为0。当4b6时，直线扫过矩形abcd的面积s为efa的面积（如图1），在 y=2xb中，令x=2，得y=4b，则e（2，4b），令y=0，即2xb=0，解得x=，则f（，0）。af=，ae=4b。s=。当6b12时，直线扫过矩形abcd的面积s为直角梯形dhga的面积（如图2），在 y=2xb中，令y=0，得x=，则g（，0），令y=2，即2xb=2，解得x=，则h（，2）。dh=，ag=。ad=2s=。当12b14时，直线扫过矩形abcd的面积s为五边形dmnba的面积=矩形abcd的面积cmn的面积（如图2）在 y=2xb中，令y=2，即2xb=2，解得x=，则m（，0），令x=6，得y=12b，则n（6，12b）。mc=，nc=14b。s=。当b14时，直线扫过矩形abcd的面积s为矩形abcd的面积，面积为民8。综上所述。s与b的函数关系式为：。【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。【分析】（1）直线y=2xb (b0)经过圆心m(4，2)， 2=24b，解得b=10。如图，作点m垂直于直线y=2xb于点p，过点p作phx轴，过点m作mhph，二者交于点h。设直线y=2xb与x，y轴分别交于点a，b。 则由oabhmp，得。 可设直线mp的解析式为。 由m(4，2)，得，解得。直线mp的解析式为。 联立y=2xb和，解得。 p（）。 由pm=2，勾股定理得，化简得。 解得。（2）求出直线经过点a、b、c、d四点时b的值，从而分0b4，4b6，6b12，12b14，b14五种情况分别讨论即可。6. （2012广东珠海9分）如图，在等腰梯形abcd中，abdc，ab=3，dc=，高ce=2，对角线ac、bd交于h，平行于线段bd的两条直线mn、rq同时从点a出发沿ac方向向点c匀速平移，分别交等腰梯形abcd的边于m、n和r、q，分别交对角线ac于f、g；当直线rq到达点c时，两直线同时停止移动记等腰梯形abcd被直线mn扫过的图形面积为s1、被直线rq扫过的图形面积为s2，若直线mn平移的速度为1单位/秒，直线rq平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒（1）填空：ahb= ；ac= ；（2）若s2=3s1，求x；（3）设s2=ms1，求m的变化范围【答案】解：（1）90；4。（2）直线移动有两种情况：0x及x2。当0x时，mnbd，amnarq。直线mn平移的速度为1单位/秒，直线rq平移的速度为2单位/秒，amn和arq的相似比为1：2。s2=4s1，与题设s2=3s1矛盾。当0x时，不存在x使s2=3s1。当x2时， abcd，abhcdh。ch：ah=cd：ab=dh：bh=1：3。ch=dh=ac=1，ahbh=41=3。cg=42x，acbd，sbcd=41=2rqbd，crqcdb。又，mnbd，amnadb。，s1=x2，s2=88（2x）2。s2=3s1，88（2x）2=3x2，解得：x1=（舍去），x2=2。x的值为2。（3）由（2）得：当0x时，m=4，当x2时，s2=ms1，。m是的二次函数，当x2时，即当时，m随的增大而增大，当x=时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。m的变化范围为：3m4。【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。【分析】（1）过点c作ckbd交ab的延长线于k，cdab，四边形dbkc是平行四边形。bk=cd=，ck=bd。ak=ab+bk=。四边形abcd是等腰梯形，bd=ac。ac=ck。ae=ek=ak=2=ce。ce是高，k=kce=ace=cae=45。ack=90。ahb=ack=90ac=akcos45=。（2）直线移动有两种情况：0x及x2；然后分别从这两种情况分析求解：当0x时，易得s2=4s13s1；当 x2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得bcd与crq的面积，继而可求得s2与s1的值，由s2=3s1，即可求得x的值；（3）由（2）可得当0x 时，m=4；当x2时，可得，化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求得m的变化范围。7. （2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（2）如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图，四边形abcd中，ab与cd不平行，abcd，且sabcsacd，过点a画出四边形abcd的面积等分线，并写出理由【答案】解：（1）6；无数。 （2）这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分即oo为这个图形的一条面积等分线。（3）四边形abcd的面积等分线如图所示：理由如下：过点b作beac交dc的延长线于点e，连接ae。beac，abc和aec的公共边ac上的高也相等， sabc=saec。sacdsabc，面积等分线必与cd相交，取de中点f，则直线af即为要求作的四边形abcd的面积等分线。【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）过点b作beac交dc的延长线于点e，连接ae根据abc和aec的公共边ac上的高也相等推知sabc=saec；由“割补法”可以求得。8. （2012贵州铜仁14分）如图，已知：直线交x轴于点a，交y轴于点b，抛物线y=ax2+bx+c经过a、b、c（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点d的坐标为（1，0），在直线上有一点p，使abo与adp相似，求出点p的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点e，使ade的面积等于四边形apce的面积？如果存在，请求出点e的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）由题意得，a（3，0），b（0，3），抛物线经过a、b、c三点，把a（3，0），b（0，3），c（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组 ，解得：。抛物线的解析式为。 （2）由题意可得：abo为等腰三角形，如图1所示，若aboap1d，连接dp1，则，dp1=ad=4。p1。若aboadp2 ，过点p2作p2 mx轴于m，连接dp2， abo为等腰三角形, adp2是等腰三角形。由三线合一可得：dm=am=2= p2m，即点m与点c重合。p2（1，2）。（3）不存在。理由如下： 如图2设点e ，则 当p1(1，4)时，s四边形ap1ce=s三角形acp1+s三角形ace 。 。点e在x轴下方 。代入得： ,即 =(4)247=120，此方程无解。当p1(1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点e，使ade的面积等于四边形apce的面积。当p2（1，2）时， 。点e在x轴下方，。代入得：，即 =(4)245=40，此方程无解。当p2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点e，使ade的面积等于四边形apce的面积。综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点e，使ade的面积等于四边形apce的面积。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）求出a（3，0），b（0，3），由a、b、c三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点p的坐标。（3）由（2）的两解分别作出判断。9. （2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形abcd中，e、f分别是bc和cd边上的两点，aebf于点g，且be=1（1）求证：abebcf；（2）求出abe和bcf重叠部分（即beg）的面积；（3）现将abe绕点a逆时针方向旋转到abe（如图2），使点e落在cd边上的点e处，问abe在旋转前后与bcf重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由【答案】（1）证明：四边形abcd是正方形，abe=bcf=90，ab=bc。abf+cbf=90。aebf，abf+bae=90。bae=cbf。在abe和bcf中，abe=bcf，ab=bc，bae=cbf，abebcf（asa）。 （2）解：正方形面积为3，ab=。在bge与abe中，gbe=bae，egb=eba=90，bgeabe。又be=1，ae2=ab2+be2=3+1=4。（3）解：没有变化。理由如下：ab=，be=1，。bae=30。ab=ad，abe=ade=90，ae= ae，rtabertabertade，dae=bae=bae=30。ab与ae在同一直线上，即bf与ab的交点是g。设bf与ae的交点为h，则bag=hag=30，而agb=agh=90，ag= ag，baghag。 abe在旋转前后与bcf重叠部分的面积没有变化。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。【分析】（1）由四边形abcd是正方形，可得abe=bcf=90，ab=bc，又由aebf，由同角的余角相等，即可证得bae=cbf，然后利用asa，即可判定：abebcf。（2）由正方形abcd的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在bge与abe中，gbe=bae，egb=eba=90，可证得bgeabe，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。（3）由正切函数，求得bae=30，易证得rtabertabertade，可得ab与ae在同一直线上，即bf与ab的交点是g，然后设bf与ae的交点为h，可证得baghag，从而证得结论。10. （2012湖南张家界12分）如图，抛物线与x轴交于ca两点，与y轴交于点b，点o关于直线ab的对称点为d，e为线段ab的中点（1）分别求出点a点b的坐标；（2）求直线ab的解析式；（3）若反比例函数的图象过点d，求k值；（4）两动点p、q同时从点a出发，分别沿abao方向向bo移动，点p每秒移动1个单位，点q每秒移动个单位，设poq的面积为s，移动时间为t，问：s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）令y=0，即，解得。 c（，0）、a（，0）。令x=0，得y=2。b（0，2）。a（，0）、b（0，2）。（2）令直线ab经过点b（0，2），设ab的解析式为y=k1x+2。又点a（，0）在直线上，0=k1+2，解得k1=。直线ab的解析式为y=x+2。（3）由a（，0）、b（0，2）得：oa=，ob=2，ab=4，bao=30，doa=60。od与o点关于ab对称，od=oa=。d点的横坐标为odcos600=，纵坐标为odsin600=3。d（，3）。过点d，即k=3。（4）存在。ap=t，aq=t，p到x轴的距离：apsin30=t，oq=oaaq=t，。依题意， ， 得0t4。当t=时，s有最大值为。【考点】二次函数综合题，动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，线段中垂线的性质，含300角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，点到直线的距离，二次函数的最值。【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即b点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即a、c的坐标）。（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线ab的解析式。（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到d点的坐标已知a、b的坐标，易判断出oab是含300角的直角三角形，结合o、d关于直线ab对称，可得出od的长，结合doa的值，应用三角函数即可得到d点的坐标。（4）首先用t列出aq、ap的表达式，从而可得到点p到x轴的距离，以oq为底、p到x轴的距离为高，可得到关于s、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到s的最大值及此时t的值。11. （2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=x与直线l2：y=x+6相交于点m，直线l2与x轴相较于点n.（1） 求m，n的坐标；（2） 在矩形abcd中，已知ab=1，bc=2，边ab在x轴上，矩形abcd沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形abcd与omn的重叠部分的面积为s.移动的时间为t（从点b与点o重合时开始计时，到点a与点n重合时计时结束）。直接写出s与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3） 在（2）的条件下，当t为何值时，s的值最大？并求出最大值.【答案】解：（1）解得。m的坐标为（4，2）。 在y=x+6中令y=0得x=6，n的坐标为（6，0）。 （2）s与自变量t之间的函数关系式为： （3）当0t1时，s的最大值为，此时t=1。 当1t4时，s的最大值为，此时t=4。 当4t5时，s的最大值为，此时t=。 当5t6时，s随t的增大而减小，最大值不超过。 当6t7时，s随t的增大而减小，最大值不超过。 综上所述，当t=时，s的值最大，最大值为。【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。【分析】（1）联立两直线方程即可求得m的坐标，在y=x+6中令y=0即可求得n的坐标。（2）先求各关键位置，自变量t的情况：起始位置时，t=0；当点a与点o重合时，如图1，t=1；当点c与点m重合时，如图2，t=4；当点d与点m重合时，如图3，t=5；当点b与点n重合时，如图4，t=6；结束位置时，点a与点n重合，t=7。当0t1时，矩形abcd与omn的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角形的底为t，高为，。当1t4时，矩形abcd与omn的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为，下底为，高为1。当4t5时，矩形abcd与omn的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为，下底为2，高为；第二个梯形的上底为t +6，下底为2，高为。当5t6时，矩形abcd与omn的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为6t ，下底为7t，高为1。当6t7时，矩形abcd与omn的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角形的底为7t，高为7t，。（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。1. 12. （2012四川内江12分）如图14，已知点a（1，0），b（4，0），点c在y轴的正半轴上，且acb=900，抛物线经过a、b、c三点，其顶点为m.(1) 求抛物线的解析式；(2) 试判断直线cm与以ab为直径的圆的位置关系，并加以证明；(3) 在抛物线上是否存在点n，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）rtacb中，ocab，ao=1，bo=4，acoabo 。，oc2=oaob=4。oc=2。点c（0，2）。抛物线经过a、b两点，设抛物线的解析式为：，将c点代入上式，得：，解得。抛物线的解析式：，即。（2）直线cm与以ab为直径的圆相切。理由如下：如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为d，连接cd。由于a、b关于抛物线的对称轴对称，则点d为rtabc斜边ab的中点，cd=ab。由（1）知：，则点m（），me=。而ce=od=，oc=2，me：ce=od：oc。又mec=cod=90，codcem。cme=cdo。cme+cdm=cdo+cdm=90。dcm=90。cd是d的半径，直线cm与以ab为直径的圆相切。（3）由b（4，0）、c（0，2）得：bc=，则：。过点b作bfbc，且使bf=h=，过f作直线lbc交x轴于g。rtbfg中，sinbgf=sincbo=，bg=bfsinbgf=。g（0，0）或（8，0）。易知直线bc：y= x+2，则可设直线l：y= x+b，将g点坐标代入，得：b=0或b=4，则：直线l：y= x或y=x+4；联立抛物线的解析式，得： ，或。解得或或。抛物线上存在点n，使得，这样的点有3个：。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。【分析】（1）rtacb中，ocab，利用相似三角形能求出oc的长，即可确定c点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。（2）证明cm垂直于过点c的半径即可。（3）先求出线段bc的长，根据bcn的面积，可求出bc边上的高，那么做直线l，且直线l与直线bc的长度正好等于bc边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的n点。13. （2012四川广元9分）如图，ab是o的直径，c是ab延长线上一点，cd与o相切于点e，adcd（1）求证：ae平分dac；（2）若ab=3，abe=60，求ad的长；求出图中阴影部分的面积。【答案】解：（1）证明：连接oe。cd是o的切线，oecd。adcd，adoe。dae=aeo。oa=oe，eao=aeo。dae=eao。ae平分dac。（2）ab是o的直径，aeb=90。abe=60，eao=30。dae=eao=30。ab=3，在rtabe中，在rtade中，dae=30，ae= ，。eao=aeo=30，。oa=ob，。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。【分析】（1）连接oe，由切线的性质可知，oecd，再根据adcd可知adoe，故dae=aeo，再由oa=oe可知eao=aeo，故dae=eao，故可得出结论。（2）根据abe=60求出eao的度数，进而得出dae的度数，再根据锐角三角函数的定义求出ae及be的长，在rtade中利用锐角三角函数的定义即可得出ad的长。由三角形内角和定理求出aoe的度数，再根据oa=ob可知求出aoe的面积，由即可得出结论。14. （2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为a（0，1），b（2，0），o（0，0），将此三角板绕原点o逆时针旋转90，得到abo（1）一抛物线经过点a、b、b，求该抛物线的解析式；（2）设点p是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点p，使四边形pbab的面积是abo面积4倍？若存在，请求出p的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形pbab是哪种形状的四边形？并写出四边形pbab的两条性质【答案】解：(1) abo是由abo绕原点o逆时针旋转900得到的，且a（0，1），b（2，0），o（0，0）。设抛物线的解析式为，抛物线经过点a、b、b，解之得。满足条件的抛物线的解析式为。（2）p为第一象限内抛物线上的一动点，设，则，p点坐标满足。连接pb，po，pb。假设四边形pbab的面积是abo面积的4倍，则，即，解之得，此时。p（1，2）。存在点p（1，2），使四边形pbab的面积是abo面积的4倍。（3）四边形pbab为等腰梯形。它的性质有： 等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等。答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。【分析】（1）利用旋转的性质得出a（1，0），b（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。（2）利用s四边形pbab=sboa+spbo+spob，再假设四边形pbab的面积是abo面积的4倍，得出一元二次方程，得出p点坐标即可。（3）利用p点坐标以及b点坐标即可得出四边形pbab为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可。15. （2012山东枣庄10分）如图，在平面直角坐标xoy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的a、b两点，与x轴交于c点，点b的坐标为（6，）线段oa=5，e为x轴上一点，且sinaoe=（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求aoc的面积【答案】解：（1）过点a作adx轴于d点，如图， sinaoe=，oa=5，sinaoe=。ad=4，do=。而点a在第二象限，点a的坐标为（3，4）。将a（3，4）代入，得m=12，所求的反比例函数的解析式为。将b（6，n）代入，得n =2。将a（3，4）和b（6，2）分别代入，得，解得。所求的一次函数的解析式为。（2）在中，令，即，解得。c点坐标为（0，3），即oc=3，。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）过点a作adx轴于d点，由sinaoe=，oa=5，根据正弦的定义可求出ad，再根据勾股定理得到do，即得到a点坐标（3，4），把a（3，4）代入，即可确定反比例函数的解析式；将b（6，n）代入，确定点b点坐标，然后把a点和b点坐标代入，即可确定一次函数函数的解析式。（2）先令，求出c点坐标，得到oc的长，然后根据三角形的面积公式计算aoc的面积即可。16. （2012浙江金华12分）在abc中，abc45，tanacb如图，把abc的一边bc放置在x轴上，有ob14，oc，ac与y轴交于点e (1)求ac所在直线的函数解析式；(2)过点o作ogac，垂足为g，求oeg的面积；(3)已知点f(10，0)，在abc的边上取两点p，q，是否存在以o，p，q为顶点的三角形与ofp全等，且这两个三角形在op的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：(1) 在rtoce中，oeoctanoce，点e(0，。设直线ac的函数解析式为ykx，有，解得：k。直线ac的函数解析式为y。(2) 在rtoge中，taneogtanoce，设eg3t，og5t，得t2。eg6，og10。/(4) 存在。当点q在ac上时，点q即为点g，如图1，作foq的角平分线交ce于点p1，由op1fop1q，则有p1fx轴，由于点p1在直线ac上，当x10时，y点p1(10，)。当点q在ab上时，如图2，有oqof，作foq的角平分线交ce于点p2，过点q作qhob于点h，设oha，则bhqh14a，在rtoqh中，a2(14a)2100，解得：a16，a28，q(6，8)或q(8，6)。连接qf交op2于点m当q(6，8)时，则点m(2，4)；当q(8，6)时，则点m(1，3)。设直线op2的解析式为ykx，则2k4，k2。y2x。解方程组，得。p2()；当q(8，6)时，则点m(1，3)同理可求p2()。综上所述，满足条件的p点坐标为(10，)或()或()。【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。【分析】(1)根据三角函数求e点坐标，运用待定系数法求解。(2)在rtoge中，运用三角函数和勾股定理求eg，og的长度，再计算面积。(3)分两种情况讨论求解：点q在ac上；点q在ab上求直线op与直线ac的交点坐标即可。17. （2012广西柳州12分）如图，在abc中，ab=2，ac=bc=（1）以ab所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出a、b、c三点的坐标；（2）求过a、b、c三点且以c为顶点的抛物线的解析式；（3）若d为抛物线上的一动点，当d点坐标为何值时，sabd=sabc；（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点ab，与y轴交于点c，当平移多少个单位时，点c同时在以ab为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）附：阅读材料一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解如解方程：y44y23=0解：令y2=x（x0），则原方程变为x24x3=0，解得x1=1，x2=3当x1=1时，即y2=1，y1=1，y2=-1当x2=3，即y2=3，y3= 3 ，y4=- 3 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解【答案】解：（1）ab的垂直平分线为y轴，oa=ob=ab=2=1。a的坐标是（1，0），b的坐标是（1，0）。在rtobc中，c的坐标为（0，2）。（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，根据题意得： ，解得： 。抛物线的解析式是：。（3）sabc=aboc=22=2，sabd=sabc，sabd=sabc=1。设d的纵坐标是m，则ab|m|=1，m=1。当m=1时，2x2+2=1，解得：x=。当m=1时，2x2+2=1，解得：x=。d的坐标是：（，1）或（，1）或（，1），或（，1）。（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，oa=1c，ob=1c。平移以后的抛物线的解析式是：。令x=0，解得y=2c2+2，即oc= 2c2+2。当点c同时在以ab为直径的圆上时有：oc2=oaob，则（2c22）2=（1c）（1c），即（4c23）（c21）=0。解得：c= ，（舍去），1，1（舍去）。故平移 或1个单位长度。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。【分析】（1）根据y轴是ab的垂直平分线，则可以求得oa，ob的长度，在直角oac中，利用勾股定理求得oc的长度，则a、b、c的坐标即可求解。（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。（3）首先求得abc的面积，根据sabd= sabc，以及三角形的面积公式，即可求得d的纵坐标，把d的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，可以写出平移以后的函数解析式，当点c同时在以ab为直径的圆上时由相似三角形的性质有：oc2=oaob，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。18. （2012广西桂林12分）如图，在abc中，bac90，abac6，d为bc的中点(1)若e、f分别是ab、ac上的点，且aecf，求证：aedcfd；(2)当点f、e分别从c、a两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿ca、ab运动，到点a、b时停止；设def的面积为y，f点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点f、e分别沿ca、ab的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式【答案】解：（1）证明：bac 90， abac6，d为bc中点，baddacbc45 。adbddc= 。aecf，aedcfd（sas）。（2）依题意有，fcaex，af=6xaedcfd，。 （3）依题意有：fcaex，afbex6，addb，abddac45，dafdbe135 。adfbde（sas）。【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。【分析】（1）由已知推出abc是等腰直角三角形后易用sas证得结果。 （2）由aedcfd，根据等积变换由可得结果。（3）由aedcfd，根据等积变换由可得结果。19