点集拓扑.doc

拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托搞出了集合论之后，以集合论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的发展。 人们对数学的不断深入，是沿着这样的线路发展的：数字-算术-欧氏几何-代数-函数-数学分析（微积分），至此其实都可以说是对数的研究，并在3百年内发挥到了很复杂的程度。而集合概念的提出和运用，则从本质上改变了数学的内涵，即跳出了“数”的框框，而进入以各种抽象事物为研究对象的领域。当然，“数”是属于这些抽象事物之一。 笛卡尔创立的解析几何，让数字和几何结合了在一起，可以用代数的方法来求解几何问题。现在用集合概念来看几何问题，那将大大扩展了几何学的内容，将点、直线、平面、空间、二次曲线/曲面都当作集合，可以说把传统的几何学、代数和分析学都统一在一个框架里了。 所以在现代的拓扑教材中，开头都是论述“集合论”。集合是一个十分抽象的概念，可以套用到各种具体的情况中。其实集合这个概念本来就是把世间几乎所有的事物的共性给抽象了出来，所以集合的所有规律，都适用于几乎所有的世间事物。人们从各种现实事物中抽象出“集和”概念，然后运用到其他新的事物中，就可以对新事物有了完善的理解。就如LostAbaddon所说过的：集合就像是OO编程（面向对象编程）中的基础类，甚至是抽象类，是所有派生类的根。所有派生类都具有基础类的一切特征。同样，集和就是所有那些具有共性的事物堆的“抽象类”，所有可以合在一起考虑的事物堆，都可以套用“集合”的一切规律。 当我们了解了集合这个抽象概念的规律后，再回过头用集合的观点来审视从前的数的观点，会很自然地发现集和概念中的规律，有很多是数的规律的推广。其实应该反过来说，人们在考虑集和的规律的时候，往往是把数，或者其他具体事物的相关规律进行推广而得到的。体现在拓扑学中，最抢眼的就是对传统几何学中“距离”概念的推广。 说到了集和，就不得不说另一个相关的概念：映射。映射概念也是一个具有目前看来最广泛的概念，是“函数”概念的最直接的推广。在函数概念中，我们说函数是一个法则，指定了与一个数字或者一组数字，所对应的另一个数字。注意，这里的研究对象都是“数字”，不管是自然数、实数还是复数。而映射则把研究对象从“数”扩展到了“一切事物”：映射也是一个法则，将一个或者一组事物，对应到另一个事物。这些事物可以是数字，也可以是人、班级、电脑、钞票或者是人际关系这样回头看看函数这个概念，就是映射概念中的一个特殊的情况：仅仅考虑数字关系的法则。 映射是一个法则，是一个桥梁，连接了两堆事物，正好比函数这个法则连接了两堆数字：自变量数字堆，和应变量数字堆。这两堆数字或者两堆事物正好可以用集和来描述，所以我们可以说，映射是联系两个集和的一套法则，描述了一个集和中的事物，是如何与另一个集和中的事物相关联的。比如有两个集和：集和1=所有联想电脑，集和2=某商场中所有商品的价格列表。那么我们可以建立一个映射，让每一个集和1中的事物（每一台联想电脑），都有一个集和2中的事物（商场中出现的一个价格）所对应。这个电脑-价格映射，往往是一个索引表格：左端是自变量（电脑型号），右端是应变量（价格），中间是一条连线（一般表格中不出现连线，不过可以想像有这么根线）。这就是一个很形象的映射的表现形式，而教材中出现的映射，都是这样子的：两个集和（两团土豆状区域），之间用若干根连线相连，就是一个很不规范的表格而已。 所以说，集和推广了“数”的概念，映射推广了“数与数之间关系”的概念，两者结合起来，就把数学推广到了很广泛的程度，远远超出“数”的框框。集和就像是OO编程（面向对象编程）中的基础类，甚至是抽象类，是所有派生类的根。所有派生类都具有基础类的一切特征。同样，集和就是所有那些具有共性的事物堆的“抽象类”，所有可以合在一起考虑的事物堆，都可以套用“集和”的一切规律。集和是一堆事物，一堆东西，可以是任何东西。但我们把乱七八糟的一系列东西放在一起，虽然也是一个集和，但这样的集和是难以找寻规律的。我们常常把一些具有共性的事物和东东放在一起形成一个特定的集和，是因为这样的话，我们就可以创建一个针对这个共性的映射，将这个特定集和与另一个特定集和相联系。而对乱七八糟的集和来说，创建这样的映射是一件痛苦的事情，而且也没啥用。比如我们可以把“杯子、厉风、洞庭湖、某股票价格、英语”放在一起形成一个乱七八糟的集和，然而这个集和我们几乎无法使用，仅仅表达了一堆东西的存在而已。而如果我们把“厉风、CloudK、碘化亚铜、zmt0516”放在一起形成一个集和，那这个集和的每一个事物都有一个共性：是“物理吧id”。于是可以针对这个“id”共性创建一个映射，比如映射到“id的年龄”这个集和。所以在数学中出现的集和，基本上都是具有共性的一堆事物。因为我们考虑数学都有很强的针对性，所以集和的共性是一个十分突出的要求。 关于集和的一些简单术语。 集和中的每一个事物，都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”。集和根据元素的个数，可以分为两大类：有限集和，和无限集和。前者拥有有限个数的元素，后者则有无限个元素。对于有限集和，可以用穷举法把每一个元素都列出来。而对于无限集和，无法用穷举法了，只能用描述元素共性的方式来表达了。 当一个事物是一个集和中的元素的话，我们就称该事物属于该集和。相反，我们说一个事物不属于某集和，就意味着这个事物不出现在该集和中，或者说该事物不符合该集和的共性。 一般的有用的集和都要含有一些元素，但也有不包含任何元素的集和，称作“空集”，地位相当于数字中的0。 集和与集和之间有一定的包含关系。如果集和A的所有元素，都是集和B的元素，那就称A是B的子集。也就是说，集和B的范围涵盖了集和A的范围。比如集和A是“所有小于1的整数”，集和B是“所有小于4的整数”，于是A是B的子集，因为A中每一个整数都是B中的元素。B比A还多出3个元素：1、2和3。 但是要注意，“子集”相当于数字中的小于等于号，比如一个集和也是它自身的子集，因为它符合子集的定义。这样一来，就可以定义两个集和相等了：如果集和A和B相互是对方的子集，那么A与B相等。就好象两个数x和y，如果x=y，同时yn0的时候，|f(n)-f(n0)|都小于。我们在函数的极限那里也看到了类似的定义，本质是一样的：一个收敛的东西，在收敛点附近，随着自变量（数列索引）不断靠近收敛点，函数值（数列值）总是一起逐渐靠近收敛点的函数值。在这里的“靠近”的意思含有“值与收敛值的差越来越趋近于0”的意思。 满足这种定义的数列和函数，具有收敛的效果。收敛意味着存在一个极限，也意味着数列和函数的值，不是处于“震荡”的状态，而是处于一种稳定的状态。比如数列1/1，1/2，1/3，.，1/n就是收敛的。 在这里能够明显地体会到“距离”的影响。那些“靠近”、“差值”字眼都是距离概念的具体表现。想像一下，如果抽掉距离概念，这些字眼将还留下什么意义：没有距离，何谓“靠近”？而“差值”这个字眼则直接是实数集中距离的定义，越来越靠近，就是差值越来越小。 拓扑就是抽掉了距离概念后，为了继续维持“连续”定义而引入的一个东西。 数的连续性是以“距离”概念为基础的。下面就要看看“距离”概念的本质含义是什么，如果找到了这些本质的东西，就能对这些东西进行合理的推广，而实现“没有距离概念也要有连续的定义”这个目标。学拓扑更重要的是要会举一反三，自己去想象一些符合要求的案例。集和的概念是抽象的，我们可以想象一些具体的东西来看看这些集和的结论是怎样用在具体事物上的，多想一些，就能多理解一些。id=“拉普拉斯”的强人曾经跟我说过，学拓扑，学微分几何，最忌画图。因为画出来的二维透视图，都限制了最接近真实的想象。距离概念在简单的一维实数集上定义为坐标差的绝对值，在二维平面上定义为坐标差的平方和的开根反正是一系列坐标差的函数。所以我们的这些距离概念中，基础的内容就是坐标差，所以我们来看看一维实数集中坐标差的含义。 能够用坐标差来表示距离概念，是通过我们在实数集上，把所有实数都按照大小顺序进行了排列来实现的。如果一根数轴上的数字并不是按照大小来排列好的话，那么坐标差就完全无法体现距离概念了。再深入下去想一下的话，我们会发现，对数字进行排列，其实是对数字进行编号，编号越大的数字，排在越靠近“大”的方向。于是，距离概念其实就是编号与编号之间的差异值了。这样一来，就算我们不按照大小顺序排列，我们对数字进行一个随意排列，只要对每一个数字都编好号，我们也可以对任意两个数字进行“距离计算”：距离=编号差的绝对值。 现在暂时把视角转换到集和上来，看看集和中的元素（不一定是数字了）之间是否也能以此来搞搞距离概念。 其实也一样，只要把所有元素都编个号，我们就可以定义任意两个元素之间的“距离”了。然而这个“距离”，与现实中的距离已经有了差异，或者说集和中的“距离”，比现实中的距离概念要更广泛。 然而我们在把上面这种编号法用到二维平面上，就会发现是行不通的了。二维平面是一个集和，其中每一个元素都是一个由两个数字构成的实数对。那么我们该如何对任何一个实数对进行编号呢？编号只能从一个方向进行，而二维平面是有两个坐标方向的。比如我们对(1,1)这个数对编号为5，那么我们对(1,2)该如何编号？对(2,1)又该如何编号？无法编号！这里的根本含义是：实数对无法定义大小。比如(2,1)和(1,2)哪一个更大，哪一个更小？这说不出来的。 同样，对集和中的元素来说，“大小”是无关紧要的概念，于是“距离”也是无关紧要的概念。比如对一个集和=A,B,C,D来说，这个集和只是罗列了四个元素，并没有说一定要按照A-B-C-D这个顺序排列，A,B,C,D与B,A,D,C是完全一样的集和。任何含有且仅含有这四个元素的集和，都是相等的。 于是，我们在实数集（数轴）中，把元素按照一定顺序排列的做法，就是一种十分特殊的情况了。只有那种其元素本身具有大小属性的集和，才能自然地排列、编号、定义距离。在一般的集和中，无法也无必要进行这些操作。 现在回到“连续性”的问题上来。集和中不需要定义距离概念，那么集和中可以有“连续”的概念吗？可以！为何要在集和中搞出“连续”概念呢？因为我们要把集和与几何结合起来。 数轴上的连续性，是使用距离来定义的，回顾一下那个-定义，就是用坐标差（距离）来定义的。而且后来所用到的“开区间”这个新的表现形式，本质上还是使用距离这个定义的。 “连续”这个概念，可以用“开区间”来定义。后面会推广“开区间”这个概念到“开集”，所以这里提前说，“连续”概念可以用“开集”来定义。这里我们先看看“开区间”的含义。 假设一个数字x小于b，大于a，也就是x位于开区间(a,b)中。如果x是小于等于b，大于等于a，那么说x位于闭区间a,b中。 现在给出实数集中“开集”的定义： 设实数集R中有一个子集P，如果在属于子集P中的每一个点x，都存在至少一个包含x点的开区间(a,b)是P的子集，那么P就是一个开集，并称P是点x的开领域。 这是啥意思呢？ 比如(1,2)这个开区间，我们要考察这个区间内的每一个点，是否都有一个包含该点的，并且含于(1,2)区间的区间。对于像1.2，1.4，1.75这样的点来说，我们总可以找到比这些数字稍微大以及小那么一点点，但不达到1以及2的实数作为区间，这些区间都满足“开集”的定义。 设点x属于(1,2)区间，那就是说1x2。那么(1,2)这个开区间本身就是一个含有点x的区间，同时(1,2)是(1,2)本身的子集。所以这是一个开集。推广之，任何开区间都是实数集上的开集。 那么对于闭区间呢？比如1,2这个区间是否开集呢？ 设x属于1,2，即1=x=2。我们考察边界上的一个点，比如考察x=1的那个点，看看是否符合开集定义。 在x=1处，我们要找一个含有点x的开区间(a,b)，那就意味着a1b。在这里我们起码可以找到一个数字y，满足ay1。可是这个y却不属于1,2这个区间。于是这个闭区间不是开集。推广之，所有闭区间都不是开集。 于是有结论了：在实数集中，所有开区间都是开集；所有闭区间都不是开集。 现在来看看实数集R本身，看看是否开集。 很显然，对于任意一个数字（点）x来说，任何包含该数字的开区间，都属于实数集，所以实数集本身是一个开集。 最后再看看空集这个邪恶的集和，是否开集呢？ 说空集是开集是十分牵强附会的，因为空集没有任何点，所以说“包含一个点的开区间”在空集中是毫无意义的事情。但数学家们发现，如果把空集规定为开集的话，那将会有很大的方便性。于是，我们只要记住：空集是开集即可。 开集，说到底就是那些没有确切边界的子集。任何有确定边界的集和都不是开集，因为我们可以在边界处找到那些不符合开集定义的点。比如在R3空间内，一个去掉表面的球体就是一个开集，而一个包含表面的球体就不是开集。另外，那些无边无际、边界位于无穷远处的集和也是开集，比如实数集R。开集是开区间的推广。在实数集中，开集和开区间是等同的概念。而在其他非数字元素的集和中，由于元素之间不存在大小的关系，所以开区间的概念是不存在的，但是却可以有开集的概念。 然而在一般的集和中，开集是需要确切地给出的，而不是天然就具有的。比如一个集和=A,B,C,D,E,F,G，元素是英文字母，没有大小的概念（虽然可以按照顺序排列，强行定义大小，但这种大小属性不是英文字母天然的属性，否则英文单词就有哪个字比哪个子更大这种无聊的说法了）。于是这种集和并不像实数集那样天生就具有开集。但我们可以在这个集和中指定哪些子集是开集，哪些不是。 现在暂时回来一下说说“连续性”的问题吧，时刻关注“连续”的问题是拓扑学的根本。 还是以平面解析几何为说明问题的例子。平面是一个R2集和，也是天然具有“开集”的集和，就是“开区间”。 我们说一条平面曲线是连续的，指的是这条曲线上的每一点的左极限都等于右极限。这是高等数学中的定义：从左边沿着曲线靠近一个曲线上的点，有一个极限的点位置；同样从右边沿着曲线靠近，也有一个点位置。如果左极限点与右极限点重合，那么曲线在这个点是连续的。连续意味着没有断裂这样的“突变”，有断裂的突变，那么左边的极限点就不与右边的极限点重合了。 现在用另一种方法来看看连续的问题。用“开区间”这个工具。 假设y=f(x)是一个单调递增的函数，于是f曲线是一条始终向右上方延伸的曲线。单调递增函数是一个单映射，也是一个满映射，于是是一个双射。 考察f曲线中的一个点。如果这个点是一个断裂点，那么f(x-)与f(x+)是不相等的。f(x-)是x点的左极限，f(x+)是右极限。（见下图-3） 那么在y轴上，断裂处对应着两个点，设下端为y=c。那么在y轴上存在若干个位置，这些位置在“断裂处两个端点所对应的y轴的开区间”内，比如y=b这个点。然而这些点（y=b点）所对应的x轴上的横位置，却都是c。于是，y轴上对应的一个开区间，对应着x轴上的一个半闭区间(a,c。然而对于整条都连续的曲线来说，y轴上的任意一个开区间，都对应着x轴上一个开区间或者若干个开区间的并集。 据此我们可以说：一条平面曲线是否连续，就是看像集中的任何开区间，其逆像集是否也是开区间或者开区间之并。如果我们规定“开区间之并”也是“开区间”的话，那么判断依据就简单地表示为：一条平面曲线是否连续，就是看像集中的任何开区间，其逆像集是否也是开区间。 于是，我们成功地找到了“连续”和“开区间”（也就是开集）之间的联系。在平面R2集中，我们用开区间来判断是否连续。那么在一般的集和中，我们也通过开集来判断是否连续。 从上图-2可以看出，任何非单调函数，一段y轴上的开区间，将会对应到x轴上两个开区间的并集。而另一种类型的函数曲线，比如是一个圆周，我们会看到一段y轴上的开区间，对应着两个x轴上的开区间的交集。而如果是一个类似于“”这样形状的曲线，一段y开区间，也对应着两个x开区间的交集。 所以，要考虑一般曲线的连续性，我们还要看开区间的并集和交集是否也是开区间。在实数集中，这是明显成立的：开区间之并还是开区间；开区间之交也是开区间。那么开集概念 开集之并： 设两个开集U和V，X是U和V的并集。取X中的一个点x，那么显然x属于U或者x属于V。若x属于U，而U是一个开集，那么对于x存在一个领域A，该领域是U的子集，也是U和V的并集的子集。同样，若x属于V，x也存在一个领域B，该领域是V的子集，也是U和V的并集的子集。所以U和V的并集是一个开集。 开集之交： 同样两个开集U和V，X是U和V的交集。在X中取一个点x，那么x既属于U，又属于V。x属于U，U是一个开集，所以可以找到一个包含x的领域A，A是U的子集；同时x也属于V，也可以找到一个包含x的领域B是V的子集。A、B这两个领域都包含x，那么这两个领域A和B的交集，设为领域C，也必然包含x，同时领域C是U和V的交集的子集。这个交领域C的存在，使得U和V的交集成为一个开集。 于是结论是：开集的并、交都是开集。但这里有一个很容易忽视的问题：如果开集的数量是无限个，那么无限个开集的并和交还是开集吗？ 答案是：无限个开集的并集还是开集，可无限个开集的交集不一定还是开集了。 可以这么理解：无限个开集的并集，并不会产生一个确切的边界，并集也不会缩小到一个点，所以无限个开集的并集还是开集。 可是无限个开集的交集可以产生一个只包含一个元素的集和，这个元素由于不含有其他元素，所以它没有领域，也就找不到一个领域使得该集和成为一个开集。所以无限个开集的交集并不一定就是开集。但有限个开集的交集肯定是个开集。 我们离开完善的连续性定义更近了一步：通过开集，以及开集的并、交还是开集的性质，我们可以定义集和间映射的连续性：当像集中的一个开集的逆像也是一个开集（包括若干开集的交，任意开集的并），那么这个映射就是连续的。 连续的映射如果是双射，那么映射所联系的两个集和也是连续的。 至此，我们成功地用不含有“距离”概念的开集概念，给出了集和的“连续”定义。 现在我们把上面所讨论的开集这个东西拿出来晒晒： 1、我们所讨论的集和的全体，必须是一个开集。 2、空集也是一个开集。 3、有限个开集的交集是一个开集。 4、任意个开集（有限或无限个）的并集是一个开集。 这，就是拓扑中关于集和中指定的所有开集所必须满足的条件。在一个集和中，我们可以指定很多个开集（有限个或者无限个），只要这些开集符合上面这4个条件，那么这些开集的全体，就是该集和的拓扑。一个集和可以指定很多种形式的开集全体（开集族），每一种形式的开集族，确定了这个集和的一种“连续性质”。所以我们把一个集和，以及对这个集和指定的一套符合上面4个条件的开集族（拓扑），称为一个拓扑空间。一个集和可以有很多个拓扑，形成很多个拓扑空间，所以一个拓扑空间必须含有两个因素：集和本身，以及一套具体的拓扑。此为止，只是说了为何要引入“拓扑”概念，以及是沿着怎样的思路来引入的。 这仅仅是一个开头，接下来就是关于拓扑空间的一系列性质：集和的连续性会有些什么样的规律？这里也要时刻明确一点：拓扑空间的很多性质，都可以从实数集的性质推广而得到。而作为推广，拓扑空间也有很多性质，是实数集这样的数的集和所不具有的。现在在说一些基本的概念。这些概念在我们熟悉的实数集中也存在，只不过基本上被当作“理所当然”的存在而忽视了。 一、聚点。 聚点的概念牵涉到闭集，而闭集则是开集的相对面。在实数集中，有闭区间的概念，大家都知道，闭区间是相对于开区间而言的。开区间是一段不包含两个端点的区间，而闭区间则是包含两个端点的区间。这两个端点就是区分开和闭的因素，聚点就是区间的端点的推广概念。一个集和的某个聚点x，指的是在这个集和中可以找到一系列不同的元素，构成一个收敛于x的元素列（对于数而言就是数列）。记住，这里的“收敛”可以不是通过“距离”来定义的，而是可以通过“开集”来定义。 聚点可以在一个集和的内部，也可以在一个集和的外部。在集和的内部，则总可以在这个集和中找到一系列位于该聚点“邻近”的元素构成一个收敛列。而在集和外部的聚点，则必定是充分靠近集和“最外边的那些元素”的点，否则如果不是充分靠近，那么在集和最边缘的点与该聚点之间存在其他的非集和内部的元素，那么就无法在集和内找到一个收敛于该“貌似聚点的点”的列了。由此看来，在集和外部的聚点，就是类似于开区间的两个端点了。或者说，开区间的两个端点，就是两个集和外的聚点。同样，集和外部的聚点，本质上就是位于开集“边缘外”的“端点”。 这里还要着重记住，那个收敛列，必须是一系列“不同的点”所构成的。比如对于1这个数集，数列1,1,1,.是一个收敛于1的数列，但这个数列全部由相同的点（“1”）构成，所以不满足定义。于是集和1中的那个唯一元素并不是这个集和的聚点。这个集和没有聚点。 由此可见，一个集和的所有聚点，并不一定都是该集和的元素。 现在再用开集的概念来重新描述聚点： 一个点x是集和H的聚点，其充要条件是：点x的任何开邻域，都含有属于集和H的不同于x本身的其他点。 这个描述其实很形象。集和H的一个聚点x，必须是充分靠近集和H的。怎么描述“充分靠近”呢？我们可以用距离概念来理解，但在这里，距离概念已经被挂掉了，所以我们用更广泛的“邻域”来代替“距离”，于是有了上面的描述。 x的邻域，其实就是指一个充分靠近x的集和，可以理解为x周围的一层无限薄的“薄膜”。如果这个薄膜集和含有集和H的点（不是x）的话，那么这个邻域集和与集和H是相交的。这就是“充分靠近”的含义。 有了聚点的概念，就可以定义“闭集”了。类似于区间，我们说，如果一个集和的所有聚点都属于该集和，那这个集和就是闭集。就好象我们说，如果一个区间边缘处的端点都在该区间的内部，那么该区间就是个闭区间一样。 但是我们一般用另一个定义来描述闭集：闭集是那些补集为开集的集和。这是个无赖的定义，但可以很好地操作。比如： 我们前面说过，空集是开集，于是空集的补集：全集，是一个闭集。这个结论很奇怪是不是？它说明：任何全集都是闭集。可是我们知道，实数集R这个全集就是个开集实数集R是一个开集，R的补集：空集就是个闭集。囧了吧，空集还是一个闭集呢。 开集和闭集并不是互斥的概念，一个集和，可以是一个开集，而不是一个闭集，也可以是一个闭集而不是一个开集，同样可以是一个开集，同时也是一个闭集，当然，也可以既不是一个开集，也不是一个闭集。这与区间的开闭性是不同的，区间是非开即闭的，集和的开闭性没有这个绝对的性质。一个集和X的所有聚点构成一个集和，称作集和X的“导集”（难以理解的名称）。 闭包概念。 设一个集和X的一个子集A，那么在X中起码有一个包含A的闭集，比如X自身就是。在X中的所有包含A的闭子集，构成一个X的闭子集族（闭集族），其中必然有一个规模最小的闭集，这个最小规模的闭集称作子集A在集和X中的闭包，或者叫做“触集”，意思是：正好包围着A的一个包包（闭集），或者是充分靠近A（与A接触）的一个闭集。 大家可能猜到了，一个子集A的闭包概念，与一个开集的“边缘”这个概念是有密切关系的。在这里设几个规范记号：集和X的导集记作X；集和A的闭包，记作A_（应该是A上面一横，念做“A拔”，这里无法打出，只要用“_”来代替头上的那一横了）。 于是我们可以给出这个定理： 设A是集和X的子集，A_是A的闭包，则： 1、对于含有A的任意的闭集F，都包含A_，即A_是那些含有A的闭集中最小的一个闭集；2、A_就是A和A的并集。 结论1是显然的，因为这是闭包的定义。 结论2是十分形象的：如果A是开集，那么A与A的所有聚点构成一个闭集B，找不到比这个闭集更小的包含开集A的闭集了；如果A是闭集，那么A本身就是一个包含A的闭集，没有比这个更小的包含A的闭集了。 据此，我们还有一个定理： 集和X的一个子集A是一个闭集，其充要条件是：A_=A。意思是：只有闭集才满足“闭包就是集和本身”这个特点，这是显而易见的。 那么对于集和X内的一个点x来说，只含有这个点的子集x，算不算一个闭集呢？有条件的，满足条件的才是一个闭集。这个条件是： 对于除去x这个点的整个集和（就是X-x），其内部的任意一个点y，都存在一个不含有x点的邻域。 那些“远离”x点的元素不用多考虑，只需要考虑充分靠近x的那些点，是否存在这样的邻域。如果所有充分靠近x的那些点，各自都有这样的邻域（不含有x的邻域），那么x就是个闭集。否则，只要有一个元素找不到这样的邻域，x就不是一个闭集。 对于这个条件可以这么理解：x的补集Y=X-x中，围绕着x点的那些点都有不含有x的领域的话，那么x就是Y的一个聚点，这个聚点不在Y中，于是Y是一个开集。开集的补集就是闭集，所以x是一个闭集。如果有一个Y中的点y，找不到一个邻域不含有x，意味着这个点y的所有邻域都含有x点（可以形象地理解为点y与点x“重合”），那么Y就不是一个开集。非开集的补集，就不是一个闭集。这里再重新说一下拓扑。 一个集和X的一个拓扑T，是一个X的子集族。T中的每一个元素（每一个X的子集）都是一个开集，并且满足： 1、集和X本身是一个开集。 2、空集是一个开集。 3、X中的每一个点，至少有一个含有x的开集。 4、任意多个开集的并集是开集。 5、有限多个开集的交集是开集。 前面有这些描述，只是少了第三个条件，这里补上。 这5个条件称作拓扑的5个公理。其实其中有两个不是能够独立存在的，这意味着这两个条件可以从剩余的三个条件推导出来，这两个条件就是1、2。 条件1：集和本身是一个开集，可以从条件4给出：所有开集的并集，就是集和本身。 条件2：空集是一个开集，可以从条件5给出：任意两个不相交的开集，其交集为空集，必须是一个开集。 只不过条件1、2很显眼，于是一般都单独地提出来，让大家时刻记住这两个特殊的情形。 拓扑空间概念： 一个集和X和满足上面5个公理的子集族T，构成了一个对（X,T），这个对就是一个拓扑空间。 在这里集和X是需要明确给定的，同时子集族（拓扑）T也是需要明确给定的。 所以说，拓扑空间有两个因素：一个集和，以及这个集和上的一个拓扑。任何两个拓扑空间如果是相同的，那就意味着首先必须是两个相同的集和，然后是两个拓扑也必须相同（相同的子集族）。 实数集R是一个拓扑空间：R是一个集和，由于实数天生具有大小概念，所以R中可以天生拥有“开区间”的概念。那些R中的所有开区间都是满足5个公理的子集，那些所有开区间组成的子集族就是R的一个拓扑。 在R上可以给出另外的拓扑，比如R中所有实数子集的全体，即2R集族，也满足那5个公理，于是这也是一套拓扑，R和2R组成的对：（R,2R）是另一个拓扑空间。对于任何集和X，2X拓扑称作X的离散拓扑，这是一个集和的最大的拓扑，任何X的其他拓扑都是2X子集族的元素。一般来说，离散拓扑是没啥好讨论的，与不考虑拓扑的集和X没啥区别。另一种所有集和都拥有的拓扑是平凡拓扑，这个拓扑只有两个子集：集和本身以及空集。这也是个无聊的拓扑。 对于有限集和来说，其拓扑也是有限的，即给定的开子集的个数是有限的。比如对于集和X=a,b,c来说，我们可以给出它的一个拓扑为：T=空集,a,a,b,a,c,a,b,c。 首先：拓扑T是我们指定的，而不是X天然具有的。如果我们不指定X的拓扑的话，那么X就不具有拓扑。 其次：T是X的一个子集族，T的每一个元素（一个集和）都是X的子集。但并不一定需要包含X的所有子集。 然后：T必须包含两个子集：空集和X本身（即a,b,c）。 然后：T中的每一个元素，即每一个子集，都被规定为一个开集，而不管这个子集中只有一个元素，比如a，就被指定为一个开集。 最后，看看T中每一个元素，是否满足5个公理。满足的话，T就是X的一个拓扑。在上面这个例子中，X=a,b,c这个集和没有“距离”和“连续”的概念。我们给出了一个拓扑T，也就给出了X的一套开集，于是我们可以用这套开集来描述X的“连续性”。记住，集和的连续性，可以用开集来定义。我们对这个集和给出不同的拓扑，也就意味着我们定义了这个集和不同的连续性质。这就是拓扑的意义：一个拥有连续特性的集和，可以有很多用处；一个没有连续概念的集和，用处就没那么多，尤其在几何上。 下面说说关于拓扑的基的概念。这里运用了线性代数中的相关的概念。先看看拓扑基的概念：在一个集和X的拓扑T中，有若干个子集元素（子集族）。在这些子集元素中，有一些最基础的子集构成一个子集族，使得拓扑T内的其他所有的子集族都可以用这套特殊的子集族通过并集的方式给出，于是这套最基础的子集族拥有特殊的地位，称作拓扑T的一组基。 类比于此，在这里给出线性空间中的“基”的概念： 线性空间中有一组最基础的矢量，使得空间中所有其他的矢量，都可以由这组基础矢量线性表出。这组最基础的矢量称作线性空间的一组基矢量。 可以想象，拓扑基的概念，完全是从线性空间基矢量的概念推广得到的。这里的推广的关键之处在于：把“线性表出”推广到了“集和并操作”。 线性空间中，基矢量是无法相互线性表出的，即基矢量是相互线性无关的；与此相类似，拓扑基是无法用其他子集族通过并集来得到的，拓扑基的交集是空集。 一组基矢量的个数代表着线性空间的维度，与此类似，拓扑基的子集个数，代表着该拓扑的一个规模。 在拓扑基与基矢量之间有一个很大的区别：基矢量不包含0矢量，而拓扑基却必须含有空集。有了拓扑基的概念，于是我们可以有这样的说法：拓扑的其他所有的子集，都是由拓扑基生成的。 举一个例子：实数集的开区间拓扑中，任何一个开集U，都可以由一个固定长度的开区间在不同位置的并集来得到。对于开集U中的任意一个点x，都可以找到一个开区间(a,b)，使得这个开区间位于U之内。在U的边界处，这样的开区间的长度是一个无限小，这没办法，也无所谓。于是我们得到了这个拓扑基的一个元素：一个长度无限小的开区间。于是开集U可以由无数个这样的开区间合并而成。 一个拓扑的基可以有好多个，与此相似，线性空间的基矢量可以有好多组。但一个拓扑本身就是一个拓扑基。 关于拓扑基，有如下定理： 设B1和B2是集和X的两套子集族。B1、B2生成X的同一个拓扑T的充要条件是： 1、给定B1的一个元素U（一个子集），对于U中的任意元素x，都存在属于B2的一个元素V（一个子集），使得元素x属于V，而且V含于U。 2、给定B2的一个元素V（一个子集），对于V中的任意元素y，都存在属于B1的一个元素U（一个子集），使得元素x属于U，而且U含于V。 这两个充要条件是对称的，我们考察条件1即可。 对于B1的U中的任意元素x，都有一个B2中的含于U的V存在，这意味着遍历x到整个U，包含x的所有V的并集比U规模小，也就是说，对于B1中的一个子集U，B2中都可以找到一个位于U内部的子集V。 那么条件2也就是说，对于B2中的一个子集V，在B1中都可以找到一个位于V内部的U。 这样一来，B1所并出来的那些个子集，B2也可以并出来；同样，B2能并出来的那些子集，B1也能并出来。于是B1和B2生成同一个拓扑。 再给出一个定理： 设集和X的一个子集族T，由B生成。那么T是X的拓扑的充要条件是： 1、对于任何X内的点x，在B内存在包含x的元素（子集）。 2、对于B的两个元素U和V，在它们的交集中的任意一个点（交集非空集）x，在B中都存在一个位于交集之内的，包含x的元素（子集）。 在这里，条件1保证了B内元素的并集“覆盖”了整个X，所以B生成的T也可以覆盖整个X。条件2保证了B内各个子集的交集都不是一个点集（只包