泛函分析中的定理.doc

第四章 习题课基本内容1 线性有界泛函 满足，线性 若，称f有界2 线性有界泛函的范数 共轭空间（Banach空间），基本定理：延括定理：是线性子空间，是线性有界泛函，则，使（）当时，； （）两个推论： （）（HahnBanach定理）设l.n.s，则， （）设l.n.s，是线性子空间，则，满足（），；（）；（）3 线性有界算子 ，l.n.s，线性子空间，满足 4 线性有界算子，算子范数5 基本定理引理：（开映射原理）：若，是Banach空间，且，则T为开映射 逆算子定理：设，都是Banach空间，满射，可逆的线性有界算子，则T的逆算子是有界算子 闭图像定理：设，都是Banach空间，是闭算子，其中是的闭子空间，则T是线性有界算子 共鸣定理：设是Banach空间，是l.n.s.是一族的线性有界算子，则有界，有界6 强收敛与弱收敛 l.n.s中的点列的强、弱收敛（）若，称强收敛于，记为；（）若，称（弱收敛） 有限维空间中，强弱收敛等价 弱收敛的判别（等价条件） （）有界；（）（稠密），使， 算子列的各种收敛性：（）一致收敛：；（）强收敛：；（）弱收敛：，特别泛函列：（）强收敛：（对应一致收敛）；（）弱收敛：（对应算子列强收敛）7 共轭算子设，是同一数域上的l.n.s.， ，如果对任何，都有 或 成立，就称是的共轭算子（也称伴随算子） 共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设，是的共轭算子，则是的线性有界算子，且有定理（共轭算子的性质）：（1）；（2）；（3）；（4）,则8 自共轭算子H是Hilbert空间，若，自共轭算子Th（自共轭算子的充要条件）：H是复的Hilbert空间，T为自共轭算子，为实数性质：（1）特征值为实数；（2）不同特征值的特征向量正交投影算子：.（，）举 例例1设是，则应某个内部非空的有界集为有界集。证：设（是的内部）有界，取（），令，有，因此 可以推出 因此有界。显然成立。 例2设，是的稠密子空间，完备，则唯一的，使得。 证：，取使。因故 是中的列；由于完备，必存在，记为，这与的选取无关（事实上，若，取，则为列，则），这样就定义了一个算子，显然是线性的，且。由 故 ，故。因 ，故， 因此 。若有某亦满足则，取，使，则，因此（唯一性得证）。例3设，则存在无界线性算子。证： ，可取线性独立的可数集可设取，定义算子：可以自然的扩张到（如。则可以表示，定义，则是一线性算子，因 故是无界算子。 例4设，。证明 ，求。 证： 显然。因此。另一方面，设是的标准正交基，则，故=， 故 ，故。 例5给定，令（，证明 求。 解：此题中，是固定的， 成了“自变量”， （可见是线性算子。由 得 ； 。取 ，得 ； 。例6 设是空间，是一个单射，存在，使得，证明在中不是闭的。 证： 用反证法。若在中闭，则作为的子空间是一个空间，于是是一个线性等距同构（是单射，），由逆算子定理知，这与以下事实相矛盾。 例7设是 设，证明 。证：定义算子均为空间），。若在中，在中，则必有=。于是由闭图像定理知，即得证。，故， 即 。例8设是空间，是，（） ，证明。证： ，由，则。（事实上，是有界的，使（与有关，而与无关），作映射，然后再对应用共鸣定理可得 。例9 设是一非零线性泛函，证明：（1）有界是闭子空间；（2）无界