No 2-4 IS-LM经济周期模型的Hopf分叉.doc

第八章 有时滞的IS-LM经济周期模型的Hopf分叉8.1 引言早在二十世纪三十年代，法国物理学家Le Corbeiller建议将非线性动力学的振动理论应用于分析经济周期69。Hopf分叉定理85作为工具用于分析极限环的存在性似乎是由Torre 86最先引入动态经济学的，他研究了一个标准的IS-LM模型其中是总产值，是投资，是储蓄，是货币需求，而是恒定的货币供给。和分别是商品和货币市场的调节系数。Hopf分叉定理的其它应用可以在诸如Benhabib和Nishimura87，Medio88, Krawiec和Szydlowski89的文章找到。在二维的情况下，将分叉定理应用于已知模型实际上并没有给出任何新的东西。Hopf分叉定理的实际领域是维数大于或等于3的动态系统，对于这类系统Poincare-Bendixson定理已不适用了。Gabisch和Lorenz在70, pp168 中考虑一个扩充的经济周期模型 (8-1)其中是资本存量，是资本存量的折旧率。这个模型似乎是凯恩斯传统理论中最简单的完整经济周期模型之一。Boldrin在90中曾研究过类似的模型。在Kalecki经济周期模型72中，Kalecki假设利润的储蓄部分用于投资，而资本的增长是由于过去的投资决定。这样，在投资决定与机器设备安装期间就有一个时间滞后。本章中，Kalecki的思想被引入IS-LM模型(8-1)形成如下广义的IS-LM经济周期模型 (8-2)其中是时滞参数。投资依赖于做出投资决定时的收入和投资完成时的资本存量。后者是如下事实的结果：在时刻仍有一些投资要在和 之间完成。我们假设当计划新的投资时，要考虑到在这段时间产生的资本存量。在本章中，Hopf分叉定理将用于预测对时滞参数的分叉极限环的出现。我们注意到，出现极限环的关键因素是Kalecki的时滞参数，而不是通常假设的S形投资函数。最后，一个有时滞的线性系统的例子证实本章有关的理论结果。 8.2 线性IS-LM模型假设投资函数，储蓄函数和货币需求函数关于其变量是线性的，即其中都是正常数。现在方程组(8-2)变为 (8-3)方程(8-3)的特征方程为即 (8-4)其中一般而言，超越方程(8-4) 有无穷多个根且不易求得分析解。事实上，除了直接的数值积分外我们还有两种方法可以处理这类问题。第一种方法是线性稳定分析，特别适合于小时滞的情况。第二种方法是Hopf分叉定理。在下面的小节中，我们将分别使用这两种方法。先给出两个引理。引理8.1 （Hopf分叉定理91）假设动力系统 有一个平衡点且满足(1) 系统的Jacobi矩阵有一个纯虚数的特征根，并且没有其它实部为零的特征根。这意味着有一条满足的光滑曲线。Jacobi矩阵的共轭复特征根（在为纯虚数）随着光滑地变化。如果另外还有(2)则存在从处分叉的周期解，其周期近似为，其中。引理8.2 （Routh-Huwitz准则92）假设矩阵的特征多项式那么矩阵的特征值全部都具有负实部的充要条件是如下个行列式都大于零其中称为Huwitz行列式，它们定义为且规定。8.3 线性稳定分析对于小时滞，, 特征方程(8-4)变为 (8-5)根据引理8.1和引理8.2，在处出现分叉的条件是70, pp166, , (8-6)且 (8-7)令它在处的值为其中, 。特征方程(8-5)在处的特征根为其中是虚数单位。求的隐导数得令及其偏导数在取值可得 (8-8)其中, 。(8-8)式的实部是且等价于 (8-9)注意到和是正的，如果下面的条件满足且则不等式(8-9)成立。因此不等式(8-6)是特征根的实部有正斜率的充分条件。根据Hopf分叉定理，系统在处分叉为极限环。8.4 Hopf分叉分析令并将(8-4)式分为实部和虚部为了找到首次分叉点，我们令，则上述两方程退化为 (8-10) (8-11)方程(8-10)和(8-11)容易求得其数值解。如果首次分叉点为，则其它的分叉点满足将(8-10)和(8-11)式分别平方后相加可得 (8-12)这是关于的三次方程。当较大时，上式的左边为正。当且时，上式左边为负。因此，如果上述条件满足，则方程(8-12)至少有一个正实根。此外，我们还有下面的引理93。引理8.3 定义并假设，那么三次方程关于 至少有一正单根的充要条件是（1）满足 (a) 且或者(b) 且（2）记则 (8-13)(8-13)式在和处取值可得其中令，则方程(8-12)变为且 如果是方程(8-12)的首个正单根（如果它是一个二重根，取下一个根作为），则因此 根据Hopf分叉定理，我们得到本章的主要结果。定理8.1 假设引理8.3的条件满足且是方程的首个正单根（如果它是一个二重根，取下一个根作为），则当经过时出现Hopf分叉。类似的分叉现象也出现于多党政治系统的模型93。8.5 例子当, , , , 时，系统(8-3)变为 特征方程(8-4)变为容易验证定理8.1的条件满足，因此当时滞参数经过分叉点时出现了极限环分叉。此时相应的特征根为, 。此外，此闭轨线的近似周期为即该系统的经济周期约为8.98496。8.6 结论 当我们考虑投资决定和支出之间的差别时，我们遇到了投资中的时滞问题。根据这点我们建立了时滞的广义IS-LM经济周期模型。Hopf分叉定理用于