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浅析中学数学中柯西不等式的应用刘小菲引言：柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。它在20届的IMO，26届的IMO以及1987年CMO集训队试题等数学竞赛题中都有直接或者间接利用到。作为一个基础不等式，它在高等数学中也起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，并且对证明其它不等式都有很大的作用。本文先从三个不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并结合近年来中学数学，包括中学数学竞赛中的实例，采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解几何问题等方面的应用，并且描述了柯西不等式的几何意义，以及柯西不等式的推广形式。 1. 柯西不等式的证明柯西不等式的内容是：定理：设（i=1,2n），则 （1-1）当且仅当时，不等式等号成立。对于这个定理有如下证法。证1：作关于的二次函数若，即，显然不等式成立。若，则有且，所以故 从上面的证明过程看出，当且仅当时，不等式取等号。证2：考虑关于的二次多项式 （1-2）即 （1-3）根据（1-2），（1-3）对于一切实数是非负的，由此推出（1-1）由（1-2）看出，当且仅当时，（1-1）取等号成立。证3：对于，有 ，其中 将上述不等式从到相加，得 选取使得 则有 因为，由此推出2. 柯西不等式在中学数学中的应用对于柯西不等式，它在证明不等式以及求极值等方面都有很多的应用，给我们开拓了思路。2.1 柯西不等式在证明不等式中的应用例1 已知都是正数，求证：证1：，当且仅当时等号成立。证2：构造两个数组：；利用柯西不等式有即 例2 设，且，证明：证明：由柯西不等式，有 例3 设为各不相同的正整数，求证：对任何正整数，有证明：不妨设，则，故，即例4 已知，求证：证明：由题意，可得令即例5 证明： 证明：若上述不等式中，两边开平方，得 这就是著名的不等式：个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。例6 求证：对于任意实数和，下面不等式恒成立证明：由柯西不等式
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