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浅析二元一次方程组中消元法的应用王全二元一次方程组在中学数学教学中居有及其重要的地位，求解二元一次方程组的思想主要是“消元法”。本文探讨了初中数学求解二元一次方程组最常用的代入消元法和加减消元法。消元法思想常能促成由“未知”化为“已知”，由“复杂”化为“简单”，对培养学生的观察能力，让学生体会化归思想具有十分重要的意义。二元一次方程组中的数学思想，主要是指数学的“消元”思想，即：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的方法，叫做消元。具体转化方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”， 把新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决。1 常用的消元法1.1 利用代入法快速求值代入法新人教版7年级下册96页有这样的描述：在二元一次方程组的一个方程中，把一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。用代入消元法解二元一次方程组的步骤：第一步:从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；第二步:把第一步中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；第三步:解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；第四步:把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。注意：第一，运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“00”的形式，求不出未知数的值。第二，当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或1时，用代入法较简便。借此消元法思想，我们可以快速地解决许多求定值的问题。例1 若且，则的值等于 。解： 由得：，把代入得点评此题巧妙借助代入法解决求定值问题。例2 已知将式子先化简再求值。解：点评利用“整体思想”将所给条件变形为，然后整体代入化简后的式子中，可收到“事半功倍”的效果。若先解方程，得，再分别代入中求值，则没有抓住题目特征进行简便运算。1.2 利用加减法快速求值加减法新人教版7年级下册100页有这样的描述：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法4。用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.注意：(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便；(2)如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好1。合理利用此思想，在求值题中同样可以收到事半功倍的效果。例3 若，且，则 。解： 由题意得：由 (1)+(2)得：,即：由 (2)-(1)得：所以点评 若直接把和组成方程组，求出方程组的解，再把解代入求值。这样运算量不仅大，而且容易出错。如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得和的值，于是此题迎刃而解。例4 已知，则 。解：方程组中由(2)-(1)得：,即 (3)把 (3) 代入 (2) 中得： 所以有 点评： 此方程组中含有三个未知数，要解决该问题，就需要大胆创新，我们初一学生只学习了解二元一次方程组，根据化“未知”为“已知”的“消元”思想，就创造性地把它看作是关于的二元一次方程组，从而找到解决问题的突破口.2 小结解二元一次方程组的过程体现了“转化与化归”的数学思想方法，在求解过程中围绕“消元”而进行，其求解思路为：（1）化陌生为熟悉。初学二元一次方程（组）时，我们对它当然感到陌生，不知如何入手求它的解。但对已学过的一元一次方程，我们则很熟悉，完全掌握了它的解。按“化归”思想考虑问题，我们自然期望能把二元一次方程组化为一元一次方程来解简称“化二元为一元”，这就是解二元一次方程组的基本思路消元，它是“化归”思想的产物，是“化归”思想在二元一次方程组这一章中的一种突出的运用。要消元必须产生消元的方法，则围绕如何消元，又产生了代入消元法和加减消元法。研究具备什么特征的方程组用代入消元法，又具备什么特征的方程组，用加减消元法来解，从而使问题解决更加科学化，更具一般性。一般地说，把陌生问题化为熟悉的问题来处理，就是帮助我们学会怎样把未知逐步化为“已知”，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想，数学学科的任务之一，我们要深入领会并把它自觉地运用到数学学习中去。（2）化复杂为简单 解二元一次方程组的关键是消元，然而形式复杂的二元一次方程组，往往是难以直接消元或不便于直接消元的，因此，解形式复杂的方程组时，一般要把它先化为形式简单的方程组，然后，再消元求解，这是“化归”思想是本章的又一种突出的运用。代入法和加减法的共同点是，它们都是通过消元解方程组，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个未知数；它们的不同点是，消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对一个方程组用哪个消元方法解都可以，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法。为使学生认识这些，可以引导他们用不同方法解同一方程组，然后对不同方法加以比较，逐步积累经验，提高选择能力。二元一次方程组的应用范围很广，然而它的解法一般比较复杂，容