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轻松备课网 助您轻松备课福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组第一讲 函数的性质一、 基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。（3） 若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。（4） 互对称知识：函数的图像关于直线对称。2函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数的图像和单调区间。3函数的周期性 对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1） 若是的周期，那么也是它的周期。（2） 若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。（3） 若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。（4） 若函数满足，则是周期为的函数。4高斯函数对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质：（1） 对任意 （2） 对任意，函数的值域为（3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意（4） 若，后一个式子表明是周期为1的函数。（5） 若 （6） 若二、综合应用例1：设是R上的奇函数，求的值。例2：设都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值为5，求上的最小值。例3：已知_例4：设均为实数，试求当变化时，函数的最小值。例5：解方程：（1） （2）例6：已知定义在R上的函数满足，当，；（1） 求证：为奇函数； （2）求在上的最值；（3）当不等式恒成立，求实数的取值范围。例7：证明：对于一切大于1的自然数，恒有例8：设是定义在Z上的一个实值函数，满足，求证：是周期为4的周期函数。 例9：给定实数，定义为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）例10：求方程的实根个数。三、 强化训练：1. 已知（a、b为实数），且，求的值。2. 若方程有唯一解，求a的所有取值。3. 已知函数定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有。若，求的值。4. 函数定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式设的一个根是，记中的根的个数是N，求N的最小值。5. 若函数的图像关于直线对称，且关于点对称，求证是周期函数。6. 求数列的最小项，其中7. 已知的解集为，解不等式8. 设是定义在上的增函数，对任意，满足。（1）求证：当（2）若，解不等式9. 已知，求满足的的值。10. 求和：参考答案：例1：周期为4，例2：记，则为奇函数。在上的最小值为-1.例3：在上为增函数，例4：，换元后研究函数的单调性当时；当时例5：（1）构造，利用单调性得：（2） 构造递增函数，利用解得：例6：（2） （3）例7：构造，证明是递增数列，故例8：令得例9：例10： （1）当时，代入原方程解得 （2）当时（矛盾） （3）当