量子力学讲义III.中心势场中的粒子.doc

III.中心势场中的粒子1.经典力学中，角动量 。量子力学中，轨道角动量算符 是否仍有 呢？ 解：算符 与 的矢量积中，不出现有不对易因子 ， 的项。例如， ，而 ， 由于 ， ，故 其他两个分量 和 也有类似的结果。 因而，在量子力学中仍有 。 2. 质量为 的粒子在中心力场 （1） 中运动，证明存在束缚态的条件为 ，再进一步证明在 附近存在无限条束缚态能级。 证明： 当势能取式（ 1）时，根据维里定理，在任何束缚态中，有下列平均值关系， ， （2） 所以 （3） 由于 ，而束缚态 ，所以存在束缚态的条件为 （4） 在这个条件下，式（ 3）还可以写成 （5） 如能构造一个波包，其径向分布几率集中在 附近的 范围内，而且 ，则 （6） 只要 足够大， 就可以小于任意指定正数，这样就得到无限多条密集在 附近的能级。 另外，波包的构成必须受测不准关系的制约， （7） 由于束缚定态 ，所以 （8） （9） 由于 必须小于 ，如 ，则对于足够大的 ，上式将给出 ，不能成为束缚态；反之，如 ，对于足够大的 ，式（9）中的第二项起主要作用，将给出 ，而且当 ， ，各能级密集在 附近 3. 粒子在中心势场 中运动，处于能量本征态 （1） 如果 已经归一化，则势能平均值等于 （2） 试证明：如 为单调上升函数，即 ，则对于任意给定的距离 ，均有 （3） 证明：由于 是单调上升的，显然对于粒子的任何状态，总可以找到某个 ，使得 （4） 而且，当 时， ；当 时， 。因此，如 ，式（3）显然成立。如 ，则 但因 （5） 所以仍得 4. 对于氢原子的基态，求 ， ，验证测不准关系。 解： 氢原子基态波函数为 (1) 宇称为偶。由于 均为奇宇称算符，所有 （2） 由于 各向同性，呈球对称分布，显然有 （3） 容易算出 （4） （5） 因此 （6） （7） （8） 测不准关系的普遍结论是 （9） 显然式 (8)和(9)是一致的，而且 很接近式（9）规定的下限 。 5. 以 表示轨道角动量。证明：在 的任何一个本征态下， 和 的平均值为 0。 证明：设 为 的本征态，属于本征值 ，则 (1) 利用基本对易式 （2） 在 态下求平均值，即得 （3） 类似的，将对易式 在 态下求平均值，可证 。 注意，在证明中只利用了角动量的基本对易式，并没有得到算符和波函数的具体构造式。因此，所得结论适用于任何一种角动量，即：在角动量 的任何一个直角坐标分量 的本征态下， 的另外两个分量 的平均值均为 0。 6. 两个角动量耦合。当 和 给定时，相互独立的 状态数为 个。 (1) 以上结论是怎样得出的？ (2) 以 为例，列出合成角动量量子数 j及 m的可能取值及相应状态数，验证之。 解：（ 1）当 给定时， 可能有 个取值。当 给定时， 可能有 个取值。因而 共有 个，它们组成正交归一的完全系，时非耦合表象的基矢。 可由它们线性叠加为 因而，当 和 给定时，相互独立的 的数目也是 个。 （2） 时，a 可取值为 时， 可取值为 。 可取值为：。由 ，