专题四 第3讲 空间角(文科独具).doc

一、选择题1(2011奉化模拟)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：连接AC、BD交于O，则EOSD，AEO为异面直线SD与AE所成角设ABa，则EO，AOa，AEa，cosAEO.答案：C2(2011辽宁高考)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是ASO，SC与平面SBD所成的角就是CSO，易知这两个角相等选项D错误，AB与SC所成的角等于SCD，而DC与SA所成的角是SAB，这两个角不相等答案：D3(2011东北三校联考)已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：画出三棱锥SABC(如图)，作SO底面ABC，连接AO、SO，易知侧棱与底面所成的角即为SAO，由题意易得三棱锥SABC为正三棱锥，所以AO，因为SA2，所以cosSAO.答案：D4(2011宁波模拟)已知正四面体ABCD，设异面直线AB与CD所成的角为，侧棱AB与底面BCD所成的角为，侧面ABC与底面BCD所成的角为，则()A BC D解析：如图，取底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知ABO，取BC的中点E，连接AE、OE，易知AEO，易知0，延长BO交CD于F，则BFCD，又AOCD，CD平面ABF，CDAB，即，.答案：B二、填空题5(2011全国卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_解析：取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EFB1C1BC，AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，则有EF2a，AFa，AE3a.在AEF中，cosAEF.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是.答案：6已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45.若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，则二面角AB的大小是_解析：由已知POB是PO和平面所成角中的最小角由最小角定理，POB是PO和面所成的角即MO是PO在内的射影，故.即二面角AB大小为90.答案：907(2011全国卷)已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_解析：设面AEF与面ABC所成的二面角为，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，则AEF在面ABC上的射影是ABC.在AEF中，AE，AF，EF，AEF的面积等于 ，而ABC的面积等于32，因此有cos，sin，tan，即面AEF与面ABC所成的二面角的正切值是.答案：三、解答题8如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点(1)证明：EF平面SAD；(2)设SD2CD，求二面角AEFD的余弦值解：(1)证明：作FGDC交SD于点G，则G为SD的中点连接AG，FG綊CD，又CD綊AB，E为AB的中点，故GF綊AE，四边形AEFG为平行四边形所以EFAG.又AG平面SAD，EF平面SAD.所以EF平面SAD.(2)不妨设DC2，则SD4，DG2，ADG为等腰直角三角形，取AG中点H，连接DH，则DHAG，DHEF，DH.取EF中点M，连接MH，则HM綊AE，HMEF.连接DM，则DMEF.故DMH为二面角AEFD的平面角tanDMH，cosDMH，二面角AEFD的余弦值为.9(2011合肥模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点(1)求证：AEDA1；(2)求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值；(2)若E为C1D1的中点，在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG.解：(1)证明：连接AD1，依题意可知AD1A1D，又C1D1平面ADD1A1，C1D1A1D，又C1D1AD1D1，A1D平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，AEA1D.(2)设正方体的棱长为2，取CC1的中点M，连接FM交CB1于O点，连接DO，则FO，连接BC1，易证BC1平面A1B1CD.又FMBC1，FM平面A1B1CD.则FDO为直线DF与平面A1B1CD所成的角，sinFDO.(3)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AEDA1，取CD中点H，连接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可证得DF平面AHE，DFAE，又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.10(2011济南模拟)已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面互相垂直，M、N分别为棱BE、AD的中点，AB1，AD2，(1)证明：直线AM平面NEC；(2)求二面角NCED的余弦值解：(1)证明：取EC的中点F，连接FM，FN，则FMBC，FMBC，ANBC，ANBC，所以FMAN且FMAN，所以四边形AMFN为平行四边形，所以AMNF，因为AM平面NEC，NF平面NEC，所以直线AM平面NEC.(2)由题设知平面ABCD平面ADE，CDAD，CD平