高考数学第一轮复习强化训练 15.5《曲线的方程和轨迹问题》新人教版选修44.doc

15.5曲线的方程和轨迹问题【考纲要求】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.【基础知识】1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。2、求简单的曲线方程的一般步骤（1） 建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2） 设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；（3） 列式：用坐标表示条件,列出方程；（4） 化简：化方程为最简形式；（5） 检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。3、求简单的曲线方程的主要方法：轨迹四法 待代直参 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个圆锥曲线的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程。（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参。 4、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征。【例题精讲】例1 如图，圆与圆的半径都是1，过动点p分别作圆、圆的切线pm、pn（m、n分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程解：以的中点o为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知可得：因为两圆的半径均为1，所以设，则，即所以所求轨迹方程为：（或）例2 已知椭圆c：和点p（1，2），直线l经过点p并与椭圆c交于a、b两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。解：设弦中点为m（x，y），交点为。当m与p不重合时，a、b、m、p四点共线。 由，两式相减得又 由可得： 当点m与点p重合时，点m坐标为（1，2），适合方程。弦中点的轨迹方程为： 15.5曲线的方程和轨迹问题强化训练【基础精练】1. 已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点p的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（ ）a. 一个圆b. 两条平行直线c. 四个点d. 两个点2 在四棱锥中，面pab，面pab，底面abcd为梯形，ad=4，bc=8，ab=6，满足上述条件的四棱锥的顶点p的轨迹是（ ）a. 圆b. 不完整的圆c. 抛物线d. 抛物线的一部分3. 如图,定点a和b都在平面内，定点pc是内异于a和b的动点。且，那么动点c在平面内的轨迹是（ ）a. 一条线段，但要去掉两个点b. 一个圆，但要去掉两个点c. 一个椭圆，但要去掉两个点d. 半圆，但要去掉两个点4. 如图3，在正方体中，p是侧面内一动点，若p到直线bc与直线的距离相等，则动点p的轨迹所在的曲线是（ ）a. 直线b. 圆c. 双曲线d. 抛物线图35. 已知正方体的棱长为1，点p是平面ac内的动点，若点p到直线的距离等于点p到直线cd的距离，则动点p的轨迹所在的曲线是（ ）a. 抛物线b. 双曲线c. 椭圆d. 直线6. 已知异面直线a,b成角，公垂线段mn的长等于2，线段ab两个端点a、b分别在a,b上移动，且线段ab长等于4，求线段ab中点的轨迹方程。7. 已知圆e的方程为 (x-1)2 + y2 = 1, 四边形pabq为该圆的内接梯形，底ab为圆的直径且在x 轴上，以a、b为焦点的椭圆c过p、q两点(1) 若直线qp与椭圆c的右准线相交于点m，求点m的轨迹；(2) 当梯形pabq周长最大时，求椭圆c的方程8. 已知双曲线的两个焦点分别为f1、f2，其中f1又是抛物线 y2 = 4 x的一个焦点，且点a(-1, 2)，b(3, 2)在双曲线上(1)求点f2的轨迹; (2)是否存在直线y = x+m与点f2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由9. 已知常数a 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点o，以c +i为方向向量的直线与经过定点a(0 , a)，以i - 2c为方向向量的直线交于点p，其中r，试问：是否存在两个定点e , f，使得 | pe| + | pf | 为定值，若存在，求出e, f的坐标，若不存在，说明理由10. 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上（i）求边所在直线的方程；（ii）求矩形外接圆的方程；（iii）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程11. 如图，设抛物线的焦点为f，动点p在直线上运动，过p作抛物线c的两条切线pa、pb，且与抛物线c分别相切于a、b两点.（1）求apb的重心g的轨迹方程.oabpf（2）证明pfa=pfb.12. 已知椭圆的左、右焦点分别是f1（c，0）、f2（c，0），q是椭圆外的动点，满足点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t在线段f2q上，并且满足 （）设为点p的横坐标，证明； （）求点t的轨迹c的方程； （）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m， 使f1mf2的面积s=若存在，求f1mf2 的正切值；若不存在，请说明理由.13. 过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于a、b两点，o为坐标原点.求aob的重心g的轨迹c的方程.14. 已知圆和点，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【拓展提高】1设点a和b为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知oaob，omab，求点m的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 2.三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形，按规定，挖出的土方必须沿道路或送到点处。已知，能否在池中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路送土方较近，而另一侧的点沿道路送土方较近？如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出轨迹方程。【基础精练参考答案】1. 如图1，设点p在平面内的射影是o，则op是、的公垂线，op=4。在内到点p的距离等于5的点到o的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以o为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点o的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选c。2. 因为面pab，面pab，所以ad/bc，且。又，可得，即得在平面pab内，以ab所在直线为x轴，ab中点o为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a（-3，0）、b（3，0）。设点p（x,y），则有，整理得由于点p不在直线ab上，故此轨迹为一个不完整的圆，选b。3. 因为，且pc在内的射影为bc，所以，即。所以点c的轨迹是以ab为直径的圆且去掉a、b两点，故选b。4. 因为p到的距离即为p到的距离，所以在面内，p到定点的距离与p到定直线bc的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点p的轨迹为抛物线，故选d。5. 以a为原点，ab为x轴、ad为y轴，建立平面直角坐标系。设p（x,y），作于e、于f，连结ef，易知又作于n，则。依题意，即，化简得故动点p的轨迹为双曲线，选b。6. 如图，易知线段ab的中点p在公垂线段mn的中垂面上，直线、为平面内过mn的中点o分别平行于a、b的直线，于，于，则，且p也为的中点。由已知mn=2，ab=4，易知得。则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点p的轨迹。现以的角平分线为x轴，o为原点建立如图所示的平面直角坐标系。设，则消去m、n，得线段ab的中点p的轨迹为椭圆，其方程为。7. 解 (1) 设椭圆c：b2(x-1)2 + a2y2 = a2 b2 (a b 0)，由题意知 2c = 2, 故 c = 1,如图9-9，从而可得 右准线的方程 x = a2 +1, 设 m(x, y)，p(x0, y0)，连pb，则有 | pa| 2 + |pb| 2 = |ab| 2, ( | pa| + | pb| )2- 2| pa|pb| = 4，由此可得 (2a)2- 22 | yp | = 4，即 yp = (a2-1)，于是，由得 y =(x- 2)又 点p(x0, y0)是圆e上的点，且不与ab重合， 0 |y0| 1，故有 0 a2- 1 1 , 即 1 a2 2 由得 2 x 3， 点m的轨迹是两条线段，其方程为 y =(x-2) (2 x 0 a(-1, 2)，b(3, 2) 在已知双曲线上，且 |af1| = | bf1| =于是() 当 | af1|-|af2| = |bf1|-|bf2|时，有 |af2| = |bf2| , 再代入得：f2的轨迹为直线 x = 1除去两个点f1(1, 0), d(1, 4)() 当 | af1|-|af2| = - ( |bf1|-|bf2| ) 时，有 | af2| + |bf2| = |af1| + |bf1| = 4 = |ab| , 点f2的轨迹是以a、b两点为焦点的椭圆q，且除去f1(1, 0)，d(1, 4)两点，故所求的轨迹方程为 l：x = 1与q：( y0，y 4 )(2) 设存在直线l：y = x+ m满足条件() 若l过点f1或点d， f1、d两点既在直线l：x = 1上，又在椭圆q上，但不在f2的轨迹上， l与f2的轨迹只有一个公共点，不合题意() )若l不过点f1和d两点，(m-1, m3)，则l与l必有一个公共点e，且e点不在椭圆q上， 要使l与f2的轨迹有且只有两个公共点，则l必与q有且只有一个公共点由 得 3x2 - (10 - 4m) x +2m2- 8m +1= 0, 从而，有 = (10 - 4m) 2- 12(2m2- 8m+1) = - 8 ( m2-2m-11) , 当= 0时，有即存在符合条件的直线 y = x+9. 解 c +i = (, a)，i - 2c = (1, - 2a) , 由向量平行关系得 op与ap的方程分别为y = ax，y- a = - 2ax 由此消去参数，得 点p(x ,y)满足方程为, a 0 , 从而，有(1) 当时，方程表示的是圆，不存在符合题意的两个定点 e，f ；(2) 当0时，方程表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：； (3) 当时，方程表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：10. 解：（i）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为 又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为即（ii）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（iii）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以， 即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为11. 解：（1）设切点a、b坐标分别为，切线ap的方程为： 切线bp的方程为：解得p点的坐标为：所以apb的重心g的坐标为 ，所以，由点p在直线l上运动，从而得到重心g的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于p点在抛物线外，则同理有afp=pfb.方法2：当所以p点坐标为，则p点到直线af的距离为：即所以p点到直线bf的距离为：所以d1=d2，即得afp=pfb.当时，直线af的方程：直线bf的方程：所以p点到直线af的距离为：同理可得到p点到直线bf的距离，因此由d1=d2，可得到afp=pfb.12. （）证法一：设点p的坐标为由p在椭圆上，得由，所以 证法二：设点p的坐标为记则由证法三：设点p的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以（）解法一：设点t的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以t为线段f2q的中点.在qf1f2中，所以有综上所述，点t的轨迹c的方程是解法二：设点t的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以t为线段f2q的中点. 设点q的坐标为（），则 因此 由得 将代入，可得综上所述，点t的轨迹c的方程是 （）解法一：c上存在点m（）使s=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点m，使s=；当时，不存在满足条件的点m当时，由，得解法二：c上存在点m（）使s=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点m，使s=；当时，不存在满足条件的点m当时，记，由知，所以13. 解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x1），代入y2=4x，得k2x2x（2k2+4）+k2=0. 设l方程与抛物线相交于两点，k0.设点a、b的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），根据韦达定理，有x1+x2=，从而y1+y2=k（x1+x22）=.设aob的重心为g（x，y），消去k，得x=+（y）2，则 x=+，y=， y2=x.当l垂直于x