直线和圆的方程专题讲座.doc

直线和圆的方程专题讲座一、 求最值问题若ai0（i=1，2，n），则有（1）当a1+a2+an=s（常数）时，积a1a2an有最大值为()n，当且仅当a1=a2=an时取得.（2）当a1a2an=p（常数）时，和a1+a2+an有最小值有n，当且仅当a1=a2=an时取得.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。【例1】求下列函数的最值.（1）y=；（2）y=.分析 此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。解（1）当x=0时，y=0 ，当x0时，=y当且仅当=( )，即x=2时，等号成立.ymin=，ymin=（2）易知函数的定义域是R.y=1.当x0时，1y=11=即当x=2时，y=；当x=0时，y=1；当x0时，1y=1+ 即当x=2时，y=7.综合以上知，ymin=7，ymin=说明 将函数解析式变形以出现“x+”是活用平均值不等式求最值的前提.事实上，对于（2），若令x=2tan ，则有y=.由此确定这个三角函数的最值也很容易.【例2】已知x，yR+，且2x+y=1，求证：+的最小值为3+2.分析 注意到条件中给出1+2x+y，而所要求证的不等式左边+中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y，可使问题得到巧妙的解决.解+=+ =2+1 =2+yR+2=2+3+2当且仅当=，即x=，y=1时取“=”.二、 判别式法的应用【例1】已知a，b，cR，a+b+c=0，求证：a，b，c中至少有一个大于.证明：abc=10a，b，c要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。a+b+c=0，a，b，c不能同正.可设a0，b0，c0，只需证明a即可.b+c=a，bc=，b，c是一元二次方程x2+ax+=0的两个负实根.=a20，即a34.a=a，b，c中至少有一个大于.说明 作此题前要将条件分析好，即由a+b+c=0知a，b，c不能都大于零，只能其中有两个数为负，一个数为正，这样，只需证明为正的那个数大于即可。【例2】已知x+y+z=5, x2+y2+z2=9中，得x2+(y5)x+y25y+8=0，xR, 0，即(y5)24(y25y+8) 0，解得1y 即y1，同理可证x1， z1，说明 在用判别式法证不等式时，要注意“主元”的取值范围.三、 直线系直线系指的是具有某种共同性质的直线的集合。利用直线系理论来解决有关问题时，常常显得简捷明快，所以灵活运用直线系知识是重要的解题方法和技巧之一。（一）平行直线系Ax+By+=0是平行于直线Ax+By+C=0的平行直线系（其中为常数，当=C时，两直线重合）.BxAy+=0是垂直于直线Ax+By+C=0的平行直线系.【例1】求过点P（1，1）且分别与直线3x5y+4=0平行或垂直的直线方程。解 将点P的坐标（1，1）分别代入3x5y+=0及5x+3y+u=0，得=2，u=8 。故与已知直线平行的直线为3x5y+2=0，与已知直线垂直的直线为5x+3y8=0.（二） 过两直线交点的直线系【例2】过直线：2x+y+8=0和x+y+3=0的交点作一直线，使它夹在两直线xy5=0和xy2=0之间的线段长等于3，求此直线方程.解 如图733，两平行线xy5=0与xy2=0间的距离u=所求直线被这两行线截下的线段为3=d所求直线与这两平行线夹角为450又xy5=0的倾角为450，所求直线倾角为00与900过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，求所求直线方程为：2x+y+8+(x+y+3)=0，即：(2+)x+(1+)y+(8+3)=0，令2+=0得=2，令1+=0得=1代入式得所求直线方程为y=2或x=5. 图733四、 对称问题对称分为点对称（中心对称）和轴对称两种，这是中点坐标公式和直线与直线垂直的应用。【例1】求点P（x，y）直线l：2xy+3=0 圆x2+y2=1分别关于点A（1，2）对称的点，直线和圆的方程.解 点P关于点A的对称点P/（x/，y/）则A是PP/的中点，由中点坐标公式P/(2x， 4y)设l关于点A对称的直线l/上任一点M（x，y）则M（x，y）关于点A（1，2）的对称点M/(2x，4y)在直线l上，2（2x）（4y）+3=0即2x4y+5=0在圆x2+y2=1关于点A（1，2）对称的圆上任取一点M（x，y），则M关于点A的对称点M/（2x）2+(4y)2=1即：(x+2)2+(y4)2=1说明 通过本题得出结论：点P（x，y）关于点A（x0，y0）的对称点是P/（2x0x，2y0y）曲线F（x，y）=0关于点A的对称曲线的方程是F(2x0x，2y0y)=0.【例2】求点P(x0，y0) 圆C：x2+y2=1分别关于直线xy+1=0对称的点和圆的方程.解 设点P关于直线xy+1=0对称的点P/（x1，y1）则线段PP/的中点在对称轴上，且PP/对称轴. +1=0解得： 1=1即P/（y01，x0+1）在所求的对称圆上任取一点M（x，y），则点M关于xy+1=0对称的点M/（y1，x+1）在已知圆C上，(y1)2+(x+1)2=1.就是所求的对称的圆.说明 点（x0，y0）关于直线xy+1=0对称的点（y01，x0+1）可以直线代换而得，不必列方程组求解.其代换法则是这样的：对称点的横坐标是把原来点的纵坐标y0代入对称轴方程的y而得xy0+1=0，从而x=y01；所求对称点的纵坐标，是把原来点的横坐标x0代入对称轴方程的x而得x0y+1=0从而y=x0+1.斜率为1的直线索对称轴时，都可用此代换法是，再如点P（x0，y0）关于直线x+y+b=00对称的点P/的坐标是（yb）2+(xb)2=1即(x+b)2+(y+b)2=1.一般地，曲线F（x，y）=0关于直线xy+b=0对称的曲线是F（yb，x+b）=0；曲线F(x，y)=0关于直线x+y+b=0对称的曲线是F(yb，xb)=0.当对称轴为y=x时，即是上述xy+b=0中，b=0的特殊情形.上述代换法则仍然成立，当对称轴垂直于坐标轴时，可给合图形直接求出对称点的坐标；当对称轴不是上述几种特殊情形时，没有简单的方法，只有【例2】的那样列方程组求解.点P（x0，y0）关于某对称轴对称的点的坐标（特殊对称轴）如表75：表75对称轴方程x=x1y=y1y=xy=xx+y+b=0xy+b=0对称点P/的坐标(2x1x0，y0)(x0,2y1x0)(y0,x0)(y0, x0)(y0b, x0b)(y0b,x0+b)五、 圆系（一）同心圆系设圆C的一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则与圆C同心的同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+=0.若圆C的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，则与圆C同心的圆系方程为线长等于的圆的方程.解 设所求同心的方程为x2+y22x+4y+=0，由于从点A（4，3）向此圆所引的切线长为5，所以42+3224+43+=52得=4.故所求圆的方程为x2+y22x+4y4=0.（二）共轴圆系设两个同心的圆的方程为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2：x2+y2+D2x+E2Y+F2=0记方程C：C1+C2=0.当=1时，C为一直线方程，这条直线叫做两圆的根轴，它是从两圆外向两圆引切线使切线长相等的点的轨迹.（当两圆相离或内含或相切的轨迹为一直线，当两圆相交时轨迹为公共弦所在直线去掉公共弦所剩余的两部分.）当1时，C表示过C1，C2两圆交点的圆系（但不包括C2），即它们都有相同的根轴l：C1C2=0，故称共轴圆系.【例2】求经过两圆x2+y2+3xy=0和3x2+3y2+2x+y=0的交点及点P（1，1）的圆的方程.解 设所求圆的方程为3x2+3y2+2x+y+(x2+y2+3xy)=0将点P（1，1）的坐标代入上式，得=.故所求圆的方程为3x2+3y219x+13y=0.【例3】求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.（1）过原点；（2）有最小面积.解 设所求圆的方程为x2+y2+2x4y+1+(2x+y+4)=0，即x2+y2+2(1+)x+(4)+(1+4)=0.（1）此圆过原点，1+4=0.由此得=故所求圆的方程为x2+y2+xy=0（2）将圆系方程化为标准式，有(x+1+)2+(y)2=()2+当其半径最小时，圆的面积最小，此时=为所求.故满足条件的圆的方程为(x+) 2+(y)2=.第八章 圆锥曲线方程专题讲座二次曲线系（一）共焦点圆锥曲线系当t0时，表示共焦点（c,0）的椭圆系；当-c2t0时，表示共焦点（c,0）的双曲线系；当t0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。与椭圆共焦点的二次曲线系方程也可以设为（0bkb2，k为参数）。（二）具有相同离心率的圆锥曲线系例3已知椭圆的离心率是，焦点在x轴上，且被直线截得的弦长为，求椭圆的标准方程。解：，又其焦点在x轴上， 设椭圆方程为 即 将 代入，整理得 由韦达定理可知：x1+x2=-2,x1x2=4-3 由弦长公式，有 = = 解得。 故所求椭圆方程为，即说明 应用具有相同离心率的圆锥曲线系方程时，同样要注意其焦点所在的坐标轴及圆锥曲线的类型。（三）共渐近线的双曲线系显然，它们的公共渐近线为例4求与双曲线共渐近线且与直线x-y-1=0相切的双曲线方程。解：设此双曲线方程为由方程组消去x得3y2-2y+（-1）=0。由双曲线与直线相切知将代入方程组得所求的双曲线方程为3x2-12y2=4。求轨迹的几种方法求轨迹方程是解析几何中主要类型题之一，求轨迹的方法通常有：定义法、参数法、交轨法、转化法、待定系数法。下面我们逐一介绍。（一）定义法利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接定出轨迹方程的方法叫做定义法。例1过原点O的一条直线交圆x2+(y-1)2=1于点Q，在直线OQ上取一点P，使点P到直线y=2的距离等于|PQ|，当直线PQ绕点O旋转时，求动点P的轨迹方程。解：如图所示，设动点P的坐标为(x,y)，作PD垂直于直线y=2，垂足为D。（1）当点P不在y轴上时， 从而1=2。 又PDOA，1=3。从而2=3。 |OP|=|OA|=2。 这时，点P的轨迹方程为 x2+y2=4(x0)。（2）当点P在y轴上时，点Q与D重合于点A，y轴上任一点P都满足|PD|=|PQ|。这时，点P的轨迹方程为x=0。于是由（1），（2）可知，动点P的轨迹方程为x2+y2=4(x0)或x=0。（二）参数法例2 已知MON=120，长为的线段AB的两段A，B分别在OM，ON上滑动，求AB中点P的轨迹方程。分析 中点P依赖于A，B两点，设A，B的横坐标为参数，利用|AB|=消去参数，便可得到P的轨迹方程。解：如图所示，以O为原点，MON的平分线为x轴的正方向，则射线ON，OM的方程分别为。设，则 即(x1-x2)2+3(x1+x2)2=12把式代入式中，得 即 解方程组 故动点P的轨迹方程为 。（三）交轨法当动点P是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点P的轨迹方程，可选择适当的参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程，从而解方程组消去参数，便得动点P的轨迹方程。例3如图824所示，在直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的边长|OA|=a,|OC|=b，点D在AO的延长线上，且|DO|=a，设M，N分别是OC，BC边上的动点，且，求直线DM与AN的交点P的轨迹方程。解 如图所示，点A，D的坐标分别为(a,0),(-a,0)。设，则点N的坐标为(a-t,b)。，从而 。 直线DM的方程为直线AN的方程为设动点P的坐标为(x,y)，则从式中消去参数t，得P的轨迹方程为（四）代入法对于已知曲线C:F(x,y)=0上的各点M，按照某种法则，同一平面上的点P与它对应，当点M在曲线C上移动时，点P的轨迹是曲线，则称为C的伴随曲线。求伴随曲线的方程一般用代入法。其步骤如下：设点P，M的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则F(x1,y1)=0。由点M与点P的关系，求得x1=f(x,y),y1=g(x,y),然后用代入法，即可得到点P的轨迹方程为F(f(x,y,),g(x,y)=0。例4 从原点O作圆(x-2)2+y2=4的动弦OP，把OP延长到M，使，求动点M的轨迹方程。解 如图所示，设点M，P的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则从而即把式代入式中，得于是，动点M的轨迹方程为（五）待定系数法当曲线的议程的类型已知时，求这曲线方程的具体表达式，可用待定系数法。例5 求以直线和为渐近线，焦点在直线上且焦距是的双曲线方程。解 如图所示，解方程组 得 即两直线的交点坐标为（5，-4）。 又双曲线的中心为O（5，-4）。 由已知条件可设这双曲线的方程为 为 即： 结合已知渐近线方程从而可设 。 于是a=10，b=8。故所求的双曲线方程为 求最值方法总结解析几何中的最值涉及代数、三角、几何诸方面的知识，问题复杂，解法灵活。现把这类问题的解法总结如下：（一）利用综合几何法求最值利用平面几何中的极值定理求解最值问题的方法叫做综合几何法。这种解法如果运用得当，往往显得非常简捷、明快。例1如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B是y轴正方向上给定的两点，试在x轴正方向上求一点C，使ACB取得最大值。解：如图所示，过A，B两点作圆与x轴正方向相切于点C。设C是x轴正方向上异于点C的任一点，连结BC，AC，BC，AC，则由平面几何知识，易得ACBACB，从而点C即为所求。设，则由切割线定理，得 ，。即所求的点C的坐标为。（二）利用二次函数的性质求最值例2过点B（0，-b）作椭圆的弦，求这些弦长的最大值。解：如图所示，设点M(x,y)是椭圆上任一点，则，即 从而 于是，（1）若时，|BM|取得最大值；（2）若，即，则当y=b时，|BM|取得最大值 。（三）利用判别式法求最值例3 过点A（1，4）作一直线在两坐标轴上的截距都为正，且其和为最小，求这直线的方程。解 设所求的直线为，则，从而。即。b是实数，即 。由b4，可知s1,s9。当s=9时，易得b=6,a=3。即当a=3,b=6时，s有最小值9。故所求的直线方程为，即 2x+y-6=0。（四）利用不等式法求最值例3中， 取最小时，解得。（以下略）（五）利用三角求最值例2中，设椭圆上任一点为参数。则|BM| 当即时取得当即时取得例3中，设直线倾斜角的补角为（如图），横纵截距分别为a、b由锐角三角函数，则（正值已舍去）故所求直线方程为：解题方法总结：（1）恰当选择坐标系，以简化计算。（2）重视圆锥曲线的定义，曲线的几何性质在解题中的作用。定义是运用数形结合思想方法解题的重要依据，定义解题可简化运算，提高速度。（3）三种圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线都是“一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比为一个常数”的动点轨迹这一本质属性，因此，在三种圆锥曲线的计算和证明中，当题中涉及到离心率、定点、定直线时，要不失时机地运用统一定义解题。（4）要判断动点的轨迹，往往需要先求出它的轨迹方程，然后根据方程的结构特点，再确定是何种曲线。求轨迹方程的主要方法见