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如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主学习(数列)一. 知识1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要 单独列出.如:数列满足,求(答:).2.等差数列(为常数) ;3.等差数列的性质: ,; (反之不一定成立);特别地,当时,有; 若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列; 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列; 等差数列,当项数为时,;项数为时, ,且;. 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用的二次函数关系来分析. 若,则;若,则; 若,则Sm+n=0;S3m=3(S2mSm);.4.等比数列.5.等比数列的性质 ,;若、是等比数列,则、等也是等比数列; ;(反之不一定成 立);. 等比数列中(注:各项均不为0) 仍是等比数列. 等比数列当项数为时,;项数为时,.6.如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列;如果数列是等比数列, 则数列是等差数列; 若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列; 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数;如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; 三个数成等差的设法:;四个数成等差的设法:; 三个数成等比的设法:;四个数成等比的错误设法:(为什么?)7.数列的通项的求法:公式法:等差数列通项公式;等比数列通项公式. 已知(即)求用作差法:. 已知求用作商法:. 若求用迭加法. 已知,求用迭乘法. 已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列):形如, (为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后, 再求.形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法:公式法:等差数列,等比数列求和公式;分组求和法;倒序相加;错位 相减;分裂通项法.公式:; ;常见裂项公式; ; 常见放缩公式:.9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. 利率问题:单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金元,每期利 率为,则期后本利和为:(等差数列问 题);复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款)元,采用分期等 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利 率为(按复利),那么每期等额还款元应满足: (等比数列问题).二. 及时巩固一、填空题:.等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,则q3 .已知数列对于任意,有,若,则 。. 是等差数列,是其前n项和,则在中最小的是 . 在等差数列中,其前项和为,若,则的值等于 135791113151719. 已知命题:“在等差数列中,若,则为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为_. 将正w ww.k s5u.c om奇数排列如下表其中第行第个数表示,例如,若,则 . 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,记的长度构成数列,则此数列的通项公式为 ICME7图甲OA1A2A3A4A5A6A7A8图乙 . 函数由下表定义:x12345f (x)34521若,,则的值 . 在数列中,若对任意,都有(为常数),则称为“等差比数列”下面几个对“等差比数列”的判断正确的是 不可能是;等差数列一定是等差比数列;等比数列一定是等差比数列;通项公式为(、均不为或者)的数列一定是等差比数列. 已知是首项为a,公差为1的等差数列,,若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是 . . bca. 9. . 2008. .1. ,二、解答题:11. 设数列的前项和为,且,为等差数列,且,(1)求数列和通项公式;(2)设,求数列的前项和. .解:(1)当时, 当时,此式对也成立从而,又因为为等差数列,公差,(2)由(1)可知, 所以 2得 -得: 12.已知数列的前n项和为,且()求数列通项公式;()若,求证数列是等比数列,并求数列的前项和解:()n2时,n1时,适合上式, (), 即数列是首项为4、公比为2的等比数列 ,Tn 13.设垂直,其中c是不等于零的实常数,n是正整数,设的通项公式,并求其前解:由题意得:,当;.14.数列满足(1) 求的值;(2) 是否存在一个实数t,使得且数列为等差数列?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由。(3) 求数列的前n项和.解:(1)由得 (2)假设存在实数t,使得为等差数列。则,即存在实数t=1,使得为等差数列。(3)由(1),(2)得 (1) (2)由(1)(2)得如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主练习A(数列)一.填空题1设等比数列的公比,前项和为,则 答案:152. 设等差数列的前项和为,则,成等差数列类比以上结论有:设等比数列的前项积为,则, , ,成等比数列答案: 3. 设是公比为的等比数列,令,若数列有连续四项在集合中,则= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 有连续四项在集合,四项成等比数列,公比为,= -94. 在等差数列中,则.【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. 等差数列的前项和为,且则 【解析】Snna1n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】5. 等差数列前n项和为。已知+-=0,=38,则m=_解析:由+-=0得到。6. 若互不相等的实数、成等差数列,、成等比数列,且,则= 依题意有7弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下的弹子尽可能的少,那么剩下的弹子有 正四面体的特征和题设构造过程,第k层为k个连续自然数的和,化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有,k最大为6,剩48. 设数列的前n项和为,令,称为数列,的“理想数”,已知数列,的“理想数”为2004,那么数列2, ,的“理想数”为 认识信息,理解理想数的意义有,9.已知数列对任意的满足,且,那么等于 由已知+ -12,+24,=+= -3010. 数列an中,若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an= .由,即=2,所以数列3是以(+3)为首项,以2为公比的等比数列,故3=(+3),=3.11. 由,整体求和所求值为512. 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按右图所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以表示第n堆的乒乓球总数,则 ; (答案用n表示). 的规律由,所以 所以 13.已知整数对排列如下,则第60个整数对是_.观察整数对的特点,整数对和为2的1个,和为3的2个,和为4的3个,和为5的4个,和n为的n1个,于是,借助估算,取n=10,则第55个整数对为,注意横坐标递增,纵坐标递减的特点,第60个整数对为14.设,则等于 f(n)=三. 解答题:15.数列an的前n项和记为Sn, (1)求an的通项公式; (2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且,又成等比数列,求Tn(1)由可得,两式相减得又 故an是首项为1,公比为3得等比数列 . (2)设bn的公差为d,由得,可得,可得, 故可设 又由题意可得解得 等差数列bn的各项为正, 16.设是一个公差为的等差数列,它的前10项和且,成等比数列。(1)证明;(2)求公差的值和数列的通项公式.证明:因,成等比数列,故,而是等差数列,有,,于是 ,即,化简得 (2)解:由条件和,得到,由(1),代入上式得,故 ,17.已知等比数列的各项为不等于1的正数,数列满足,y4=17, y7=11(1)证明:为等差数列;(2)问数列的前多少项的和最大,最大值为多少?(1)y (2)y 3d=6 d=2 y 当n=12时,S有最大值144. 前12项和最大为144.18. 已知数列是等差数列,且 ()求数列的通项公式;()令求数列前n项和的公式.()解:设数列公差为,则 又所以()解:令则由得 当时,式减去式,得 所以 当时, 综上可得当时,;当时,19.假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: ()每年年末加1000元; ()每半年结束时加300元。请你选择。 (1)如果在该公司干10年,问两种方案各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种? 设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1000元,则an=1000n; 设方案二第n个半年加薪bn,因为每半年加薪300元,则bn=300n; (1)在该公司干10年(20个半年),方案1共加薪S10=a1a2a10=55000元。 方案2共加薪T20=b1b2b20=20300=63000元; (2)设在该公司干n年,两种方案共加薪分别为: Sn=a1a2an=1000n=500n2500nT2n=b1b2b2n=2n300=600n2300n 令T2nSn即:600n2300n500n2500n,解得:n2,当n=2时等号成立。 如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案;如果只干2年,随便选;如果只干1年,当然选择第一方案。 20.已知数列,且, , 其中k=1,2,3,.()求,(II)求通项公式. (I)a2=a1+(1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1 an的通项公式为: 当n为奇数时,an= 当n为偶数时,如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主练习B(数列)一、填空题1、(2009江宁高级中学3月联考)已知等差数列an中,a4=3,a6=9,则该数列的前9项的和S9= 542、(2009金陵中学三模).已知等差数列满足:若将都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 13、(2009南京一模)已知等比数列的各项均为正数,若,前三项的和为21 ,则 。1684、(2009南通一模)已知数列an中,a1=1,a2=0,对任意正整数n,m(nm)满足,则a119= 15、(2009苏、锡、常、镇四市调研)已知数列满足,且,其中,若,则实数的最小值为 46、(2009通州第四次调研)等差数列中,若,则 .407.设等差数列的前项和为,若,则的最大值为_。8. 将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律,第n 行(n 3)从左向右的第3 个数为 9.已知函数,等差数列的公差为.若,则 .6设Sn=是等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .-7210将正整数如右表排列:若数100是第n行的第m个数(从左到右),则n+m= 23 .11. 设Sn是等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= . -7212、由正数构成的等比数列an,若,则 713已知数列的前项和为某三角形三边之比为,则该三角形最大角为 14、给定(nN*),定义乘积为整数的k(kN*)叫做“理想数”,则区间1,2008内的所有理想数的和为 2026.二、解答题15.已知数列中,且点在直线上。(1)求数列的通项公式;(2)若函数求函数的最小值;(3)设表示数列的前项和。试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立? 若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。解:(1)由点P在直线上,即,-2分且,数列是以1为首项,1为公差的等差数列 ,同样满足,所以-4分 (2) -6分 所以是单调递增,故的最小值是-10分(3),可得,-12分 ,n2-14分故存在关于n的整式g(x)=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立-16分16. 数列an的前n项和记为Sn, (I)求an的通项公式; (II)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且,又成等比数列,求Tn(I)由可得,两式相减得 又 ,故an是首项为1,公比为3得等比数列 .(II)设bn的公差为d,由得,可得,可得, 故可设 又由题意可得解得 等差数列bn的各项为正, 17、已知函数是一次函数,且成等比数列,设,()(1)求;(2)设,求数列的前n项和。解:(1)设,()由成等比数列得,-, 得 -由得, ,显然数列是首项公差的等差数列 (2)2 。18.假设某市2004年新建住房400万,其中有250万是中低价房。
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