高三数学数列单元二自主学习.doc

如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主学习（数列）一. 知识1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要 单独列出.如：数列满足，求(答：).2.等差数列(为常数) ；3.等差数列的性质： ,； (反之不一定成立)；特别地,当时,有； 若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列； 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； 等差数列,当项数为时,；项数为时, ,且；. 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用的二次函数关系来分析. 若,则；若,则； 若,则Sm+n=0；S3m=3(S2mSm)；.4.等比数列.5.等比数列的性质 ,；若、是等比数列，则、等也是等比数列； ；(反之不一定成 立)；. 等比数列中(注：各项均不为0) 仍是等比数列. 等比数列当项数为时,；项数为时,.6.如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列, 则数列是等差数列； 若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列； 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项； 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：； 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什么？)7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知(即)求用作差法：. 已知求用作商法：. 若求用迭加法. 已知,求用迭乘法. 已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：形如, (为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后, 再求.形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位 相减；分裂通项法.公式：； ；常见裂项公式； ； 常见放缩公式：.9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. 利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利 率为,则期后本利和为：(等差数列问 题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利 率为（按复利），那么每期等额还款元应满足： (等比数列问题).二. 及时巩固一、填空题：.等比数列an的公比为q（q0），其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3 .已知数列对于任意，有，若，则 。. 是等差数列，是其前n项和，则在中最小的是 . 在等差数列中，其前项和为，若，则的值等于 135791113151719. 已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_. 将正w ww.k s5u.c om奇数排列如下表其中第行第个数表示，例如，若，则 . 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为 ICME7图甲OA1A2A3A4A5A6A7A8图乙 . 函数由下表定义：x12345f (x)34521若，,则的值 . 在数列中，若对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”下面几个对“等差比数列”的判断正确的是 不可能是；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为（、均不为或者）的数列一定是等差比数列. 已知是首项为a,公差为1的等差数列,，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是 . . bca. 9. . 2008. .1. ，二、解答题：11. 设数列的前项和为，且，为等差数列，且，（1）求数列和通项公式；（2）设，求数列的前项和. .解：（1）当时， 当时，此式对也成立从而，又因为为等差数列，公差，（2）由（1）可知， 所以 2得 -得： 12.已知数列的前n项和为，且（）求数列通项公式；（）若，求证数列是等比数列，并求数列的前项和解：（）n2时，n1时，适合上式， （）， 即数列是首项为4、公比为2的等比数列 ，Tn 13.设垂直，其中c是不等于零的实常数，n是正整数，设的通项公式，并求其前解：由题意得：，当；.14.数列满足（1） 求的值；（2） 是否存在一个实数t，使得且数列为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由。（3） 求数列的前n项和.解：（1）由得 （2）假设存在实数t，使得为等差数列。则，即存在实数t=1，使得为等差数列。（3）由（1），（2）得 （1） （2）由（1）（2）得如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主练习A（数列）一.填空题1设等比数列的公比，前项和为，则 答案：152. 设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列答案： 3. 设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -94. 在等差数列中,则.【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. 等差数列的前项和为，且则 【解析】Snna1n(n1)d . S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】5. 等差数列前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_解析：由+-=0得到。6. 若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，则= 依题意有7弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有，k最大为6，剩48. 设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2004，那么数列2， ，的“理想数”为 认识信息，理解理想数的意义有，9.已知数列对任意的满足，且，那么等于 由已知+ -12，+24,=+= -3010. 数列an中，若a1=1，an+1=2an+3 （n1），则该数列的通项an= .由，即=2，所以数列3是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故3=（+3），=3.11. 由，整体求和所求值为512. 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）. 的规律由，所以 所以 13.已知整数对排列如下，则第60个整数对是_.观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的n1个，于是，借助估算，取n=10，则第55个整数对为，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为14.设，则等于 f（n）=三. 解答题：15.数列an的前n项和记为Sn， （1）求an的通项公式; （2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn（1）由可得，两式相减得又 故an是首项为1，公比为3得等比数列 . （2）设bn的公差为d，由得，可得，可得， 故可设 又由题意可得解得 等差数列bn的各项为正， 16.设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，成等比数列。（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式.证明：因，成等比数列，故，而是等差数列，有，,于是 ，即，化简得 （2）解：由条件和，得到，由（1），代入上式得，故 ，17.已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，y4=17, y7=11(1)证明：为等差数列；（2）问数列的前多少项的和最大，最大值为多少？（1）y (2)y 3d=6 d=2 y 当n=12时，S有最大值144. 前12项和最大为144.18. 已知数列是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令求数列前n项和的公式.(）解：设数列公差为，则 又所以（）解：令则由得 当时，式减去式，得 所以 当时, 综上可得当时,；当时，19.假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （）每年年末加1000元； （）每半年结束时加300元。请你选择。 （1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？ 设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n； 设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n； (1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1a2a10=55000元。 方案2共加薪T20=b1b2b20=20300=63000元； (2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为： Sn=a1a2an=1000n=500n2500nT2n=b1b2b2n=2n300=600n2300n 令T2nSn即：600n2300n500n2500n，解得：n2，当n=2时等号成立。 如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。 20.已知数列，且, , 其中k=1,2,3,.（）求，（II）求通项公式. （I）a2=a1+(1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1 an的通项公式为： 当n为奇数时，an= 当n为偶数时，如东县马塘中学高三数学暑期单元二自主练习B（数列）一、填空题1、（2009江宁高级中学3月联考）已知等差数列an中，a4=3,a6=9，则该数列的前9项的和S9= 542、（2009金陵中学三模）.已知等差数列满足：若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 13、（2009南京一模）已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，则 。1684、（2009南通一模）已知数列an中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(nm)满足，则a119= 15、（2009苏、锡、常、镇四市调研）已知数列满足，且，其中，若，则实数的最小值为 46、（2009通州第四次调研）等差数列中，若，则 .407.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。8. 将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 9.已知函数,等差数列的公差为.若,则 .6设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .-7210将正整数如右表排列：若数100是第n行的第m个数（从左到右），则n+m= 23 .11. 设Sn是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= . -7212、由正数构成的等比数列an，若，则 713已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 14、给定（nN*），定义乘积为整数的k（kN*）叫做“理想数”，则区间1，2008内的所有理想数的和为 2026.二、解答题15.已知数列中，且点在直线上。(1)求数列的通项公式;(2)若函数求函数的最小值；(3)设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。解：（1）由点P在直线上，即，-2分且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 ，同样满足，所以-4分 （2） -6分 所以是单调递增，故的最小值是-10分（3），可得，-12分 ，n2-14分故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立-16分16. 数列an的前n项和记为Sn， （I）求an的通项公式; （II）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn（I）由可得，两式相减得 又 ，故an是首项为1，公比为3得等比数列 .（II）设bn的公差为d，由得，可得，可得， 故可设 又由题意可得解得 等差数列bn的各项为正， 17、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()（1）求；（2）设，求数列的前n项和。解：（1）设，（）由成等比数列得，-, 得 -由得， ，显然数列是首项公差的等差数列 （2）2 。18.假设某市2004年新建住房400万，其中有250万是中低价房。