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3 2 中 等 数 学 第五届北方数学奥林匹克邀请赛 第 一 天 一 2 5分 设数列 满足 1 一 竹 n 2 求数列 的通项公式 二 2 5分 如图 1 在 锐角 A B C中 已知 A B A C C O 8 B c o s C 1 E F分别是 A B A C延 长 线 上 的 E 点 且 满足 A B F ACE 9 0 张 雷供题 A P 图 1 i 求证 B E C F E F 2 设 E B C的平分线与 E 交于点 P 求证 C P平分 B C F 刘康宁 吕建恒徐庆金供题 三 2 5分 已知有 2 6个互 不相等 的正 整数 其中任意六个数中都至少有两个数 一 个数整除另一个数 证明 一定存在六个数 其中一个数能被另外五个数整除 张同君供题 四 2 5分 船 长 和三 位 水 手 共 得 到 2 0 0 9 枚面值相同的金 币 四人 商定按照如下 规则对金 币进行分配 水手 1 水手 2 水手 3 每人写下一个正整数 分别为 b b b 满足 b 1 6 2 6 3 且 b 1 b 2 b 3 2 0 0 9 船长在不 知道水手写的数 的情况 下 将 2 0 0 9枚金币 分成 3堆 各堆数量分别 为 a a a 且 a 2 0 3 对 于 水 手 k k 1 2 3 当 b 0 且 Y z 3 求证 二 二 一 1 y Y z 2 杨海滨 贾应红供题 七 2 5分 记 m 为不超过实数 m的最 大整数 设 Y均为正 实数 且对所有 的正 整数 n 都有 n l成立 证 明 x y 1 且 Y是大于 1的无理数 f 刘康宁供题 八 2 5分 求能被 2 0 9整除且各位数字 之和等于 2 0 9的最小正整数 张雷供题 参 考 答 案 第 一 天 一 易证 是正数 注意到 2 0 0 9年第 1 0期 3 3 n 1 2 T 一1 n一1 即 1 1 1 n n一 1 十 1 2 n 故 2 一 l 二 1 因为 A B F A C E 9 0 所 以 E B C F四点共 圆 于是 C F E A BC BE F AC B 故 C O S C F E C O S B E F C O S ABC C O S ACB 1 即 C F B E 1 因此 B E C F E F 2 如图 3 在线 段 E F上取一点 Q 使 E Q E B 由 1 的结论知 F Q F C E 因 F Q C 图3 1 8 o 一 厶 1 E B C 尸 B c 所 以 C P Q四点共圆 故 B C P B Q E 1 1 1 8 0 一 B E Q B C F 于是 C P平分 B C F 三 将 2 6个数 由小到大按升幂排列 把 最小数编号为 1 对后续数 的编号原则为 如 果它前面的数都不能整除它 就将这个数编 号为 l 如果它前面的数有的能整除它 设能 够整除它的数中最大编号为 就将这个数 编号为 k 1 当将 2 6个数全部编号后 可以 证 明这 2 6个数 中一定有编号为 6的数 假设没有编号为 6的数 即这 2 6个 数的 编号只能是 1 2 3 4 5 由抽屉原则知 一定有六个数编号相同 则这六个数必然不能相互整除 与已知矛盾 因此 这2 6 个数中一定有编号为6的数 如果有一个数编号为 6 这说明它有一 个编号为 5的因数 同理 这个数有一个编号 为 4的因数 这样 就得到由六个数组成 的因数链 其中每一个数都能被下一个数整 除 显然 这六个数中最大的一个能被其余五 个数整除 问题得证 四 最大值是 6 7 3 首先 船长可 以确保得 到不少 于 6 7 3枚 金币 事实上 当船长把金币分成的 3堆数 目 分别为 6 7 1 6 7 0 6 6 8时 1 若 b 6 7 1 则 船长 可得 到不少 于 6 7 1 2 6 7 3枚 2 若 b 6 7 1 则因 b 1 6 7 3 枚 其次 船长无法确保得到多于 6 7 3枚 金币 事实上 1 若 a 1 6 7 1 则 a 2 6 7 1 则因 6 6 8 5 0 3 5 故 a 1 2 0 02 当b 1 a l 一 2 b 2 a 2 1 b 3 a 3 l 时 船长 至多可得 2 3 1 6枚 若 a 3 1 则 2 a 2 a 2 a 3 a 2 一a 3 中 等 数 学 2 0 09 67 2 2 l 3 3 9 2 6 7 2 6 6 9 3 当 b l a 1 1 b 2 a 2 2 b 3 a 3 1 时 船长至多可得 a 2 2 6 7 1枚 第 二 天 五 联结 A B交 C于点 由于曰 Q 4 尸 则四边形A P B Q是梯形 甄以 S M s P M 故 S O A Q P B s o B s M So A M P B s M P S A B 为定值 即五边形 O A Q P B的面积与点 C P 的选取无关 六 因为 2 y 所 以 Y 3 故只要证 一 v 2 而 0 0 9 2 0 0 8 o 0 9 L 2 O 09 x 同理 Y 2 0 0 8 2 O 0 9 y 2 00 8 2 0 09 z 所以 只要证 南 吾 舒 寿 9 铮 导 而式 左边 1 H 一 z 詈 综上 原不等式成立 七 由 n y 一1 n y n y n y一1 争 n y一1 一1 n x y n y一1 一11 还是 x y 1 以上不等 式组对任意的正整数都不能恒成立 因此 x y 1 故 一 一 1 y 铮 一 1时 显然 成立 当 0 y l 时 取 1 则 1 解得 y n一 1n y 1 n一 一 上 所 以 n y 凡一 2 一1 y 于 是 J I t l 矛 盾 综上 x y 1 且 Y是大于 1的无理数 最 J 数为2 1 0 2 4 2 1 0 2 3 1 0 一1 证明 由于 2 0 9 1 1 1 9 20 9 9 23 2 故该数至少为 2 4位 且被 1 1 和 1 9整除 1 如果该数为 2 4位数 设从 右向左数 其第 i 位 的数字为 a 1 i 2 4 该数设 为 S 则 2 4 2 4 S Y 2 1 0 i 1 i 1 o m o d 1 1 设 S I a l a 3 a 2 3 a2 a4 a2 4 则 S 1 s 2 ro o d 1 1 2 0 0 9年第 l 0期 3 5 数 孥 游蜃窘劫 铡傲澄 1 2 2 第 一 试 一 选择题 每小题 7分 共 4 2分 1 已知 是无理数 且 1 X 3 是 有理数 在上述假定下 有下面四个结论 是有理数 一 1 一 3 是无理数 1 是有理数 一 1 是无理数 其 中 正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 已知关于 的方程 父 昔 一 0 1 4 2 J 当 a为某些正整数时 方程的解为正整数 则 正整数 的最小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 3 设 a b N 且满足 5 6 r 上 b 5 9 0 9 a A C 点 D 分 别 在 A B A C 上 且 B D C E 取 B E C O的中点 直线 I N分 别交 A B A C于 点 P 9 则 C 1 8 0 D 1 8 2 A 图 1 C 又 S S 2 0 9 由于 S 5 中的最大数 不大于 1 0 8 则最小数不小于 1 0 1 其差 的绝 对值不大于7 而 s 5 一奇一偶 故 s 5 0 即 S 1 S 2 roo d 1 1 矛盾 所以 满足条件的数至少为 2 5位 2 如果该数为 2 5位数 类似上面 的设 法 令该数为 S S1 0l a3 a2 5 S2 a 2 a4 a2 4 1 如果 a 巧 1 由于 s S 中的最大数不 大于 1 0 9 则最小数 不小 于 1 0 0 其差的绝对 值不大于 9 而 s s 一奇一偶 故 s 一 S 0 即 S S ro o d 1 1 此 时 不存在满 足条 件的数 2 如果 a 2 由于 5 中的最大数不 大于 1 1 0 则最小数不小于 9 9 其差的绝对值 不大于 1 1 而 S 一奇一偶 故 s 一 S 2 0 只有 S 1 1 0 S 9 9可能满足条件 此时 口l a 3 a 2 3 9 i 如果 a 0 则该数为 S 2 1 0 1 0 一1 除以 1 9 余 5 不满足条件 i i 如果 a 1 则该数为 S 2 X 1 0 2 X 1 0 一1 1 O 其中 为奇数 由于 2 X 1 0 2 1 0 一1