江苏省南京市高二数学下学期期中试题 理（含解析）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省南京市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共计70分将正确答案填入答题纸的相应横线上）1（5分）某工厂生产a、b、c 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中a种型号的产品有15件，则样本容量n=75考点：分层抽样方法专题：概率与统计分析：设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量解答：解：设出样本容量为n，由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，=，n=75，故答案为：75点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样2（5分）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为73分钟考点：茎叶图；众数、中位数、平均数专题：计算题；概率与统计分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间解答：解：由茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，69，72，78，80，83运动员的平均训练时间为：（64+65+69+72+78+80+83）=73故答案为：73点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值3（5分）设（2x3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4=1考点：二项式定理的应用专题：计算题；概率与统计分析：在等式（2x3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中，令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4 的值解答：解：在等式（2x3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中，令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4=1，故答案为 1点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题4（5分）如图所示的伪代码运行后输出的结果为22x5y20ifx0thenxy3elseyy+3endifprintxy考点：伪代码专题：图表型分析：利用条件语句，确定变量的赋值方法，即可求得结论解答：解：由题意，若x0，则将y3赋给x；若x0，则将y+3赋给xx=5，y+3=20+3=17，xy=5+17=22故答案为：22点评：本题考查伪代码，考查学生的读图能力，属于基础题5（5分）同时掷两颗骰子，得到的点数和为4的概率是考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：概率与统计分析：正确列举基本事件数，找出点数之和为4的，由概率公式可得答案解答：解：同时掷两颗骰子得到的点数共有36种情况，即（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6），（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6），（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6），而和为4的情况数有3种，即（1，3）（2，2）（3，1）所以所求概率为=，故答案为：点评：本题考查列举法求解等可能事件的概率，属基础题6（5分）五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是考点：极差、方差与标准差专题：计算题分析：根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差解答：解：由已知，1，2，3，4，a的平均数是3，即有（1+2+3+4+x）5=x，易得x=5根据方差计算公式得s2=（13）2+（23）2+（33）2+（43）2+（53）2=10=2所以标准差s=故答案为：点评：本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算属于简单题7（5分）某程序框图如图所示，则输出的s=10考点：循环结构专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出s=1+2+3+4的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出s=1+2+3+4，又1+2+3+4=10故答案为：10点评：本题考查循环结构，解本题的关键是看懂程序执行的过程，读懂其运算结构及执行次数8（5分）从一群游戏的孩子中抽出k人，每人扎一条红带，然后让他们返回继续游戏，一会儿之后，再从中任取m人，发现其中有n人扎有红带，估计这群孩子的人数为考点：等可能事件的概率专题：计算题；概率与统计分析：本题是一个情景问题，由问题描述知k个小孩在总体中所占的比例是，由此比例关系计算出总共多少人选出正确选项解答：解：由题意，k个小孩在总体中所点的比例是，故总体的人数是k=故答案为：点评：本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，理解题意，由题中描述得出k个小孩在总体中所点的比例是解题的关键，本题是实际背景的情景的问题，要注意与抽样中样本与总体这些术语的对应，从而得到计算方法9（5分）（+x）n展开式中所有奇数项的系数和为512，则展开式中第3项为考点：二项式系数的性质专题：计算题；概率与统计分析：根据题意结合二项式系数的性质求得n=10，再根据二项式展开式的通项公式求得展开式中第3项解答：解：由于（+x）n展开式中所有奇数项的系数和为512，故所有偶数项的系数和也等于512，故展开式中所有项的系数和为2512=2n，解得n=10故展开式的第三项为 t3=x2=，故答案为 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题10（5分）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有108个考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；概率与统计分析：若末尾是0，这样的四位数共有 个若末尾是5，则最高位不能是0，共有4=48个，再把这2个值相加，即得所求解答：解：若末尾是0，则其余的位任意排列，则这样的四位数共有 =60个，若末尾是5，则最高位不能是0，故最高位的排法有4种，中间2个位任意排，共有4=48个，综上，能被5整除的数共有 60+48=108个，故答案为 108点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题11（5分）1100c+1002 c1003 c+（1）k100k c+10010 c除以97的余数是54考点：二项式定理的应用专题：计算题；概率与统计分析：所给的式子即 （1100）10=（97+2）10=+故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求解答：解：由于1100c+1002 c1003 c+（1）k100k c+10010=（1100）10=（97+2）10=+显然，展开式中，除了最后一项外，其余的各项都能被97整除，故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求而展开式中最后一项为1024，它除以97的余数为54，故答案为 54点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现额转化的数学思想，属于中档题12（5分）6名同学站成一排合影，若甲乙两名同学之间恰有两名同学，共有144种不同的排法考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；概率与统计分析：先排好甲乙，方法有2种；再向甲乙二人之间插入2个同学，方法有种；把这4个人看成一个整体，再与其余的2个人全排列，方法共有 种再根据分步计数原理求得结果解答：解：先排好甲乙，方法有2种；再向甲乙二人之间插入2个同学，方法有=12种；把这4个人看成一个整体，再与其余的2个人全排列，方法共有 =6种再根据分步计数原理求得所有的排列数共有 2126=144种，故答案为 144点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于中档题13（5分）（2013静安区一模）求和：=n2n1（nn*）考点：二项式定理专题：计算题分析：根据 （1+x）n=+，两边同时对x求导，再令 x=1，可得答案解答：解：（1+x）n=+，两边同时对x求导可得 n（1+x）n1=+2+3+n令 x=1可得，n2n1=，故答案为 n2n1点评：本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，属于中档题14（5分）把5名新同学分配到高一年级的a、b、c三个班，每班至少分配1人，其中甲同学已分配到a班，则其余同学的分配方法共有50种考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；概率与统计分析：若a班只有甲一人，则b班可能有1人、二人、三人，分配方案共有 + 种若甲班有2人，则b班可能有1人、二人，分配方案共有 +=24 种若甲班有3人，则b班只能有1人，分配方案共有 种再把求得的这三个数相加，即得所求解答：解：若a班只有甲一人，则b班可能有1人、二人、三人，故分配方案共有 +=14种若甲班有2人，则b班可能有1人、二人，则分配方案共有 +=24 种若甲班有3人，则b班只能有1人，则分配方案共有 =12种综上，其余同学的分配方法共有50种，故答案为 50点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）15（14分）（2009泰安一模）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）、第二组160，165）；第八组190，195，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|xy|5的事件概率考点：频率分布直方图；等可能事件的概率专题：计算题分析：（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率=，计算可得答案（2）由等差数列可算出第六组、第七组人数，再算出小矩形的高度即可补图；（3）本小题是属于古典概型的问题，算出事件|xy|5所包含的基本事件个数m，和基本事件的总数n，那么事件的概率p（a）=解答：解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）5=0.82，后三组频率为10.82=0.18，人数为0.1850=9人（2分）这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为8000.18=144人（4分）（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.0085=0.04，人数为0.0450=2人，设第六组人数为m，则第七组人数为92m=7m，又m+2=2（7m），所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06，（6分）频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图（8分）（3）由（2）知身高在180，185内的人数为4人，设为a，b，c，d身高在190，195的人数为2人，设为a，b若x，y180，185时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况若x，y190，195时，有ab共一种情况若x，y分别在180，185，190，195内时，有aa，ba，ca，da，ab，bb，cb，db共8种情况所以基本事件的总数为6+8+1=15种（12分）事件|xy|5所包含的基本事件个数有6+1=7种，故（14分）点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1频率、频数的关系：频率=，同时还考查了古典概型的计算16（14分）设o为坐标原点，点p的坐标为（x2，xy）（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现随机从此盒中先后连续抽出两张卡片，记两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点p在第一象限的概率；（2）若利用计算机随机在区间0，3上先后取两个数分别记为x、y，求点p在第一象限的概率考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题：计算题；概率与统计分析：（1）记抽到的卡片标号为（x，y），先求出所有情况，再求出“点p在第一象限”的情况，利用古典概型公式，可得结论；（2）先确定“点p在第一象限”对应的不等式与面积，再求出所表示的区域面积，利用几何概型的概率公式，可得结论解答：解：（1）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为：（x，y）（1，2）（1，3）（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）p（x2，xy）（1，1）（1，2）（0，1）（0，1）（1，2）（1，1）共6种记事件a为“点p在第一象限”，则由表格可知满足事件a的（x，y）有（3，1），（3，2）两种情况，p（a）=；（2）记事件b为“点p在第一象限”，由，可得其所表示的区域面积为33=9由题意可得事件b满足，即如图所示的阴影部分，其区域面积为=p（b）=点评：本题考查概率的计算，区分古典概型与几何概型是关键17（14分）已知二项式（2+x2）8，求：（1）二项展开式第3项的二项式系数；（2）二项展开式第8项的系数；（3）系数最大的项考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质专题：计算题；概率与统计分析：（1）由于二项展开式第3项的二项式系数为 ，运算求得结果（2）求出二项展开式第8项，即可得到二项展开式第8项的系数（3）由，解得 2r3，rn，所以，r=2 或3，由此可得系数最大的项解答：解：（1）由于二项展开式第3项的二项式系数为 =28（3分）（2）二项展开式第8项为 t8=2（x2）7=16 x14，故二项展开式第8项的系数为16（8分）（3）由 （10分）解得 2r3，rn，所以r=2 或3（14分）所以，系数最大的项为t3=1792x4，t4=1792x6（16分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某项的系数，属于中档题18（16分）某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值为r（x）=3700x+45x210x3（万元），成本函数为c（x）=460x+5000（万元）又在经济学中，函数f（x）的边际函数mf（x）定义为m f（x）=f（x+1）f（x）求：（1）利润函数p（x）及边际利润函数m p（x）；（2）年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：应用题；导数的概念及应用分析：（1）由“利润等于收入与成本之差”可求得利润函数p（x），由“边际函数为mf（x），定义为mf（x）=f（x+1）f（x）”可求得边际函数（2）由利润函数p（x）是二次函数，故可以求出函数p（x）的最大值p（x）max；边际利润函数为mp（x）是一次函数，也可以求出其最大值解答：解：（1）p（x）=r（x）c（x）=10x3+45x2+3240x5000（xn，且x1，20），（3分）m p（x）=p（x+1）p（x）=30x2+60x+3275，（xn，且x1，19），（6分）每个定义域（1分）（2）p（x）=30x2+90x+3240（x1，20（7分）=30（x+9）（x12）（8分）当1x12时，p（x）0，p（x）为单调递增；（11分）当12x20时，p（x）0，p（x）为单调递减，（14分）所以x=12时，p（x）取得最大值，（15分）即年造船12艘时，可使公司造船的年利润最大（16分）没答或必要的所有扣（1分）点评：本题考查了利润函数模型的应用，本题中利润函数是二次函数，利用配方法或图象的对称轴，都可以得出函数的最大值，需要注意自变量的取值是正整数19（16分）（2013徐州一模）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，且过点（1）求椭圆e的方程；（2）若点a，b分别是椭圆e的左、右顶点，直线l经过点b且垂直于x轴，点p是椭圆上异于a，b的任意一点，直线ap交l于点m（）设直线om的斜率为k1，直线bp的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（）设过点m垂直于pb的直线为m求证：直线m过定点，并求出定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明解答：解：（1）由题意得2c=2，c=1，又，a2=b2+1消去a可得，2b45b23=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，椭圆e的方程为（2）（）设p（x1，y1）（y10），m（2，y0），则，a，p，m三点共线，p（x1，y1）在椭圆上，故为定值（）直线bp的斜率为，直线m的斜率为，则直线m的方程为，=，即所以直线m过定点（1，0）点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键善于利用已经证明过的结论是解题的技巧20（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（2）求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值；（3）若存在x1，e，使得f（x）（a+2）x成立，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：压轴题；解题方法分析：（1）当a=2时故函数 在（1，+）