高考数学《直线和圆》专题 曲线与方程学案.doc

典型例题基础过关第4课时 曲线与方程、1直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）2求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等例1. 如图所示，过点p（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于a，l2交y轴于b，求线段ab中点m的轨迹方程.解 ：设点m的坐标为（x,y）,m是线段ab的中点，a点的坐标为（2x,0），b点的坐标为（0，2y）.=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知=0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.线段ab中点m的轨迹方程为x+2y-5=0.变式训练1：已知两点m（-2，0）、n（2， 0），点p为坐标平面内的动点，满足|+ =0，求动点p（x，y）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,|+=0，+（x-2）4+y0=0，两边平方，化简得y2=-8x.例2. 在abc中，a为动点，b、c为定点，b,c且满足条件sinc-sinb=sina,则动点a的轨迹方程是（ ）a.=1 (y0)b.=1 (x0)c.=1（y0）的左支d.=1（y0)的右支答案d变式训练2：已知圆c1：(x+3)2+y2=1和圆c2：（x-3）2+y2=9,动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，求动圆圆心m的轨迹方程.解 如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b，根据两圆外切的充要条件，得|mc1|-|ac1|=|ma|，|mc2|-|bc2|=|mb|.因为|ma|=|mb|，所以|mc2|-|mc1|=|bc2|-|ac1|=3-1=2.这表明动点m到两定点c2，c1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点m的轨迹为双曲线的左支（点m到c2的距离大，到c1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点m的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x-1).例3. 如图所示，已知p（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，a、b是圆上两动点，且满足apb=90，求矩形apbq的顶点q的轨迹方程.解 设ab的中点为r，坐标为（x1，y1），q点坐标为（x，y），则在rtabp中，|ar|=|pr|，又因为r是弦ab的中点，依垂径定理有rtoar中，|ar|2=|ao|2-|or|2=36-（）.又|ar|=|pr|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因为r为pq的中点，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得-10=0.整理得x2+y2=56.这就是q点的轨迹方程.变式训练3：设f（1，0），m点在x轴上，p点在y轴上，且=2，当点p在y轴上运动时，求点n的轨迹方程.解 设m（x0，0），p（0，y0），n（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），即,=(x0,-y0), =(1,-y0),(x0,-y0)（1，-y0）=0,x0+=0.小结归纳-x+=0,即y2=4x.故所求的点n的轨迹方程是y2=4x. 1直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条