高考数学一轮复习 第三章 三角函数 3.2 三角函数的图象和性质课件.ppt

高考数学 江苏省专用 3 2三角函数的图象和性质 1 2016江苏 9 5分 定义在区间 0 3 上的函数y sin2x的图象与y cosx的图象的交点个数是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案7 解析解法一 在同一平面直角坐标系中作出y sin2x与y cosx在区间 0 3 上的图象 如图 由图象可知 共有7个交点 解法二 由sin2x cosx cosx 0或sinx 因为x 0 3 所以x 故两函数图象的交点个数是7 2 2017江苏 16 14分 已知向量a cosx sinx b 3 x 0 1 若a b 求x的值 2 记f x a b 求f x 的最大值和最小值以及对应的x的值 解析 1 因为a cosx sinx b 3 a b 所以 cosx 3sinx 若cosx 0 则sinx 0 与sin2x cos2x 1矛盾 故cosx 0 于是tanx 又x 0 所以x 2 f x a b cosx sinx 3 3cosx sinx 2cos 因为x 0 所以x 从而 1 cos 于是 当x 即x 0时 f x 取到最大值3 当x 即x 时 f x 取到最小值 2 考点一三角函数的图象及其变换1 2017课标全国 理改编 9 5分 已知曲线c1 y cosx c2 y sin 则下面结论正确的是 把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移个单位长度 得到曲线c2 把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移个单位长度 得到曲线c2 把c1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移个单位长度 得到曲线c2 把c1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移个单位长度 得到曲线c2 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析本题考查三角函数的诱导公式及图象变换 首先利用诱导公式化异名为同名 y sin cos cos cos 由y cosx的图象得到y cos2x的图象 需将曲线c1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 由y cos2x的图象得到y cos的图象 需将y cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度 故填 方法总结 1 三角函数图象变换 伸缩变换 将y sinx图象上的各点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 可得到y sin的图象 将y sinx图象上各点的纵坐标变为原来的a倍 横坐标不变 可得到y asinx的图象 平移变换 函数图象的平移变换遵循 左加右减 的法则 但是要注意平移量是指自变量x的变化量 2 解决三角函数图象变换题时 若两函数异名 则通常利用公式sinx cos和cosx sin将异名三角函数转化为同名三角函数 然后分析变换过程 2 2016课标全国 改编 6 5分 将函数y 2sin的图象向右平移个周期后 所得图象对应的函数为 答案y 2sin 解析该函数的周期为 将其图象向右平移个单位后 得到的图象对应的函数为y 2sin2 2sin 3 2016四川改编 4 5分 为了得到函数y sin的图象 只需把函数y sinx的图象上所有的点向平移个单位长度 答案左 解析根据 左加右减 的原则可知 把函数y sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得y sin的图象 评析本题考查三角函数图象的平移变换 4 2016四川理改编 3 5分 为了得到函数y sin的图象 只需把函数y sin2x的图象上所有的点向平移个单位长度 答案右 解析将y sin2x的图象向右平行移动个单位长度得到y sin sin的图象 解后反思将y sin化为y sin是解题的关键 5 2015湖南改编 9 5分 将函数f x sin2x的图象向右平移 个单位后得到函数g x 的图象 若对满足 f x1 g x2 2的x1 x2 有 x1 x2 min 则 答案 解析g x sin 2 x sin 2x 2 f x 1 g x 1 f x1 g x2 2 当且仅当f x1 1 g x2 1或f x1 1 g x2 1时 满足 f x1 g x2 2 不妨设a x1 1 是函数f x 图象的一个最低点 b x2 1 是函数g x 图象的一个最高点 于是x1 k1 k1 z x2 k2 k2 z x1 x2 x1 x2 又 x1 x2 min 即 评析本题考查三角函数的图象与性质 对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高 要求考生能准确地画图并理解题意 属中等难度题 6 2014辽宁改编 9 5分 将函数y 3sin的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数在区间上单调递增 答案 k z 评析本题主要考查三角函数图象变换及正弦函数性质 难度不大 解析函数y 3sin的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数为y 3sin 3sin 由2k 2x 2k k z 得该函数的递增区间为k k k z 7 2013湖北理改编 4 5分 将函数y cosx sinx x r 的图象向左平移m m 0 个单位长度后 所得到的图象关于y轴对称 则m的最小值是 答案 8 2015湖北 17 11分 某同学用 五点法 画函数f x asin x 在某一个周期内的图象时 列表并填入了部分数据 如下表 1 请将上表数据补充完整 并直接写出函数f x 的解析式 2 将y f x 图象上所有点向左平行移动 0 个单位长度 得到y g x 的图象 若y g x 图象的一个对称中心为 求 的最小值 解析y f x cosx sinx 2sin 向左平移m m 0 个单位长度后得f x m 2sin 图象关于y轴对称 令x 0 得 2 从而m 2k k z 故m 2k 或m 2k k z 又m 0 所以mmin 解析 1 根据表中已知数据 解得a 5 2 数据补全如下表 且函数表达式为f x 5sin 2 由 1 知f x 5sin 得g x 5sin 因为y sinx的对称中心为 k 0 k z 令2x 2 k k z 解得x k z 由于函数y g x 的图象关于点中心对称 令 k z 解得 k z 由 0可知 当k 1时 取得最小值 答案 解析 f x sin cos cosx sinx sinx cosx 2sin sin f x 的最大值为 一题多解 cos cos sin sin f x sin f x max 2 2017课标全国 文 13 5分 函数f x 2cosx sinx的最大值为 答案 解析本题主要考查三角函数的最值 由题意可知f x 2cosx sinx sin x tan 2 f x 的最大值为 3 2017课标全国 理 14 5分 函数f x sin2x cosx 的最大值是 答案1 解析本题主要考查三角函数的最值 由题意可得f x cos2x cosx 1 x cosx 0 1 当cosx 时 f x max 1 4 2016课标全国 理改编 7 5分 若将函数y 2sin2x的图象向左平移个单位长度 则平移后图象的对称轴为 答案x k z 解析将函数y 2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y 2sin2 2sin的图象 由2x k k z 可得x k z 则平移后图象的对称轴为x k z 易错警示本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y 2sin的图象 5 2017浙江 18 14分 已知函数f x sin2x cos2x 2sinxcosx x r 1 求f的值 2 求f x 的最小正周期及单调递增区间 解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识 同时考查运算求解能力 1 由sin cos f 2 得f 2 2 由cos2x cos2x sin2x与sin2x 2sinxcosx得f x cos2x sin2x 2sin 所以f x 的最小正周期是 由正弦函数的性质得 2k 2x 2k k z 解得 k x k k z 所以 f x 的单调递增区间是 k z 6 2015山东 16 12分 设f x sinxcosx cos2 1 求f x 的单调区间 2 在锐角 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若f 0 a 1 求 abc面积的最大值 解析 1 由题意知f x sin2x 由 2k 2x 2k k z 可得 k x k k z 由 2k 2x 2k k z 可得 k x k k z 所以f x 的单调递增区间是 k z 单调递减区间是 k z 2 由f sina 0 得sina 由题意知a为锐角 所以cosa 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa 可得1 bc b2 c2 2bc 即bc 2 且当b c时等号成立 因此bcsina 所以 abc面积的最大值为 评析本题考查三角恒等变换 三角函数的图象与性质以及解三角形等基础知识和基本方法 对运算能力有较高要求 属中等难度题 1 2016课标全国 14 5分 函数y sinx cosx的图象可由函数y 2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到 c组教师专用题组 答案 解析函数y sinx cosx 2sin的图象可由函数y 2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到 2 2015福建 19 13分 已知函数f x 的图象是由函数g x cosx的图象经如下变换得到 先将g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 再将所得到的图象向右平移个单位长度 1 求函数f x 的解析式 并求其图象的对称轴方程 2 已知关于x的方程f x g x m在 0 2 内有两个不同的解 i 求实数m的取值范围 ii 证明 cos 1 解析解法一 1 将g x cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 得到y 2cosx的图象 再将y 2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y 2cos的图象 故f x 2sinx 从而函数f x 2sinx图象的对称轴方程为x k k z 2 i f x g x 2sinx cosx sin x 依题意知 sin x 在 0 2 内有两个不同的解 当且仅当 1 故m的取值范围是 ii 证明 因为 是方程sin x m在 0 2 内的两个不同的解 所以sin sin 当1 m 时 2 即 2 当 m 1时 2 即 3 2 所以cos cos 2 2sin2 1 2 1 1 解法二 1 同解法一 2 i 同解法一 ii 证明 因为 是方程sin x m在 0 2 内的两个不同的解 所以sin sin 当1 m 时 2 即 当 m 1时 2 即 3 所以cos cos 于是cos cos cos cos sin sin cos2 sin sin 1 评析本题主要考查三角函数的图象与性质 三角恒等变换等基础知识 考查运算求解能力 抽象概括能力 推理论证能力 考查函数与方程思想 分类与整合思想 化归与转化思想 数形结合思想 3 2013福建理 20 14分 已知函数f x sin x 0 0 的周期为 图象的一个对称中心为 将函数f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g x 的图象 1 求函数f x 与g x 的解析式 2 是否存在x0 使得f x0 g x0 f x0 g x0 按照某种顺序成等差数列 若存在 请确定x0的个数 若不存在 说明理由 3 求实数a与正整数n 使得f x f x ag x 在 0 n 内恰有2013个零点 解析 1 由函数f x sin x 的周期为 0 得 2 又曲线y f x 的一个对称中心为 0 故f sin 0 得 所以f x cos2x 将函数f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 后可得到y cosx的图象 再将y cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g x cos的图象 所以g x sinx 2 当x 时 cos2x sinxcos2x 问题转化为方程2cos2x sinx sinxcos2x在内是否有解 设g x sinx sinxcos2x 2cos2x x 则g x cosx cosxcos2x 2sin2x 2 sinx 因为x 所以g x 0 g x 在内单调递增 又g 0 且函数g x 的图象连续不断 故可知函数g x 在内存在唯一零点x0 即存在唯一的x0 满足题意 3 依题意得 f x asinx cos2x 令f x asinx cos2x 0 当sinx 0 即x k k z 时 cos2x 1 从而x k k z 不是方程f x 0的解 所以方程f x 0等价于关于x的方程a x k k z 现研究x 0 2 时方程a 的解的情况 令h x x 0 2 则问题转化为研究直线y a与曲线y h x x 0 2 的交点情况 h x 令h x 0 得x 或x 当x变化时 h x h x 的变化情况如下表 当x 0且x趋近于0时 h x 趋向于 当x 且x趋近于 时 h x 趋向于 当x1时 直线y a与曲线y h x 在 0 内无交点 在 2 内有2个交点 当a 1时 直线y a与曲线y h x 在 0 内有2个交点 在 2 内无交点 当 1 a 1时 直线y a与曲线y h x 在 0 内有2个交点 在 2 内有2个交点 由函数h x 的周期性 可知当a 1时 直线y a与曲线y h x 在 0 n 内总有偶数个交点 从而不存在正整数n 使得直线y a与曲线y h x 在 0 n 内恰有2013个交点 又当a 1或a 1时 直线y a与曲线y h x 在 0 2 内有3个交点 由周期性 2013 3 671 所以依题意得n 671 2 1342 综上 当a 1 n 1342或a 1 n 1342时 函数f x f x ag x 在 0 n 内恰有2013个零点 填空题 每题5分 共25分 1 2017江苏如东高级中学第二次学情调研 8 函数y tan的单调增区间为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 25分钟分值 25分 答案 k z 解析由题意得k x k k z 得k x k k z 故答案为 k z 2 2017江苏南通中学高三上学期期中 7 函数y 2sin的图象与y轴最近的对称轴方程是 答案x 解析由题意得2x k k z x k z 因此与y轴最近的对称轴方程是x 3 2016江苏扬州中学月考 7 关于x的方程cos2x 4sinx a 0有解 则实数a的取值范围是 答案 4 4 解析由cos2x 4sinx a 0得a cos2x 4sinx sin2x 4sinx 1 sinx 2 2 5 因为 1 sinx 1 所以 4 a 4 即实数a的取值范围是 4 4 4 2016江苏常州武进期中 9 已知函数f x 2sin x 的图象与直线y m的三个交点的横坐标分别为x1 x2 x3 其中x1 x2 x3 那么x1 2x2 x3的值为 答案 解析 0 x x 1 sin 1 要满足直线y m与f x 的图象有三个交点 需1 m 2 不妨令m 1 则sin x1 0 x2 x3 2 x1 2x2 x3 5 2015江苏无锡一模 10 设函数f x sin x cos x 的最小正周期为 且满足f x f x 则函数f x 的单调增区间为 答案 k z 解析f x sin x cos x 2sin 由题意得 2 f x f x 且 f x 2cos2x 由2k 2x 2k k z 得函数f x 的单调增区间为 k z 一 填空题 每题5分 共15分 1 2017江苏如东高级中学第二次学情调研 函数f x asin x 的部分图象如图所示 现将函数y f x 的图象向右平移个单位后 得到函数y g x 的图象 则函数g x 的解析式为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 35分 答案g x sin 解析由题图得a 1 t 所以t 故 2 所以sin 1 结合 得 所以f x sin 将f x 的图象向右平移个单位后得g x sin sin的图象 故g x sin 思路分析由图可知 a 1 t 从而得 由f 1 结合 可求得 从而