第七章 空间问题的基本理论.doc

第七章 空间问题的基本理论7-1 平衡微分方程图7-1在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于从标轴，而棱边的长度为，图7-1。一般而论，应力分量是位置坐标的函数。因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例如，作用在后面的正应力是，由于坐标改变了作用在前面的正应力应当是，余类推。由于所取的六面体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。首先，以连接六面体前后两中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程：略去微量以后，得。同样可以得出只是又一次证明了切应力的互等性。其次，以轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得由其余2个平衡方程，和，可以得出与此相似的2个方程。将这3个方程约简以后，除以，得 （7-1）这就是空间问题的平衡微分方程。7-2 物体内任一点的应力状态ZnC现在，假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，图7-2。当四面体PABC无限减小而趋于P点，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。XXYPzYXYPxPyYZZXBXYAXYX图7-2命平面ABC的外法线为，其方向余弦为。 设三角形ABC面积为，则三角形BPC，CPA，APB的面积分别为，。四面体PABC的体积用代表。三角形ABC上的全应力在坐标轴上的投影用代表。根据四面体的平衡条件，得：。（7-3）。 （7-4） 如果在S 面上作用面力，则面力和应力的关系式为： (在上) （7-5）其中是应力分量的边界值。这就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。7-3 主应力 最大与最小的应力设经过一点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。假设在P点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为。将式（7-2）代入，即得 （a）此外还有方向余弦的关系式 。 （b）如果将式（a）与（b）联立求解，能够得出的一组解答，就得到P点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。用下述方法求解，比较方便。将式（a）改写为 (c)这是的3个齐次线性方程。因为由式（b）可见不能全等于零，所以这三个方程的系数的行列式式等于零，即用式代替，将行列式展开，得的三次方程 （7-6）证明：在受力物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。1、体内的任意一点，三个互相垂直的面上的正应力之和是不变量（不随坐标系而变的量），并且等于该点的三个主应力之和。2、三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。3、又可见，在三个主应力相等的特殊情况下，所有各截面上的正应力都相同（也就等于主应力），而切应力都等于零。4、最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主误码力的夹角”的平面上。7-4 几何方程及物理方程 1 几何方程现在来考虑空间问题的几何学方面。在空间问题中，形变分量与位移分量应当满足下列六个方程，即空间问题的几何方程： （7-8）其中的第一式、第二式和第六式已在2-4中导出，其余三式可用同样的方法导出。此外，在物体的给定约束位移的边界上，位移分量还应当满足下列三个位移边界条件，即空间问题的位移边界条件： （在上） （7-9）此三式的等号左边是位移分量的边界值，等号右边是该边界上的约束位移分量的已知值。 2、几个重要概念。设有微小的正平行六面体，其棱边的长度为。在变形之前，它的体积是；在变形之后，它的体积将成为。因此，它的每单位体积的体积改变，也就是所谓， 其公式为由位移和形变量是微小的假定，可略去线应变的乘积项（更高阶的微量），则上式简化为。 （7-10）将几何方程（7-8）中的前三式代入，得 。 （7-11）它表明体应变与位移分量之间的简单微分关系。 物理方程： （7-14） 将上式的三个应变分量相加得： 设 为一个不变量 得空间问题的虎克定律： 上式的就称为 称为 第五节 轴对称问题的基本方程在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于一轴。这就问题称为空间轴对称问题。首先来导出对称问题的平衡微分方程。用相距的两个圆柱，互成角的两个沿直面及相距的两个水平面，从弹性全割取一个微小六面体PABC，图7-4。沿方向的正应力，称为径向正向应力，用代表；沿方各听正应力，称为环向正应力，用代表；沿方向的正应力，称为轴向正应力，代然用代表；作用在圆柱面上而沿方向作用的切应力用代表，作用在水平面上而沿方向作用的切应力用代表。根据切应力的互等性，。由于对称性，及都不存在。这样，总共只有四个应力分量：，一般都是和 的函数。 Z fZ d f Z Z Z y x图7-4将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上，取及分别近似地等于及1，得平衡方程中得空间轴对称问题的平衡微分方程如下： （7-15）现在来导出轴对称问题的几何方程。沿方向的线应变，称为径向线应变，用代表；沿方向的线应变，称为环向线应，用代表；沿方向的线应变，称为轴向线应变，仍然用代表；方向与方向之间的直角的改变用代表。由于对称，及都等于零。沿方向的位移分量称为径向位移，用代表；沿方向的位移分量称为轴向位移，用代表。由于对称，环向位移。通过与2-4及4-2中同样的分析，可见，由于径向位移引起的形变是。将以上两组形变相叠加，得空间轴对称问题的几何方程。 （7-16）由于柱坐标和直角坐标同样也是正交坐标，所以物理方程基本形式可以直接根据胡克定律得来： （7-17）将式（7-17）中的前三式相加，仍然得到，其中的体应变为， （7-18）而体积应力为 。 （7-19）通过与7-4中同样的处