高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理课件 北师大版选修22.ppt

4 2微积分基本定理 微积分基本定理 1 条件 连续函数f x 是函数f x 的导函数 即f x f x 名师点拨1 微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系 揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系 为计算定积分提供了一个简单有效的方法 转化为计算函数f x 在积分区间上的增量 2 用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足f x f x 的函数f x 再计算f b f a 3 利用微积分基本定理求定积分 有时需先化简函数 再求定积分 答案 f x lnx c c为常数 答案 7 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在题后的括号内画 错误的画 1 运用微积分基本定理求定积分与求导数运算是互逆运算 2 因为被积函数f x 的原函数不唯一 所以f x dx也不唯一 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求简单的定积分 例1 求下列定积分的值 分析 根据微积分基本定理 关键是求相应被积函数的一个原函数 解 1 x2 3x 2x 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟由微积分基本定理求定积分的步骤及注意点第一步 求被积函数f x 的一个原函数f x 第二步 计算函数的增量f b f a 注意 当被积函数为两个函数的乘积时 一般要转化为和的形式 便于求得函数f x 再计算定积分 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1求下列定积分 解 1 x2 2 2 x4 4x2 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求分段函数的定积分 分析 f x 在区间 0 3 上的积分可按照f x 的分段标准 分成在区间 0 1 1 2 2 3 上三段的积分之和 解 由定积分的性质知 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟计算分段函数的定积分1 分段函数在区间 a b 上的积分可分成几段积分的和的形式 2 分段的标准是使每一段上的函数表达式确定 一般按照原函数分段的情况分即可 3 当被积函数含有绝对值时 常常去掉绝对值号 转化为分段函数的定积分再计算 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 微积分基本定理的应用 分析 先求出定积分 再利用函数奇偶性列出方程组求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 g x x3 ax为奇函数 0 3a b 3a b 6a 2b 6a 2b 2a 6 即2a b 3 3a b 0 由 得a 3 b 9 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟定积分的逆运算是一个新的关注点和高考创新点 一般是将积分上限或下限参数化 在求定积分的表达式后要求将其函数化 然后再与函数的性质 最值等结合在一起进行考查 解决此类问题的关键是分清各变量之间的关系 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知t 0 f x 2x 1 若f x dx 6 则t t 3或t 2 舍 答案 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因对定积分的被积函数的确定出错而致误 典例 求由抛物线y2 8x y 0 与直线x y 6 0及y 0所围成图形的面积 易错分析 本题中阴影部分的面积不能用一个定积分表示 应先分割成两部分再用定积分表示 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 由题意 作出图形如图所示 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得1 利用定积分求平面图形面积时 一般要先画出它的草图 再借助图形直观地确定出被积函数以及积分上限和积分下限 2 当所求面积的图形边界不能用同一个函数来表示时 需借助定积分的性质分段求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 12345 a 6b 5c 4d 3 答案 d 12