美国高中数学邀请赛(AIMEⅡ2014)试题与解答.pdf

上海中学数学 2 0 1 4 年第5 期 美国高中数学邀请赛 A I M E 2 0 1 4 试题与解答 2 0 0 0 0 l上海市格致中学殷琦涛朱兆和 1 亚伯粉刷房子需要1 5 小时 贝亚粉刷房子 的速度比亚伯快5 0 科埃粉刷房子的速度是亚伯 的两倍 开始粉刷时 亚伯先单独工作了1 5 小时 然后贝亚加入进来 两人一起工作 当房子的一半粉 刷完时 科埃也加入进来 三人一起工作 直至房子 粉刷完 问 粉刷完这问房子共用了多少分钟时间 2 阿诺德研究三种健康风险因子A B C 在男 性人口中的流行性 在男性中随机选一人 他仅有一 种健康风险因子 但没有其他两种 的概率是0 15 他仅有其中两种健康风险因子 但没有第三种 的概 率是0 1 4 在同时有A B 两种健康风险因子的男 定理1 等 等 箐 A B m 6 R 十 押EN 下面使用赫尔德不等式证明 证法1 因为茅苦 矛备一1 行1 l z1 1 则原式甘f 令 号 南 盘 6 南 A B 目 丛 1 2 m 者 A B f 笋 1 A 1 B l n 而l A B c 去 南 c 吉 南 A 1E b 南 1 B 口 南 川 责 土 南 日 尚B 南 b S i A A B aD 证法2 令s 一 等 等 南 日 6 南 等 熹口南 1 B n 1 而1 6 南 A B 根据以上不等式 可以用归纳法得到一个更有 用的不等式 之理2 妻私掣 叫m 一 蚤A 矿 kEN 证明 同样 只需将筹看作筹无 性中 有三种健康风险因子的男性的比例是 在没 0 有健康风险因子A 的男性中 没有这三种健康风险 因子的男性的比例是上 其中声 q 是互质的正整 q 数 求P o 的值 3 如图1 1 一个矩形边长分别为a 与3 6 在矩 形的每个顶点与长为3 6 的边的中点处各装了一个铰 链 将长为n 的边向下压 在压的过程中保持长为a 的 边互相平行 得到一个如图1 2 所示的凸六边形 当这 个六边形的长为a 的边互相平行 且距离为2 4 时 六 推论均值 A M G M 不等式的又一种证明 口j n 口 起口 乜i 口 日i I P n n n a 这i T 是均值不等式 2 n n n a 这是均值不等式 当q 1 一行时 q n 1 妻鲁 望 些 J 一1 i A 7 r 1 A I 1 堕垫d 旦 生 沤瓦丽 由 H o l d e r 不等式 2 若m 1 m 2 m 一1 则 m 1 1 m 2 一1 m H 上 土 上 n L lm 2 f l L n 证明 m 1 一1 m 2 一1 m 1 m2 优3 m 1 m 一1 m 一 一一 上 上 土 m f L y t 2 y L 讹 州 川 土 土 土 证明完毕 1 f t IH kn h 柯西不等式在初等数学中起到了无可替代的作 用 较为可惜的是 它较多的时候仅对于平方项有 用 而将赫尔德不等式推论变形 将会起到事半功倍 的效果 1 l j n 一 口 一 口 行 L n 丑 一 吼 m 旧 口 H 行一 淳 一 塾一行 即 万方数据 上海中学数学 2 0 1 4 年第5 期 边形的面积与原来的矩形面积相等 求n 2 的值 图1 4 已知无限循环小数0 去6 与0 h b c 满足0 矗6 00 o 矗 一篙 其中n 6 c 有可能相同 是o 9 的数 t 字 求三位数a b c 的值 5 若r 5 是函数P r 一I r 3 盘 T 4 b 的零点 且 r 4 s 一3 是函数q L r 一 r 34 a d 6 2 4 0 的零点 求所有满足条件的b 的绝对值之和 6 查尔斯有两颗六面骰子 其中一个骰子是质 地均匀的 另一个骰子不均匀 质地不均匀的骰子抛 r 一次 出现6 的概率是 出现其他5 个数的概率均 o 1 是去 查尔斯先从两颗骰子中随机选出一颗 然后 上J 连抛三次 如果前两次抛出的数字都是6 那么第三 次抛出的数字还是6 的概率是尝 其中P q 是互质 q 的正整数 求户 q 的值 7 设厂 T 一 r 2 3 2 正整数玎满足 N l 芝 l g 厂 走 l 一1 求所有满足条件的正整数咒的和 k l 8 已知A B 是半径为2 的o C 的直径 O D 内切 于 C 切点为AO E 内切于 C 外切于O D 且与 线段A B 相切 O D 的半径是O E 半径的三倍 O D 的半径是 m 一咒 其中m 行是正整数 求m 扎的值 9 将1 0 把椅子排成一圈 从中选出若干把椅子 若选出的椅子中至少有三把相邻 求不同选法的种数 1 1 0 复数z 满足I2 l 一2 0 1 4 复数 C O 满足 一 ZI 11 土 土 以z 叫在复平面上的对应点为顶点构成多 Z6 0 边形P 多边形P 的面积是n f i 其中竹为正整数 求Y 被1 0 0 0 除的余数 1 1 在 R E D 中 R D 一1 么D R E 一7 5 么R E D 一4 5 设点M 是线段R D 的中点 点C 在边 E D 上 且R C j E M 延长D E 到点A 使得C A 一 厅 A R 若A E 堑型 其中n c 是互质的正整数 b 是 C 正整数 求a 4 6 C 的值 1 2 A B C 的三个内角A B C 满足c o s 3 A c o s 3 B c o s 3 C 一1 三角形有两边长分别为1 0 与 1 3 设第三边的最大值为 m 其中m 是正整数 求 m 的值 1 3 有1 0 个大人进入一个房间 脱下他们的 鞋 扔成一堆 过了一会儿 进来一个小孩 随机把左 脚的鞋与右脚的鞋配成一双 在配对过程中 不考虑 这两只鞋是否是原来的一双 从小孩配对的1 0 双鞋 中 对小于5 的一切正整数k 不存在k 双鞋恰好是 其中k 个人的鞋 这种情况发生的概率是竺 其中 m 订是互质的正整数 求m 以的值 1 4 在 A B C 中 A B 一1 0 么A 一3 0 么C 一 4 5 点H D M 都在直线B C 上 满足A H 上B C 么B A D C A D 且B M C M 点N 是线段H M 的中点 点P 在射线A D 上 且P N 上B C 若A P 2 一 竺 其中m 咒是互质的正整数 求m 行的值 丌 1 5 对于正整数k 设P k 表示不能整除k 的 最小质数 当声 是 2 时 整值函数X k 是所有小 于p k 的质数的乘积 当p k 一2 时 X 是 一1 设 数列 z 满足z o 一1 且z 1 X L 一T P T 行 o 若丑一2 0 9 0 求正整数t 的最小值 参考答案 1 11 1 5 1 0 一等小时 所以粉刷完这问房子共用了3 3 4 分钟 2 用文氏图 如图2 设三种健康风险因子都有 的概率为T 三种健康因子都没有的概率为y 则有 彳赢一支撕解得1x刚 O 0 70 1 43冽 j 丁 解得 所以 l x q y 1 3 0 1 4 3 0 1 l J 1 予一南一丽2 1 卿夕 q 7 6 图2 3 六边形的面积s 一2 4 a 2 4 叫5 由条件知 2 4 a 1 4 5 3 6 a 所以a l Z E 则a 2 7 2 0 4 因为0 三古一需 0 h b c 丽a b c 所以碧 纛 一磊0 0 即1 1 1a b 1 1a b ci9 92 即 2 2 1 口6 4 1 1 c 一 9 9 2 因为O c 9 所以9 9 2 9 9 2 2 1n 6 9 9 2 得 a b 4 4 则1 1 C 一7 7 c 一7 所以a b c 一4 4 7 5 由题意 r S 一r S 是方程P r 一0 的三 根 r 4 s 一3 一1 一r s 是方程q r 一0 的三个 根 根据韦达定理 a K s 4 r 5 一r s 一 r 4 s 一3 r S 一 J S 一 脊 万方数据 上海中学数学 2 0 1 4 年第5 期 4 7 化简得5 一半 1 又P L r 一 r r r S T r s q T 一 z r 一4 r s 3 r 5 1 则 r r 一4 一s 3 丁 r 5 1 一 z r r S r r S 2 4 0 令 z 1 一r 则有 r s 3 2 r 5 1 6 0 0 将 1 代入有 3 r 7 3 r q 5 8 0 解得r 一1 或r 一一5 当r 一1 时 S 一9 b r s J S 一9 0 当r 一一5 时 s 一一6 6 一r s J S 一一3 3 0 所以所有满足条件的b 的绝对值之和为3 3 0 9 0 4 2 0 6 均匀的骰子抛两次都是6 的概率为去 不均 J b 匀的骰子抛两次都是6 的概率为妻一再1 6 所以前两 了J O 次都是6 的概率为鬈 因为他前两次抛掷都为6 所 1 以他选中均匀骰子的概率为曹一南 选中的是不均 丽 匀骰子的概率为1 一而1 一而1 6 所以第三次还是6 的 概率为詈一南x 百1 十 而1 6 号一盖 则p q 1 6 7 7 当 r 是奇数时 C O S T r z 一一1 所以厂 T 一 T 2 3 x q 2 1 一石可可赢 当 r 是偶数时 c o s 丌L r 一1 所以f C r 一 r 2 3 2 一 r 1 r 2 当行为奇数时 H 一 f k 一F 是 3 4 r 忐 一丽音而一而r b 则毒刑 I 一 l r pJ 2 1 行 2 2 2 台 7 一11 9 心 1 一l1 9 丽 1 一1 9 2 卅2 一1 所以7 2 3 当n 是偶数时 鱼厂 是 一丁南 3 4 r 毛 志 咒 1 以 2 一竺 则 l 厂 志 l Il g 1 7 厂 志 一ll g 半l l 所以 行一1 8 综上知 所有满足条件的正整数理的和为3 1R 一 1 8 如图3 设o E 切A B 于 F o E 半径为r 则o D 半径为 3 那么D E 一4 r D C 一2 3 r C E 一2 一r 则有C F 一 C E 2 一E F 2 一 2 一r 2 一r 2 2 1 一r D F 一2 3 r 图3 2 1 一r 在R t D E F 中 由勾股定理得 2 3 r i i 2 F 了 z r z 一1 6 r 解得r 一尘坐掣 所以o D 的半径3 r 一4 1 5 1 4 由 m 一九一4 1 5 1 4 且 m 行是正整数 所以m 一2 4 0 n 一1 4 即m 行一 2 5 4 9 先考虑一般情况下的线性排列问题 将行把 椅子从1 到行进行编号 排成l 2 3 7 2 一排 从这 行把椅子中取出若干把椅子 没有三把 或以上 椅 子相邻的选取方法为T 种 可以一把都不选 则 有T 1 2 丁2 4 丁3 7 当n 4 时 考虑编号为1 的椅子 若1 号椅子没选 则在剩下的行一1 把椅子中无 三把相邻即可 所以有丁 一 种情况 若1 号椅子被选 分两种情况 1 2 号没选 则剩下的咒一2 把椅子中无三把 相邻即可 所以有丁 一 种情况 2 2 号被选 则3 号不能选 所以在剩下的咒 一3 把椅子中无三把相邻即可 所以有丁 种情况 综上知 当n 4 时 T 一丁 丁 一2 丁 一 现将这以把椅子排成一圈 1 号与九号相邻 从中选出若干把椅子 无三把相邻的选法为A 种 对1 号椅子进行分类 1 1 号没选 则只需在2 到7 2 号这r 一1 把椅 子中选出若干把 无三把相邻即可 有丁 一 种选法 2 1 号被选 再对2 号与胛号分类 2 号与竹号有一把被选 如2 号被选 则只需 在剩下的4 到咒一1 号这祝一4 把椅子中选取若干 把 无三把相邻即可 所以有丁 一 种选法 同样若7 2 号被选也有丁 一 种选法 故有2 T 一 种选法 2 号与九号都没选 则只需在3 到7 z 一1 这 起一3 把椅子中选出若干把无三把相邻即可 有T 种选法 综上知 A 一T T 一 4 2 丁 当行一1 0 时 从1 0 把环排列的椅子中选出若干 把 无三把相邻的选法为A 一T 丁 2 瓦 由1 1 1 2 T 2 4 T 一7 及丁 一丁 一 丁 一2 L 一 胛 4 求得 T 6 4 4 丁 一8 1 丁9 2 7 4 所以A 一2 7 4 8 1 8 8 4 4 3 又1 0 把椅子选出若干把的选法总数为 2 1 0 种 所以满足题意的选法数为2 1 一4 4 3 5 8 1 种 1 0 由 一 得 一塑 肌榭一 Z T 叫Z 叫Z T 叫2 柚 1厅 锄 所以有 黝 一0 则 一 一 等i 2 所以 厶二 厅 多边形P 是正三角形 则1 叫一2 1 1 一百o 等i z l 一 厶 厶 3 又l z I 一2 0 1 4 即此正三角形边长为2 0 1 4 3 所 匝 以面积S 一咩 2 0 1 4 4 2 一州3 则 z 一3 1 0 0 7 2 吐 所以 z 三1 4 7 m o d l 0 0 0 即所求的余数为1 4 7 1 1 如图4 过A 作A B 上尺C 于B 因为A C 万方数据 4 8 上海中学数学 2 0 1 4 年第5 期 A R 所以B 是R Ce e 点 连 M B 则M B C D 且M B C D 所以四边形A B M E 为平行四边形 A E M B C D D A 在A R E D 中 器一 刚 丽D E 一志 所以R E 笔 D E 掣 设A E 1 1 r 则A R A C 堑善一T E E A R E A 中 由余弦定理得粤 z T 2 2 粤 T 1 3 5 一掣一 解得T 一百7 V 互T 所以a 6 c 一7 2 7 2 2 5 6 1 2 由c o s 3 A c o s 3 B c o s 3 C 一1 得c o s 3 A c o s 3 B 一1 一c o s 3 C 即2 c s 掣c s 下3 A C 一 2 i n z 等 又c 塑竽 c o s 等一等 mS i n 可3 C 一 u o 所以s i n z 等 s i n 了3 Cc s 掣一0 即s i n 了3 C 掣一半 一0 则2sCOS C O S S 1 n 车s i n L 百一一 百一J 一 则 百 等 i n 可3 B 一0 那么s i n 了3 A i n 学 i n 等中至少有 一个为o 不妨设s i n 警一o 因为o 警 娶 所以 A 一 4 若第三边最大 则第三边的对角为A m 一 1 0 2 1 3 2 2 1 0 1 3 C O Si 1 7 3 9 9 即m 一3 9 9 0 1 3 设集合M 一 1 2 z 行 2 定义M 到 M 的一个对应法则f 对于1 2 咒的任意一个排 列a l a 2 口 满足f n 一a 汁1 i 一1 2 行一 1 且f a a 称这种对应为 卵环对应 可知满 足条件的 z 环对应 厂有 规一1 种 记1 0 双鞋的左脚分别为1 2 3 1 0 对应右脚 分别为g 1 g 2 g 1 0 其中g 为集合M 一 1 2 3 1 0 到自身的一一对应 那么满足题意的配 对方法有两类 第一类 配对方法满足 1 0 环对应 则有91 种 第二类 配对方法满足两个 5 环对应 则有 5 了k 1 0 41 2 种 又任意配对方法有1 0 种 则所求的概率为竺 一翌 1 黜0 一未 所以m 行一2 812 5 1 4 如图5 由题意知 么H A B 一么B A D 一 么D A C 一1 5 在R t A H D 中 么H A D 一3 0 0 所以A D 一2 H D 同样在R t N P D 婆 又在R t A H B 中 B H A B s i n l 5 一 所以A P M H B M